第1章 第1讲 实数-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

第一部分 教材梳理 第一章数与式 第1讲 实数（答案P1) ◆04004000◆00◆90◆400◆9◆◆0◆◆◆◆0◆◆◆◆0(《 重点知识梳理》◆4◆4◆◆◆◆◆◆◆4◆4◆◆◆◆◆◆心 整数 有理数 按定义分 分数（有限小数或无限循环小数） 无理数：无限不循环小数 正数（大于0） 按正负分① (既不是正数，也不是负数) 实数的 负数（小于0）（课程标准新增理解负数的意义） 分类 ◆温馨提示：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一关键点，归纳起来有三类： 1.开方开不尽的数，如√7,2，si60°等；2.有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有 元的数，如+8等3.有特定结构的数，如0.101010001…（每相邻两个1之间依次 多一个0)等： 三要素：原点、正方向、单位长度 原点 正方向 数轴 -3 -2 -1 0 1 3 单位长度 实 ② 与数轴上的点一一对应 数 数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数 实数a的相反数是③ 零的相反数是零 相反数 a与b互为相反数台a十b=④ 实数a(a≠0)的倒数是⑤ 实数的 倒数 实数a与b互为倒数台⑥ 有关概念 [a(a>0) 及性质 代数意义：a|=0(a=0) |a具有非负性（课程标准删除内容） 绝对值 -a(a<0) 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的⑦ 离原点越远的数， 绝对值就越大 【随手一练1】（多选题）推理能力实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则下列 各式正确的有( 。-21601a一 A.abe20 B.-eza C.D.lelzla a 数学·讲练册潍坊专用 名称 平方根 算术平方根 立方根 若x2=a,则 若x2=a(x≥0)， 若x3=a, 定义 x=士√a 则x=√a 则x=a 平方根、 a>0 2个（⑧ 数) 1个（正数） 1个（正数） 算术平方根、 性质 a=0 ⑨ 0 0 立方根 a<0 无 无 1个（⑩ 数) ◆温馨提示：课程标准新增内容，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的 负整数)的立方根，如士729=士9，士512=士8等 定义：把一个数N表示成a×10”(1≤a<10,n是整数)的形式 表示方法：当N≥10时，n等于原数N的整数位数减1；当N<1时，n 科学记数法 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字 前零的个数（含小数点前的零） 近似数：将一个数四舍五人后得到的数 近似数与精确度 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪 实 一位 数科学记数法、 ◆温馨提示：用科学记数法表示数要注意单位换算，对于没有单位的数直接确定 近似数 和n的值即可；对于有单位的数，要先换算计数单位（如：1万=10,1亿=108），然 后再确定a和n的值. 【随手一练2】新情境)(2024·北京朝阳区模拟)2024年5月3日，我国嫦娥六号顺 利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦 娥六号在月球背面的南极一艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000米， 将384000000用科学记数法表示为() A.38.4×10 B.3.84×108 C.3.84×10 D.0.384×109 数轴比较法：在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数① 实 华 类别比较法：负数<0<正数；两个负数比较大小，绝对值大的反而② 作差比较法：(1)a一b>0台a③ b;(2)a-b=0台a④ b; 的 (3)a-b<0→a⑤ 6 小 倒数比较法，若}石a5>0,则a同 比 平方比较法：因为由a>b>0,可得√a⑦ √b,所以我们可以把√a与b的大小问题转 较 化成比较a和b的大小问题 优+学秦赢在中考 加法：同号两数相加，取⑧ 的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号 两数相加，取绝对值⑨ 的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数 减法：减去一个数，等于加上这个数的②四 ,即a-b=a+(-b) 四则运算乘法：两数相乘，同号得@ ,异号得② ,并把绝对值相乘；任何数与 0相乘都得0.即a·b=ab,(-a)·(-b)=ab,a·(-b)=-ab(a>0,b> 0);a·0=0 实 1 除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的③ ,即a÷b=aX (b≠0) 数 b 乘方：a·a·…·a=☑ ,表示n个a相乘 数 运 个 算常见运算类型 零次幂：a°=1(a≠0) 负整数指数幂：ap=⑤ (a≠0，p为正整数)，特别地，a1=1 一1的高次幂：一1的奇数次幂为一1，一1的偶数次幂为1 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减 混合运算顺序(2)同级运算，按照从左到右的顺序进行 (3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的 【随手一练3】计算：8+3-√12引+ 20241.57 -2c0s30°= ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●●◆◆◆◆◆0 典型例题剖析 命题点1】相反数、倒数、绝对值 【例1】(2024·烟台福山区一模)下列说法不正确 的是( ) 方法指导→ A.3与一3互为相反数 互为相反数的两数绝对值相同，符号不同. 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号即 R3与写为斜数 可；求一个代数式的相反数，可将该代数式作为 C.一1的立方根是一1 整体先用括号括起来，并在括号前添加“一”号， D.一1的绝对值是1 再按去括号法则去括号化简. 【变式训练1】（多选题）如图所示，实数a,b在数 绝对值同相反数一样，都既具有几何意义，又 轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的 具有代数意义.因此求绝对值的方法通常有两种. 是() 此外，除0外的实数均由性质符号和绝对值两部分 组成，因此，若是求一个实数的绝对值，将其性质符 号去掉后，便得其绝对值。 A号>1 B.-a<6 求一个整数（或整式）的倒数，写成这个整 C.a-b>0 D.-ab>0 数（或整式）分之一即可；求一个分数（或分式） 【变式训练2】(2024·九江柴桑区三模)下列各数 的倒数，只需调换分子和分母的位置（带分数先 化为假分数).注意0没有倒数.互为倒数的两 中，倒数等于本身的是( ) 数符号相同. A.3-1B.2 C.√2 1 0.2 数学·讲练册潍坊专用 命题点2】科学记数法 【变式训练5】(2024·天水清水三模)若0.214≈ 方法指导 0.5981,元≈5.981，则x为() A.214 B.±214 用科学记数法表示数的关键是确定a和n C.2140 D.±2140 的值：a是整数位数只有一位的数，即1≤|a< 10;n是整数，n的绝对值等于从原数到a小数 【变式训练6】(2024·成都中考)若m,n为实数，且 点移动的位数.当表示较大数时，n是正整数；当 (m+4)2+√n-5=0,则(m十n)2的值为 表示较小数时，n是负整数 命题点4】实数的运算 【例2】新情境(2024·琼海模拟)据统计，海南省 2024年“五一”假日全省旅游接待人数为332.37万 方法指导 人次，同比增长3.7%；旅游总花费43.65亿元， 解此类题一般要先化简各项，再利用实数 同比增长3.1%.与2019年同口径对比，全省接 的运算顺序进行运算.进行实数的运算要注意 待游客总人数增长61.0%，旅游花费增长 两点：一是各项的准确化简，特别是负整数指数 84.6%.数据“332.37万”用科学记数法表示 幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简，有时 为() 需整体处理；二是全面观察算式特点，适时利用 A.332.37×104 B.33.237×105 运算律、去括号法则改变运算顺序，简化运算. C.3.3237×106 D.0.33237×10 【例4】(2024·眉山中考)计算：(3一π)°+ 【变式训练3】(2024·烟台中考)目前全球最薄的 手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4 -2 +2sin45°-11-√2. 纸厚度的六分之一.已知1毫米=1百万纳米， 【自主解答】 0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法 表示为() A.0.15×103纳米 B.1.5×104纳米 C.15×10-5纳米 D.1.5×10-6纳米 【变式训练4】(2024·上海中考)科学家研发了一 【变式训练7】(2024·潍坊安丘期末)计算： 种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2× 105GB,一张普通唱片的容量约为25GB,则蓝光 1)27+(分)-5-11-21+(2024-)y 唱片的容量是普通唱片的 倍.（用科学 记数法表示) 命题点3】平方根、立方根 【例3】（多选题）下列说法不正确的是( A.点P(3,一2)到x轴的距离是3 (2)(5-1)(√5+1)-√18 B.点P(-|a|-1,a2+1)一定在第二象限 C.若点P(x,y)在第一、第三象限角平分线上， 则x=y D.若x2=64,则x的立方根是2 优学秦赢在中考 命题点5】实数的大小比较 A.b>a>c B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a 方法指导→ 【变式训练8】(2024·自贡中考)在0，一2，一√3， 实数的各种比较方法，要明确应用条件及 π四个数中，最大的数是() 适用范围.如“差值比较法”用于比较任意两数 A.-2 B.0 C.π D.-√3 的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号 【变式训练9】数学文化(2024·安徽中考)我国 相同的两个数的大小，还有“平方法”“倒数法” 古代数学家张衡将圆周率取值为√10，祖冲之给 等，要依据数值特点确定合适的方法。 22 出圆周率的一种分数形式的近似值为气.比较大 【例5】(2023·扬州中考)已知a=√5，b=2,c= 小：√10 22 √3，则a,b,c的大小关系是( .(填“>”或“<”) ◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆( 中考真题演练 》◆0◆◆◆◆◆◆◆◆0◆0◆◆◆0◆◆4◆◆◆◆◆◆◆◆◆0◆◆◆◆ 二考点1)实数的有关概念 架，运营无人机的企业达1.9万家.将126.7万 用科学记数法表示为( ) 1.(2024·滨州中考，1,3分)- 1 的绝对值 A.1.267×10 B.1.267×106 是( ) C.1.267×10 D.126.7×104 A.2 B.-2 c 1 6.(2024·威海中考，2,3分)据央视网2023年 D.- 10月11日消息，中国科学技术大学中国科学 2 2.（2023·烟台中考，1,3分)一 的倒数 院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行 3 计算机工程技术研究中心合作，成功构建了 是() 255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再 3 2 D.- 2 度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算 3.(2024·烟台中考，1,3分)下列实数中的无理 优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色 数是( 取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万 ) 倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂 A号 B.3.14 C./15 D./64 度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超 4.（2024·威海中考，1,3分)一批食品，标准质量 过二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学记 为每袋454g.现随机抽取4个样品进行检测， 数法表示为( 把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克 A.1×10-5 B.1×10-6 数用负数表示.那么，最接近标准质量的 C.1×10- D.1×10-8 是() 7.(2023·潍坊中考，3,4分)实数a,b,c在数轴 A.+7 B.-5 上对应的点如图所示，下列判断正确的 C.-3 D.10 是( ) 5.(2024·潍坊中考，2,4分)2024年3月份，低 b 空经济首次被写入《政府工作投告》.截至2023年 A.-c<b B.a>-c 底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万 C.la-bl=b-a D.c-al=a-c 数学·讲练册潍坊专用 8.(2024·烟台中考，4,3分)实数a,b,c在数轴 果为8； 上的位置如图所示，下列结论正确的是( ) ③sin○4)⑤)○①5))D目按键的结 方2与0方 果为0.5； A.6c>3 B.a-c<0 ④○3)○①2)Dx2)2目按 C.a>c D.-2a<-2b 键的结果为25. 以上说法正确的序号是 8考点2)实数的有关计算 14.(2024·滨州中考，10,3分)写出一个比5大 9.(2024·威海中考，3,3分)下列各数中，最小的 数是( ) 且比√10小的整数： A.-2 B.-(-2) 15.（2022·烟台中考，13,3分)如图所示是一个 c司 “数值转换机”的示意图.若x=一5，y=3,则 D.-√2 输出结果为 10.(2023·潍坊中考，1,4分)在实数1，一1,0， 输人x √2中，最大的数是() 相加 输出 A.1 B.-1 C.0 D.√2 输入y 11.（2021·淄博中考，3,5分)下表是几种液体在 16.(2022·威海中考，16,3分)幻方的历史很悠 标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体 久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛 是( ) 书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三 液体 液态氧 液态氢 液态氨 液态氨 阶幻方（如图①所示），将9个数填在3×3（三 名称 行三列)的方格中，如果满足每个横行、每个 沸点/℃ -183 -253 -196 -268.9 竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等， A.液态氧 B.液态氢 就得到一个广义的三阶幻方.图②的方格中 C.液态氮 D.液态氦 填写了一些数字和字母，若能构成一个广义 的三阶幻方，则m” (m>0) 12.(2021·淄博中考，6,5分)设m=5-1 2 则() A.0<m<1 B.1<m<2 C.2<m<3 D.3<m<4 13.(2023·烟台中 2nd (ON/C 17.（2024·潍坊中考，15(1)，5分)计算： 考，14,3分)如图 STO ALPHA RCL 所示，利用课本 (MODE LRN (COMP EXP DEL -8+(2)2-1-3 上的计算器进行 1og (ig in sin cos tan 计算，其按键顺 OATA s:￥，M+ 序及结果如下： ①2ndD□6)4))按键的结果为4； ②4+○)2)刀刀3曰按键的结 优学秦赢在中考优计学案 赢在中考 参苦答案 数学潍坊专用 海 ②积@m(a十b+c)四最大公约数函相同 【随手-练3】x(x十1) 【典型例题剖析】 第一部分教材梳理 【例1】A【变式训练1】 -2 第一章数与式 【例2】D【变式训练2】C【变式训练3】16 第1讲实数 【例3】解：(x+2y)(x-2y)-x(x-4y)=x2-4y2-x2+4xy= 【重点知识梳理】 -4y2+4xy, ①0②实数⑧-。@0⑤日 ⑥ab=1⑦距离 当x=√2+1，y=√2-1时，原式=-4×（√2-1）2+4×（√2+ 【随手一练1】ABD 1)×(W2-1)=-4×(3-2V2)+4×(2-1)=-12+8V2+4× ⑧互为相反⑨0⑩负 1=-12+82+4=-8+8√2」 【随手一练2】B 【变式训练4】B ①大②小⑧>④=⑤<⑥< ⑦>⑧相同©较大 【变式训练5】B ⑦相反数①正②负B倒数@a”②1 【例4】CD【变式训练6】D【变式训练73m(a-b)2 【中考真题演练】 【随手一练3】√ 1.BC2.D3.D4.D5.C6.37.908.(n-1)(n+1)+1 【典型例题剖析】 9.解：原式=(xy-4x2)十(4x2-y2) 【例1】B【变式训练1】AD【变式训练2】A =xy-4x2+4x2-y2 【例2】C【变式训练3】B【变式训练4】8×103 =zy-y2, 【例3】AD【变式训练5】A【变式训练61 当无-3y-2时，原式-×2-2-1-4=-8 【例4】解：5-x)+(名) 2 +2sin45°-11-√21= 10.xy(x+2)11.(x+3)212.8 第3讲分式 1+4+2x -(W2-1)=1+4+2-√2+1=6. 【重点知识梳理】 【变式训练7】 ①字母②不等于0③公因式④公因式⑤同分母®号 解：(1)原式=3+2一3-（√2-1）+1 ⑦乘方 =3+2-3-√2+1+1 =3+2+1+1-3-√2 【随手一，千2 =4-√2. 【典型例题剖析】 【例1】(1)BD(2)2【变式训练12 (2)原式=（√3）2-12-√2X9 =3-1-32 变式训练2】解：由2红)8=0，得2x2-8=0且x一2≠0，解得x =2-3√2. 一2.当x=一2时，分式的值为零 【例5】C【变式训练8】C【变式训练9】 【变式训练3】解：等腰三角形.理由：，a,b,c的取值使分式 【中考真题演练】 ab-ac十-c的值为零， 1.C2.D3.C4.C5.B6.B7.C8.B a-b 9.A10.D11.A12.A ∴ab-ac+c2-bc=0,且a-b≠0， 13.①③14.2或315.1316.1 则(a-c)(b-c)=0, 17.解：-8+(3）--31 ∴.a-c=0或b-c=0, .a=c或b=c, =-2+4一3 ∴，这个三角形是等腰三角形 =-1. 【例2解：原武=a一3〉÷4a十5=a一3)2 2-a 第2讲整式及因式分解 2-a =a-2‘(3-a)3+a) 【重点知识梳理】 (a-3)2,a-2_a-3 ①化简 a-2‘(a-3)(a+3)a+3 【随手一练1】2或6 81,潮得a<3 ②多项式③乘积④数字⑤和⑥单项式⑦次数最高 ⑧指数⑨不变⑩不变①改变②an+”⑧am④a"b” 又a是使不等式“2≤1成立的正整数，且a-2≠0a-3≠0a十 ⑤am-”西系数⑦同底数幂⑧ma十mb十mc⑨ma+mb十 3≠0， na+nb①a2-b2④a2士2ab+b2@指数 【随手一练2】AB a1原式-合