第1章 第4讲 二次根式-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

【度式葡蓝4】解：原式-号÷o8 a+2 a+2 【变式训练3】A【变式训练4】3 × a+3 【中考真题演练】 a+3)a-3》=a-3, 1.D2.D3.C4.a≥55.x>16.B a+2 将a=1代入，得原式=1一3=-2. 7-26& -25(答案不唯一)9.23 【变式训练5】解：(x-2红-)÷-1_2-2x+1 x x x2-1 10解：眼式=26-2×气+2-月+号25-厅+2-5十 (x-1)2 15 x G+-D当x=g-1时，原式 22 2-1-1-E-=1-反. 11.解：：a=2+√5，b=2-5,ab+ab2=ab(a+b)=(2+ √-1+1√2 V5)(2-5)(2+5+2-√5)=(4-5)×4=-1×4=-4. 【中考真题演练】 小专题一规律探究 1.x≠32.23.C4.A5.-x-26.15 1.C2.D3.D4.452 7解：6(e+1-) 5.解：(1)C(2)3×4"-1 -a-1-30+2 (3)设S=1+5+52+53+…+5223, 则5S=5+52+53+…+52023+52024, a-1a-1 因此5S-S=52024-1, _(a+2)(a-2).a-1 4S=52024-1, a-1 a+2 =a-2. 所以S=521 4 当a=√3+2时， 即前2024项的和是53一1 原式=3+2-2=√5. 4 6.B 7.解：(1)3n (2)n(n+1) 2 =2(x-1)=.6x-2) x(x-1)(x-2)2 (3)由题意，得，1=2X3m,解得m=11或n=0(不符合题意). 2 = x-2 8.C x(x-1)x-2 9.解：(1)(9,4)(18,7) 1 (2)A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1),A4(6,3), 且A(0,1),A2(1×3,1+1),A(2×3,1+2),A；(3×3,1+3), 8.解：(1)由题意可得 a P.-(a-b)(a-c)+(b-o)(b-a)+(e-a)(e-b) 心依类推，A(受×3,1+），即A（3m+1D. 点A2m的坐标为(3036,1013)， 1 1 1 a-b)(a-c+6-c)6-a+(c-a)(c-b) .3n=3036,解得n=1012. 第一章易错集训 (2)由题意可得 1.B2.C3.-84.D5.86.A Pi-(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)(c-a)(c-b) 7.x(x十3)(x-√3) a b x-2=x-2,(x-1)2 (a-b)(a-c)(6-c)(a-b)(a-c)(b-c) 8解：1-)广2号.7=1 =a(6-c)-b(a-c)+c(a-b) x-1≠0，x-2≠0， (a-b)(b-c)(a-c) .x≠1且x≠2，∴.当x=3时，原式=2. _ab-ac-ab+bc+ac-bc 9.A10.5 (a-b)(b-c)(a-c) 第二章方程（组）与不等式（组） 0 第5讲一次方程（组）及应用 =(a-b)(b-c)(a-c) 【重点知识梳理】 =0. ①等式②0③一个④1⑤整式⑥去括号⑦合并同类项 第4讲二次根式 【随手一练1】ABD 【重点知识梳理】 ⑧时间⑨1 【随手一练2】A ①Na②≥③a≥0④a⑤-a⑥≥⑦≥⑧≥⑨> 【典型例题剖析】 @最简二次根式①v历@，√号 【例1】D【变式训练1】A【变式训练2】B 4x+5y=11①， 【随手一练】CD 【典型例题剖析】 【例21解：D2x-y=2@, ①-2×②，得7y=7, 【例1】A【变式训练1】a>1 解得y=1. 【例2】D【变式训练2】A 把y=1代入②，得2x-1=2, 【制3席：式=√☒-4+1=3-4+1-0 3 解得x=2 2第4讲二次根式( P2) 重点知识梳理》 [定义：形如① (a≥0) 的式子 二次根式有意义的条件：要使二次根式 $$\sqrt { a }$$ 有意义，则a② 同时(被开方数不含分母 最简二次根式： 满足(被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个 的 同类二次根式： 二次根式就叫做同类二次根式.如 $$\sqrt 3 ， \sqrt { 1 2 } ， 3 \sqrt 3$$ 是同类二次根式 念 温馨提示：最简二次根式必须同时满足如下条件： 1.被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)； 2.被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1 $$1 . \left( \sqrt a \right) ^ { 2 } = a \left( 3 \right)$$ ) $$2 . \sqrt { a ^ { 2 } } = | a | = \left\{ \begin{array}{l} 4 \\ \textcircled 5 \textcircled 5 \end{array}$$ ④ (a≥0) (a<0) 二次根 $$3 . \sqrt { a b } = \sqrt a \cdot \sqrt b \left( a \textcircled 6 \right)$$ 0，b⑦ 式的 性质 $$4 . \sqrt { \frac { a } { b } } = \frac { \sqrt a } { \sqrt b } \left( a \otimes \right)$$ 0， o) 式 $$5 . \sqrt a$$ 具有双童非负性 $$\left\{ \begin{array}{l} a \ge 0 \\ \sqrt a \ge 0 \end{array} \right.$$ 加减法：把几个二次根式化为 ①0 后，若有被开方数相同的二次根式，可把被开方数相 同的二次根式合并成一个二次根式 乘法： $$： \sqrt a \cdot \sqrt b = \textcircled 1$$ (a≥0，b≥0) $$： \frac { \sqrt a } { \sqrt b } = \textcircled 2$$ (a≥0，b>0) 算 随手一练】(多选题)(2024·潍坊高密期末)下列计算正确的是() $$A . \sqrt { \left( - 3 \right) ^ { 2 } } = - 3$$ $$B . 3 + 2 \sqrt 2 = 5 \sqrt 2$$ $$C . \sqrt 2 \times \sqrt 3 = \sqrt 6$$ $$D . \left( - 2 \sqrt 3 \right) ^ { 2 } = 1 2$$ $$\left( \sqrt { 1 1 } \right) ^ { 2 } = 1 1$$ 先对二次根式平方 估计二次根式 找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数 确定9和16 二次根式 $$\sqrt a \left( a > 0 \right)$$ 的值 ↓ 的估值 在哪两个连续的 对以上两个整数开方 整数之间 确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间 $$\frac { \sqrt { 9 } = 3 ， \sqrt { 1 6 } = 4 } { \downarrow }$$ $$\frac { 1 } { \sqrt { 3 < \sqrt { 1 1 } < 4 } }$$ 14 优*学索赢在中考 先确定二次根式在哪两个整数之间，如3<√/11<4 确定与二次 求这两个整数的平均数，如3士4-8.5 次二次根式 根的估值 根式，√a(a>0) 对二次根式和平均数进行平方，如（√/11）2=11,3.52=12.25，若二次根 式 最接近的整数 式的平方小于平均数的平方，如11<12.25，则离较小的整数近，即√11 离3较近；反之离较大的整数近 典型例题剖析 》年00◆00000◆00000004◆0000◆0000000000 命题点1】 二次根式有意义的条件 C.a-b-1 D.a+6-1 【变式训练2】(2023·河北中考)若a=√2，b= 方法指导+ 14a2 √7，则 =( 解题的关键是熟练运用二次根式的条 62 件一被开方数是非负数，解决此类题需从整体 A.2 B.4 C.√7 D.√2 上观察代数式的特点，若存在二次根式，便可根 命题点3】二次根式的运算 据被开方数是非负数列不等式；若存在分母，便 可根据分母不为0列不等式.字母的取值范围便 方法指导→ 是所有不等式联立组成的不等式组的解集， 在二次根式的混合运算中，如能结合题目 【例1】(2024·潍坊安丘期末)若一2m+4有意 特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解 题途径，往往能事半功倍.在运算过程中，除了 义，则m的取值范围为() 注意运算顺序外，还要特别注意公式的运用和 A.m≤2B.m≠2C.m≥2 D.m>2 实数运算律的使用.公式包括二次根式乘除运 【变式训练1】(2024·淄博桓台二模)若代数式 算公式，以及完全平方公式和平方差公式. √2a-2 a-1 有意义，则a的取值范围为 【例3(2024·青岛城阳区一模)计算.5×3 命题点2】二次根式的性质 √2 2 +tan45°. 方法指导◆ 要熟练掌握二次根式的五个性质，特别要 【自主解答】 注意当a<0时，√a=a=-a,要具有整体 思想，会整体处理. 【例2】(2024·枣庄滕州模拟)实数a,b在数轴上 的位置如图所示，则化简√a2+2a十1 √b2一4b+4的结果正确的是( ) 0 A.-a-b+1 B.-a+b+1 数学·讲练册潍坊专用 15 【变式训练3】(2024·潍坊昌邑期末)下列运算正【变式训练4】(2023·聊城中考)计算： 确的是() 1 ÷√3= A.6÷√2=3 B.(5-√2)2=3-2=1 ④8-3 C.2√3+2=2√5 D.√22+32=2+3=5 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆(《 中考真题演练》◆44444000心 巴考点1二次根式的概念及化简 任意选择两个数，分别填在算式（口十○）2÷ √2里面的“☐”与“○”中，计算该算式的结果是 1.(2023·济宁中考，4,3分)若代数式 x2有意 .（只需写出一种结果) 义，则实数x的取值范围是() 9.(2022·泰安中考，13,4分)计算：√8×√6一 A.x≠2 B.x≥0 4 C.x≥2 D.x≥0且x≠2 3 3 2.（2022·聊城中考，5,3分)射击时，子弹射出枪 10.（2023·济宁中考，16,6分)计算：√12一 口时的速度可用公式v=√2as进行计算，其中 2cos30°+|W3-2+2-1. a为子弹的加速度，s为枪筒的长.如果a= 5×105m/s2,s=0.64m,那么子弹射出枪口 时的速度（用科学记数法表示）为() A.0.4×103m/sB.0.8×103m/s C.4×102m/s D.8×102m/s 3.(2023·烟台中考，2,3分)下列二次根式中，与 11.运算能力(2022·济宁中考，16,6分)已知 2是同类二次根式的是() a=2+√5，b=2-√5，求代数式a2b+ab2 A.√4B.6 C.√8 D.√12 的值. 4.(2022·淄博中考，13,4分)要使根式a-5有 意义，则a的取值范围是 5.(2024·烟台中考，11,3)若代数式，3 在实 -1 数范围内有意义，则x的取值范围为 巴考点2)二次根式的运算 6.(2024·济宁中考，3,3分)下列运算正确的 是() A.√2十3=√5 B.√2×√5=√10 C.2÷√2=1 D.√/(-5)2=-5 7.(2024·威海中考，11,3分)计算：√/12-√8× √6= 8.(2023·潍坊中考，11,4分)从-√2,3，√6中 16 优学秦赢在中考