第1章 第3讲 分式-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

优计学案 赢在中考 参苦答案 数学潍坊专用 海 ②积@m(a十b+c)四最大公约数函相同 【随手-练3】x(x十1) 【典型例题剖析】 第一部分教材梳理 【例1】A【变式训练1】 -2 第一章数与式 【例2】D【变式训练2】C【变式训练3】16 第1讲实数 【例3】解：(x+2y)(x-2y)-x(x-4y)=x2-4y2-x2+4xy= 【重点知识梳理】 -4y2+4xy, ①0②实数⑧-。@0⑤日 ⑥ab=1⑦距离 当x=√2+1，y=√2-1时，原式=-4×（√2-1）2+4×（√2+ 【随手一练1】ABD 1)×(W2-1)=-4×(3-2V2)+4×(2-1)=-12+8V2+4× ⑧互为相反⑨0⑩负 1=-12+82+4=-8+8√2」 【随手一练2】B 【变式训练4】B ①大②小⑧>④=⑤<⑥< ⑦>⑧相同©较大 【变式训练5】B ⑦相反数①正②负B倒数@a”②1 【例4】CD【变式训练6】D【变式训练73m(a-b)2 【中考真题演练】 【随手一练3】√ 1.BC2.D3.D4.D5.C6.37.908.(n-1)(n+1)+1 【典型例题剖析】 9.解：原式=(xy-4x2)十(4x2-y2) 【例1】B【变式训练1】AD【变式训练2】A =xy-4x2+4x2-y2 【例2】C【变式训练3】B【变式训练4】8×103 =zy-y2, 【例3】AD【变式训练5】A【变式训练61 当无-3y-2时，原式-×2-2-1-4=-8 【例4】解：5-x)+(名) 2 +2sin45°-11-√21= 10.xy(x+2)11.(x+3)212.8 第3讲分式 1+4+2x -(W2-1)=1+4+2-√2+1=6. 【重点知识梳理】 【变式训练7】 ①字母②不等于0③公因式④公因式⑤同分母®号 解：(1)原式=3+2一3-（√2-1）+1 ⑦乘方 =3+2-3-√2+1+1 =3+2+1+1-3-√2 【随手一，千2 =4-√2. 【典型例题剖析】 【例1】(1)BD(2)2【变式训练12 (2)原式=（√3）2-12-√2X9 =3-1-32 变式训练2】解：由2红)8=0，得2x2-8=0且x一2≠0，解得x =2-3√2. 一2.当x=一2时，分式的值为零 【例5】C【变式训练8】C【变式训练9】 【变式训练3】解：等腰三角形.理由：，a,b,c的取值使分式 【中考真题演练】 ab-ac十-c的值为零， 1.C2.D3.C4.C5.B6.B7.C8.B a-b 9.A10.D11.A12.A ∴ab-ac+c2-bc=0,且a-b≠0， 13.①③14.2或315.1316.1 则(a-c)(b-c)=0, 17.解：-8+(3）--31 ∴.a-c=0或b-c=0, .a=c或b=c, =-2+4一3 ∴，这个三角形是等腰三角形 =-1. 【例2解：原武=a一3〉÷4a十5=a一3)2 2-a 第2讲整式及因式分解 2-a =a-2‘(3-a)3+a) 【重点知识梳理】 (a-3)2,a-2_a-3 ①化简 a-2‘(a-3)(a+3)a+3 【随手一练1】2或6 81,潮得a<3 ②多项式③乘积④数字⑤和⑥单项式⑦次数最高 ⑧指数⑨不变⑩不变①改变②an+”⑧am④a"b” 又a是使不等式“2≤1成立的正整数，且a-2≠0a-3≠0a十 ⑤am-”西系数⑦同底数幂⑧ma十mb十mc⑨ma+mb十 3≠0， na+nb①a2-b2④a2士2ab+b2@指数 【随手一练2】AB a1原式-合 【度式葡蓝4】解：原式-号÷o8 a+2 a+2 【变式训练3】A【变式训练4】3 × a+3 【中考真题演练】 a+3)a-3》=a-3, 1.D2.D3.C4.a≥55.x>16.B a+2 将a=1代入，得原式=1一3=-2. 7-26& -25(答案不唯一)9.23 【变式训练5】解：(x-2红-)÷-1_2-2x+1 x x x2-1 10解：眼式=26-2×气+2-月+号25-厅+2-5十 (x-1)2 15 x G+-D当x=g-1时，原式 22 2-1-1-E-=1-反. 11.解：：a=2+√5，b=2-5,ab+ab2=ab(a+b)=(2+ √-1+1√2 V5)(2-5)(2+5+2-√5)=(4-5)×4=-1×4=-4. 【中考真题演练】 小专题一规律探究 1.x≠32.23.C4.A5.-x-26.15 1.C2.D3.D4.452 7解：6(e+1-) 5.解：(1)C(2)3×4"-1 -a-1-30+2 (3)设S=1+5+52+53+…+5223, 则5S=5+52+53+…+52023+52024, a-1a-1 因此5S-S=52024-1, _(a+2)(a-2).a-1 4S=52024-1, a-1 a+2 =a-2. 所以S=521 4 当a=√3+2时， 即前2024项的和是53一1 原式=3+2-2=√5. 4 6.B 7.解：(1)3n (2)n(n+1) 2 =2(x-1)=.6x-2) x(x-1)(x-2)2 (3)由题意，得，1=2X3m,解得m=11或n=0(不符合题意). 2 = x-2 8.C x(x-1)x-2 9.解：(1)(9,4)(18,7) 1 (2)A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1),A4(6,3), 且A(0,1),A2(1×3,1+1),A(2×3,1+2),A；(3×3,1+3), 8.解：(1)由题意可得 a P.-(a-b)(a-c)+(b-o)(b-a)+(e-a)(e-b) 心依类推，A(受×3,1+），即A（3m+1D. 点A2m的坐标为(3036,1013)， 1 1 1 a-b)(a-c+6-c)6-a+(c-a)(c-b) .3n=3036,解得n=1012. 第一章易错集训 (2)由题意可得 1.B2.C3.-84.D5.86.A Pi-(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)(c-a)(c-b) 7.x(x十3)(x-√3) a b x-2=x-2,(x-1)2 (a-b)(a-c)(6-c)(a-b)(a-c)(b-c) 8解：1-)广2号.7=1 =a(6-c)-b(a-c)+c(a-b) x-1≠0，x-2≠0， (a-b)(b-c)(a-c) .x≠1且x≠2，∴.当x=3时，原式=2. _ab-ac-ab+bc+ac-bc 9.A10.5 (a-b)(b-c)(a-c) 第二章方程（组）与不等式（组） 0 第5讲一次方程（组）及应用 =(a-b)(b-c)(a-c) 【重点知识梳理】 =0. ①等式②0③一个④1⑤整式⑥去括号⑦合并同类项 第4讲二次根式 【随手一练1】ABD 【重点知识梳理】 ⑧时间⑨1 【随手一练2】A ①Na②≥③a≥0④a⑤-a⑥≥⑦≥⑧≥⑨> 【典型例题剖析】 @最简二次根式①v历@，√号 【例1】D【变式训练1】A【变式训练2】B 4x+5y=11①， 【随手一练】CD 【典型例题剖析】 【例21解：D2x-y=2@, ①-2×②，得7y=7, 【例1】A【变式训练1】a>1 解得y=1. 【例2】D【变式训练2】A 把y=1代入②，得2x-1=2, 【制3席：式=√☒-4+1=3-4+1-0 3 解得x=2 2第3讲 分式（答案P1) 重点知识梳理 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 定义：形如会A,B是整式，且B中含有@ ,B≠0)的式子 ◆温馨提示：判断一个代数式是否为分式，只看未化简的式子的分母中是否含有字母，即分 母中含有字母的为分式.不能约分后再判断， 分 式 分式 无意义的条件：B=0 与分式有关的 概 念 “三个条件” 分式有意义的条件：B0 分式号值为零的条件：A=0且B≠0 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个② 的整式，分式的值不变.用 A AXMA A÷M 式子表示是：B一BXM'B一B:M(其中M是不等于0的整式) 符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变 最简分式：分子和分母没有③ 的分式 概念：根据分式的基本性质将分子、分母中的④ 约去 分 1.分子、分母中能分解因式的，先分解因式 约分 式分 找公因式2.取分子、分母相同因式的最低次幂的积（数字因式取它们的最大公约数）作 为公因式 的 概念：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为⑤ 的分式 分 确立最简公分母的一般方法： ①如果各分母都是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最 分 通分 高次幂，以及所有单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的 找最简公分母 因式，这样得到的积就是最简公分母 ②如果分母中含有多项式，就要把多项式进行因式分解，从系数、相同 的因式、不同的因式三个方面来确定 分式的乘除法：石· e _ac,a÷c_a.d_ad =6d6÷a=6·c=6c 分式的乘方：（合” =⑥ (n为整数) 运 分式的加减法：±_a士b,士S-ad6c cc c 'bd bd 分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算⑦ ,再将除法化为乘法，进行约分化 简，最后进行加减运算.遇到有括号的，先算括号里面的 数学·讲练册 潍坊专用 ◆名师点拨：1.通分时，要使用最简公分母，如果随意采用公分母，会造成运算的繁琐，不易 约分.2.最后结果的分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.3.分式 分 分 式 的混合运算，一般按照常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，采用乘法的运算律进行 式 灵活运算 算 a-3a2-4 2 【随手一练】化简。千如十4·Q一3 a+2 ◆●◆●◆●●●0●◆◆●●◆◆●●◆●◆◆◆●◆◆●●◆●◆◆●●(《 典型例题剖析 》◆◆0◆00000000004e0040◆000000000◆ 命题点1】分式有无意义和值为零的条件 【变式训练3】推理能力》已知a,b,c是△ABC 的三边，且a,b,c的取值使分式a6-ac+c2-bc 方法指导→ a-b 1.分式是否有意义关键是看分母是否等于 的值为零，试判断这个三角形的形状，并说明 0,等于0则无意义，反之则有意义. 理由. 2.求使分式值为0的字母的值.首先求出 使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值 是否使分母的值为0，当分母的值不为0时，就 是所要求的字母的值。 【例D(多选题)对于分式十网，下列说法 正确的是() 命题点2】分式的化简求值 A.当m=0时分式无意义 B.当m=3时分式的值为0 方法指导→ C.当m=一3时分式的值为0 分式的化简求值题全都遵循“先化简，再求 D.当m=-2时分式的值为1 值”的原则.分式的化简，要牢记运算法则和运 ②)(2024·淄博高青二模)若分式十的值为 算顺序，并能灵活应用.注意分式的运算结果应 是最简分式或整式.代入值时应注意字母取值 0,则x的值是 范围的限制条件. 【变式训练1】(2024·枣庄台儿庄区期末)当x 时，分式红 【例2】(2023·烟台中考)先化简，再求值： 无意义， 【使式训练2】已知分式，当取什么值 a。士9：(a+2+a)》,其a是使不等式 a-2 a-1 ≤1成立的正整数， 时，分式的值为零？ 2 【自主解答】 12 优学秦赢在中考 【变式训练4】(2024·山东中考)先化简，再求值：【变式训练5】运算能力》先化简，再求值：(x一 1- F。9其中a=1. 2x-]÷1,其中x=2-1. x 中考真题演练》4o4 考点1)分式的概念及性质 7.(1)(2024·潍坊中考，15(2)，5分)先化简，再 12021·酒将中考，184分)若分式3 3)÷a+2 一有意 求值a+1。二)产8号其中a=5+2 义，则x的取值范围是 2.(2024·济宁中考，12,3分)已知a2-2b+1= 0则的值是 8考点2)分式的化简及运算 (2)(2023·弹坊中考，15(1)，6分)化简：(2 3.(2024·威海中考，4,3分)下列运算正确的 1x2-4红+4. x-1x2-2x 是() A.x5+x5=x10 B.m+n2.1=m nn C.a6÷a2=a4 D.(-a2)3=-a5 8.(2024·滨州中考，19,7分)欧拉是历史上享誉 4.(2022·咸海中考，7,3分)试卷上一个正确的 全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数 式子(6+。6)÷★-6被小领同学不 学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留 小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式 下了不凡的足迹.设a,b,c为两两不同的数且 为() 都不为0，称P。=(a-b)(a-c) a” C.a D. b” a a+b a2-b3 (b-c)(b-a)(c-a)(c-b)m=0,1,2,3) 4 2 5.（2024·咸海中考，14,3分)计算： 为欧拉分式， (1)写出P。对应的表达式. 2-x (2)化简P1对应的表达式. 6.(2022·菏泽中考，13,3分)若a2-2a-15= 0,则代数式(a-。)·22的 值是 数学·讲练册潍坊专用 13