第2章 第5讲 一次方程(组)及应用-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

【度式葡蓝4】解：原式-号÷o8 a+2 a+2 【变式训练3】A【变式训练4】3 × a+3 【中考真题演练】 a+3)a-3》=a-3, 1.D2.D3.C4.a≥55.x>16.B a+2 将a=1代入，得原式=1一3=-2. 7-26& -25(答案不唯一)9.23 【变式训练5】解：(x-2红-)÷-1_2-2x+1 x x x2-1 10解：眼式=26-2×气+2-月+号25-厅+2-5十 (x-1)2 15 x G+-D当x=g-1时，原式 22 2-1-1-E-=1-反. 11.解：：a=2+√5，b=2-5,ab+ab2=ab(a+b)=(2+ √-1+1√2 V5)(2-5)(2+5+2-√5)=(4-5)×4=-1×4=-4. 【中考真题演练】 小专题一规律探究 1.x≠32.23.C4.A5.-x-26.15 1.C2.D3.D4.452 7解：6(e+1-) 5.解：(1)C(2)3×4"-1 -a-1-30+2 (3)设S=1+5+52+53+…+5223, 则5S=5+52+53+…+52023+52024, a-1a-1 因此5S-S=52024-1, _(a+2)(a-2).a-1 4S=52024-1, a-1 a+2 =a-2. 所以S=521 4 当a=√3+2时， 即前2024项的和是53一1 原式=3+2-2=√5. 4 6.B 7.解：(1)3n (2)n(n+1) 2 =2(x-1)=.6x-2) x(x-1)(x-2)2 (3)由题意，得，1=2X3m,解得m=11或n=0(不符合题意). 2 = x-2 8.C x(x-1)x-2 9.解：(1)(9,4)(18,7) 1 (2)A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1),A4(6,3), 且A(0,1),A2(1×3,1+1),A(2×3,1+2),A；(3×3,1+3), 8.解：(1)由题意可得 a P.-(a-b)(a-c)+(b-o)(b-a)+(e-a)(e-b) 心依类推，A(受×3,1+），即A（3m+1D. 点A2m的坐标为(3036,1013)， 1 1 1 a-b)(a-c+6-c)6-a+(c-a)(c-b) .3n=3036,解得n=1012. 第一章易错集训 (2)由题意可得 1.B2.C3.-84.D5.86.A Pi-(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)(c-a)(c-b) 7.x(x十3)(x-√3) a b x-2=x-2,(x-1)2 (a-b)(a-c)(6-c)(a-b)(a-c)(b-c) 8解：1-)广2号.7=1 =a(6-c)-b(a-c)+c(a-b) x-1≠0，x-2≠0， (a-b)(b-c)(a-c) .x≠1且x≠2，∴.当x=3时，原式=2. _ab-ac-ab+bc+ac-bc 9.A10.5 (a-b)(b-c)(a-c) 第二章方程（组）与不等式（组） 0 第5讲一次方程（组）及应用 =(a-b)(b-c)(a-c) 【重点知识梳理】 =0. ①等式②0③一个④1⑤整式⑥去括号⑦合并同类项 第4讲二次根式 【随手一练1】ABD 【重点知识梳理】 ⑧时间⑨1 【随手一练2】A ①Na②≥③a≥0④a⑤-a⑥≥⑦≥⑧≥⑨> 【典型例题剖析】 @最简二次根式①v历@，√号 【例1】D【变式训练1】A【变式训练2】B 4x+5y=11①， 【随手一练】CD 【典型例题剖析】 【例21解：D2x-y=2@, ①-2×②，得7y=7, 【例1】A【变式训练1】a>1 解得y=1. 【例2】D【变式训练2】A 把y=1代入②，得2x-1=2, 【制3席：式=√☒-4+1=3-4+1-0 3 解得x=2 2 (2)设经过x秒，点A,B到原点距离之和为y, .方程组的解为 2 则y=|一3+x|+|12-2x|, y=1. 当x≤3时，y=|-3+x|+|12-2x|=3-x+12-2x= |3x+2y=-12①， (2)原方程组转化为 -3x+15, 13x-4y=6②， 当x=3时，y值最小，为6， ①-②，得6y=-18, 当3<x≤6时，y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x+12- 解得y=一3. 2x=-x+9, 把y=-3代入①，得3x+2×(-3)=-12, 当x=6时y值最小，为3， 解得x=一2. 当x>6时，y=|-3十x|+|12-2x|=一3+x-12+2x= ·方程组的解为口=一2， 3x-15,无最小值. 1y=-3. 综上所述，点A,B到原点距离之和的最小值为3. 【变式训练3】解：方法1：由①，得x=2y十1， 第6讲分式方程及应用 把x=2y十1代人方程②，得3(2y十1)十4y=23,解得y=2, 【重点知识梳理】 把y=2代入①，得x一4=1，解得x=5, ①字母②方程两边同乘最简公分母③检验④最简公分母 所以原方程组的解是口=5， ⑤整式 wy=2. 【随手一练1】AB 方法2：①×2+②，得5x=25,解得x=5, ⑥分式方程 将x=5代入①，得5-2y=1,解得y=2, 【随手一练2】4 所以原方程组的解是口=5， 【典型例题剖析】 y=2. 【例1】解：去分母，得2x-3-(x-1)=2(x+1), 【变式训练4】C 解得x=一4， 【例3】解：(1)设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商 检验：把x=一4代入最简公分母，得(x十1)(x一1)≠0， 品的销售单价为y元， ∴分式方程的解为x=一4. 由题意，得一x=10, 【变式训练1】B (y-5)-(1+10%)x=1, 解得x40, 【例2】m<专且m≠号 【变式训练2D ly=50. 【变式训练3】解：(1)当m=1时， 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单 1 价为50元. (2)销售总额=(1+10%)×40m+(50-5)n=(44m+45n)元. 答：调整后该商品在两地年销售总额为(44m十45n)元， 【变式训练5】9 +2 【变式训练6】解：(1)设打折前甲品牌篮球每个为x元，乙品牌篮 x+1 球每个为y元， x-1=2, 由题意，得+y=180, 去分母，得x十1=2(x-1), {0.9×3x+0.8×2y=398, 解得x=3, 解得=100， 检验：当x=3时，x一1≠0， y=80. 故方程的解为x=3. 答：打折前甲品牌篮球每个为100元，乙品牌篮球每个为80元 (2)2 12-1z (2)10×100×(1-90%)+6×80×(1-80%)=196(元). 答：打折后购买比不打折购买节省了196元钱. 马=2， x 【中考真题演练】 m 16- x-1+x-7=2, 2.解：整理方程组，得-2)-30， 四-2， 2x+3y=13②， 去分母，得x十m=2(x-1), ①×2-②，得-7y=-7,解得y=1, 解得x=m十2， 把y=1代入①，得x-2=3,解得x=5, 由分式方程有解且解为非负数，得x≠1且x≥0， 原方程组的解为区=5， 即m+2≠1且m+2≥0， y=1. 即m≥一2且m≠一1. 3.C4.D5.C 【例3】解：(1)设购买1台甲种农机具需x万元，则购买1台乙种 6.2 农机具需(x+1)万元. 7.解：(1)设经过x秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度， 则|(-3+x)-(12-2x)|=3, 根据题意，得24.30 xx+1' 解得x=4或x=6. 解得x=4, 答：经过4秒或6秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度. 经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意， 3第二章 方程（组）与不等式（组） 第5讲 一次方程（组）及应用（答案2） 重点知识梳理 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个代数式，所得结果仍是① 性质 性质2：等式两边乘（或除以）同一个数（除数不为② ),所得结果仍是等式 定义：只含有③ 未知数，并且未知数的最高次数都是④ ,系数不等于零的 元 ⑤ 方程 次 解一元一次方程的一般步骤：1.去分母；2.⑥ ;3.移项；4.⑦ ;5.未知数的 程 系数化为1 ◆温馨提示：判断一元一次方程的四个条件是：1.只含有一个未知数（元）；2.未知数的次数 都是一次；3.未知数的系数不能为0；4.分母中不含未知数.这四个条件缺一不可. 代入消元法：当方程组中某一个未知数的系数是1或一1时，用代入消元法较简单 1.当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，方程左右两边分别 相减或相加，消去一个未知数 元加减消元法 2.当同一未知数的系数不同也不互为相反数时，可通过找系数最小公倍数变 成系数相同或互为相反数，再采用加减消元法较为合适 次 程 【随手一练1】（多选题）(2024·潍坊潍城区期中)解方程组 3x+2y=160·时，下列消元方法 组 x-3y=31② 组的 正确的是( A.②×3一①，消去x B.①X3十②X2,消去y 应 C.②×2-①×3，消去y D.由②，得x=31+3y,然后代入①中消去x ※三元一次方程组的解法，三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程 般步骤：审、设、列、解、验、答 公式：路程=速度×⑧ 常见 相遇问题：全路程=甲走的路程十乙走的路程 行程问题 类型 追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程一乙走的路程 及等 流水问题：V顺=V静十V水，V逆=V静一V水 一次方程 量关 工作总量一工作效率X工作时间 (组)的实系 工程问题甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率十乙的工作效率，通常把工作 际应用 总量看作“⑨ ◆名师点拨：解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为 一元一次方程.最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合 方程组的特点，灵活选用消元方法.如果出现未知数的系数为1或一1时，宜采用代 入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂时，宜采用加 减消元法解。 20 优+学秦赢在中考 次 方 【随手一练2】数学文化《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同 次方程 笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何？”学了方程 组（组）的实 (组)后，我们可以非常快捷地解决这个问题.在这个问题中，鸡的数量为() 际应用 及 A.23只 B.24只 C.12只 D.13只 应 用 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 典型例题剖析》◆oooo◆◆◆◆◆oe◆◆心 命题点1】方程（组）解的意义 互为相反数或相等时，选用加减消元法较合适. (4)当两个方程中同一个未知数的系数成倍数 方法指导◆ 关系时，选用加减消元法较合适 已知一次方程（组）的解，求方程（组）中参 【例2】(2024·潍坊坊子区月考)解方程组： 数的值的方法：(1)代入法：当已知方程（组）的 4x+5y=11, xy 解时，把解代入方程（组），得到新的方程（组）， (2)y23 =一2， (1) 再解新的方程（组），从而求出参数的值.(2)整 2x-y=2; 3x-4y=6. 体法：根据方程组中未知数的系数的特点，利用 【自主解答】 整体思想求某些参数的值或代数式的值： 【例1】(2024·济南钢城区模拟)已知 |x=2, 是 y=-1 二元一次方程组x+~-7'的解，则a一b的值 ax-by=1 为() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式训练3】一题多解》(2023·常德中考)解方 【变式训练1】(2023·永州中考)关于x的一元 |x-2y=1①， 次方程2x+m=5的解为x=1,则m的值 程组： 3x+4y=23②， 为( ) A.3 B.-3C.7 D.-7 【变式训练2】(2024·临沂莒南模拟)已知关于 x,y的二元一次方程组 3x-y=4m+1, 的解满 x+y=2m-5 足x一y=4,则m的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 命题点2】一次方程（组）的解法 方法指导→ 【变式训练4】(2024·济宁邹城一模)在解二元一 解二元一次方程组时，选择方法的技巧： 6x+my=3,① 次方程组 时，若①一②可直接消 (1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者 2x-ny=-6② 一1时，选用代入消元法较合适.(2)当方程组中 去未知数y,则m和n满足下列条件是( 某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法 A.m-n B.mn=1 较合适.(3)当两个方程中同一个未知数的系数 C.m+n=0 D.m+n=1 数学·讲练册潍坊专用 2 命题点3】一次方程（组）的应用 【变式训练5】数学文化》古代中国的数学专著《九 章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三 方法指导→ 斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思 (1)列方程组解应用题的关键是准确地找 是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代 出题中的等量关系，正确地列出方程组.(2)设 中国1斤等于16两).今有干丝12斤，问原有生丝 未知数可以采用直接设法，也可以采用间接设 多少？”则原有生丝 斤 法.(3)一般地，设几个未知数，就应列出几个方 【变式训练6】新情境》(2024·潍坊寿光期末)体 程，组成方程组.(4)要根据应用题的实际意义 育无处不在，运动无限精彩.随着天气转暖，户外 检查求得的解是否合理，不符合题意的解应该 活动人数逐渐增多.某体育用品店为了吸引顾 舍去 客，准备在五一假期进行促销活动，对部分品牌 篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙 【例3】(2024·临沂沂水二模)根据经营情况，公 品牌篮球打八折.已知打折前，买1个甲品牌篮 司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下 球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个 调整：甲地上涨10%，乙地降价5元.已知销售单 甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元. 价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙 (1)打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多 地少1元. 少元？ (1)求调整前甲、乙两地该商品的销售单价. (2)某校需购买甲品牌篮球10个，乙品牌篮球 (2)若调整销售单价后，该商品每年在甲地销 6个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 售m件，在乙地销售n件，用含有m,n的代数式 表示调整后该商品在两地年销售总额。 【自主解答】 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆-(《 中考真题演练》◆◆◆◆◆心 8考点1)一次方程（组）的解法 x一2y=3, 1.（2022·潍坊中考，13,3分)方程组 组：1313 2x十 4J- 41 2x+3y=13, 的解为 3x-2y=0 2.运算能力(2022·淄博中考，18,5分)解方程 22 优学秦赢在中考 8考点2)一次方程（组）的应用 同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺 3.数学文化(2024·威海中考，8,3分)《九章算 布，30天完工，问一共织了多少布？() 术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这 A.45尺B.88尺C.90尺D.98尺 样一道题目：以绳测井.若将绳三折测之，绳多 6.(2021·烟台中考，15,3分)幻方历史悠久，传 四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深 说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今 各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深 天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方. 度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深 将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要 多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比 求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数 井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？ 字之和都是15，则a的值为 若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程 组是() 3x-y=4 13x+4=y A. 8 3 B. 4x-y=1 4x+1=y 7.阅读理解(2024·威海中考，21,9分)定义 3y=4 +4=y 3 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫 C. D. 做数a的绝对值.数轴上表示数a,b的点A, 4y=1 4+1=y B之间的距离AB=a一b(a≥b).特别地，当 4.数学文化(2024·泰安中考，8,4分)我国古代 a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a一 《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大 0.当a<0时，表示数a的点与原点的距离等 致如下：用九百九十九文钱，可买甜果、苦果共 于0-a. 一千个，若…，…，试问买甜果、苦果各几个？ 应用如图所示，在数轴上，动点A从表示一3 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题 的点出发，以1个单位长度/秒的速度沿着数 x+y=1000, 轴的正方向运动.同时，动点B从表示12的点 意的二元一次方程组1 4 根据已 9x+7y=999, 出发，以2个单位长度/秒的速度沿着数轴的 负方向运动. 有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应 A B 为( ) 3 A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 (1)经过多长时间，点A,B之间的距离等于 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 3个单位长度？ C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 (2)求点A,B到原点距离之和的最小值， D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 5.数学文化(2024·烟台中考，9,3分)《周髀算 经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记 载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟. 初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织 几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子， 织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相 数学·讲练册潍坊专用 23