精品解析：重庆市实验中学教育联盟2025-20262025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

K12重庆市2025-2026学年度上期一学月质量诊断 九年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，其中开口向下的二次函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 85 B. 81 C. 73 D. 71 7. 某学校组织九年级学生篮球赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，设共有x个班参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 9. 如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，连接，取上点，使，延长交于点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 10. 对于两个代数式，记，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为6； ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题 11. 将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的顶点坐标为__________． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 13. 若，为一元二次方程的两个根，则的值为__________． 14. 已知点，，在函数的图像上，则，，的大小关系是__________． 15. 某种型号飞机着陆后滑行的距离为s(米)，所用的滑行时间为t(秒)，已知s关于t的函数解析式为，则飞机着陆后的最远滑行距离是______________． 16. 如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为_____． 17. 阅读下面的例题与解答过程：例：解方程：． 解：原方程可化为； 设，则； 解得，． 当时，， ； 当时，， 无实数解． 原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看成一个整体，用字母代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解如下方程：，方程的解为__________． 18. 若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为，则称为“平和数”，并将分解成的过程称为“平和分解”．例如：因为，，，所以是“平和数”，分解成的过程就是“平和分解”．按照这个规定，最大的“平和数”是________．把一个“平和数”进行“平和分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，把放在的右边组成一个四位数，若的二倍与的和除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数的值是________． 三．解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点 （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点，使得，求点坐标． 21. 在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）． 已知：在四边形中，，，平分，平分． 求证：． 证明：平分， __________， ， ， ， ， 在和中， ，，__________=__________， ， __________， 同理可得：， ． 小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么______________________________________________________________________________． 22. 为做好消毒工作，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费800元，购买消毒液花费400元，购买的消毒液瓶数恰好是洗手液瓶数的，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格低4元． （1）求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？ （2）学校决定再次购入一批同样品牌的洗手液与消毒液，购买洗手液的数量与第一次相同，购买消毒液的瓶数比第一次的购入量多瓶，此时洗手液与消毒液双双涨价，每瓶洗手液的价格比第一次的价格高元，每瓶消毒液的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液与消毒液的总费用多元，求的值． 23. 如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 24. 二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP； （3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； （3）当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，点为平面内一点，连接、，点为中点，连接． （1）如图1，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在内，连接，若，求证：； （3）如图3，，点在内且，当取最小值时，把沿着翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ K12重庆市2025-2026学年度上期一学月质量诊断 九年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义“等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程”依次进行判断即可． 【详解】解：A、，不是一元二次方程，选项错误，不符合题意； B、化简为，不是一元二次方程，选项错误，不符合题意； C、不是一元二次方程，选项错误，不符合题意； D、，是一元二次方程，选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 下列函数中，其中开口向下的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断二次函数的开口方向，根据抛物线的开口方向和二次项系数的关系逐一判断即可，掌握抛物线的开口方向和二次项系数的关系是解题的关键． 【详解】解：、由可知，， ∴开口向上，不符合题意； 、由可知，， ∴开口向下，符合题意； 、由可知，不是二次函数，不符合题意； 、由可知，不是二次函数，不符合题意； 故选：． 3. 已知是关于的一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因为是关于的一元二次方程的根，把代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的根， ， 解得：． 故选：D． 4. 将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移；根据平移规律“左加右减，上加下减”即可写出表达式． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为， 故选：D． 5. 下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：当a＞0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限， 当a＜0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限， 故选项A、C、D错误，选项B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 85 B. 81 C. 73 D. 71 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键． 根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要根， 故选：B ． 7. 某学校组织九年级学生篮球赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，设共有x个班参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式“班级数每个班比赛场数”是解题的关键． 【详解】解：由题意得，每个班级比赛的场数为场，每两班之间都比赛一场， 总场数为场， ， 故选：B． 8. 如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点、关于对称轴对称判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，则， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线，， ∴， ∴，关于对称轴对称， ∴，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④ 故选：A 9. 如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，连接，取上点，使，延长交于点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是利用等腰三角形两底角相等以及三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 先根据邻补角求出，再由等腰三角形“等边对等角”得，最后利用三角形外角性质求出． 【详解】， ， ， ， 是的外角， ， 故选：D 10. 对于两个代数式，记，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为6； ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系、非负数的性质、一元二次方程的解、根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 将代入代数式，利用数形结合、根的判别式等知识来判断其正确性． 【详解】解：①已知，将其代入， 可得：，即， 整理得， 两边同时除以3得到．解得：或，故说法①错误； ②方程即， ∵若、是方程的解， ∴，． ∴，即②正确； ③方程可化为，即, 当时，或， ∴函数与x轴的交点坐标为， 根据题意画出函数图象如下： 当直线过点A时，两函数图象有1个交点，则，解得：； 当直线过点B时，两函数图象有3个交点，则，解得：； 当直线与函数只有一个交点C，函数与有3个交点， 由题意可得：，即， 所以，解得：， 综上，当或时，关于的方程有两个不相等的实数根，即③错误． 综上，正确的只有1个，故选B． 二．填空题 11. 将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为，所以该抛物线的顶点坐标为； 故答案为． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，平方根的计算，理解并掌握其概念，正确列式求解是关键． 根据一元二次方程的概念得到，且，由此即可求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ∴，且， 解得，，， ∴， 故答案为： ． 13. 若，为一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，则，． 【详解】解：若，为一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 14. 已知点，，在函数的图像上，则，，的大小关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，且离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点，，都在函数的图像上， 且， ∴， 故答案为：． 15. 某种型号飞机着陆后滑行的距离为s(米)，所用的滑行时间为t(秒)，已知s关于t的函数解析式为，则飞机着陆后的最远滑行距离是______________． 【答案】600米 【解析】 【分析】将化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题． 【详解】解：； ∴当时，s取最大值，最大值为． 故答案为：600米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会将二次函数的一般式化为顶点式，根据顶点式求函数的最值． 16. 如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据和都是等边三角形，证明，，得到，根据解答即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故答案为：3． 17. 阅读下面的例题与解答过程：例：解方程：． 解：原方程可化为； 设，则； 解得，． 当时，， ； 当时，， 无实数解． 原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看成一个整体，用字母代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解如下方程：，方程的解为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解换元的实质是转化．结合例题，利用换元法求解即可． 【详解】解：方程可化为． 设，则， 解得 ， 即， ∴，， ∴方程的解是：，． 故答案为：，． 18. 若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字之和、个位数字之和都为，则称为“平和数”，并将分解成的过程称为“平和分解”．例如：因为，，，所以是“平和数”，分解成的过程就是“平和分解”．按照这个规定，最大的“平和数”是________．把一个“平和数”进行“平和分解”，即，将放在的左边组成一个四位数，把放在的右边组成一个四位数，若的二倍与的和除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数的值是________． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义、有理数的混合运算、二次函数的最值问题，解决本题的关键是根据规定的运算法则进行计算即可． 根据“平和数”的定义可知，根据二次函数的最值问题可知当最大时，最大，根据“平和数”的定义可知的最大值是，代入计算求出的最大值即可； 根据（为整数），可知，可得：，可得：，又因为的二倍与的和除以余数为，从而可得：，求出符合要求的，即可求出正整数的值． 【详解】解：设，则，其中、为整数，且，， 则， 整理得：， 当最大时，最大， 当，时， ， 故答案为：； 解：设，则，其中、为整数，且，， 则，， 整理可得：，， ， 整理得：， （为整数）， ， 整理得：， 是完全平方数， ，，且、为整数， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 又的二倍与的和除以余数为， ，， 当时， 则，，（不合题意，舍去） 当时， 则，， ， 综上所述，正整数的值为． 三．解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）移项整理后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 20. 如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点 （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点，使得，求点坐标． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，解一元二次方程，采用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴点坐标为； 当时，， 解得：， ∴点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或． 21. 在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）． 已知：在四边形中，，，平分，平分． 求证：． 证明：平分， __________， ， ， ， ， 在和中， ，，__________=__________， ， __________， 同理可得：， ． 小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么______________________________________________________________________________． 【答案】，，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，作图一基本作图，直角梯形，角平分线的定义，利用尺规作，即可完成作图，由证明，得到，同理可得，即可证明问题，根据证明可得如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 【详解】证明：如图，过点作的垂线，垂足为点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度； 故答案为：，，，；两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度． 22. 为做好消毒工作，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费800元，购买消毒液花费400元，购买的消毒液瓶数恰好是洗手液瓶数的，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格低4元． （1）求一瓶洗手液的价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？ （2）学校决定再次购入一批同样品牌的洗手液与消毒液，购买洗手液的数量与第一次相同，购买消毒液的瓶数比第一次的购入量多瓶，此时洗手液与消毒液双双涨价，每瓶洗手液的价格比第一次的价格高元，每瓶消毒液的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液与消毒液的总费用多元，求的值． 【答案】（1）一瓶洗手液的价格为20元，一瓶消毒液的价格是16元 （2）的值为12 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用．根据题意找准等量关系，列出相应方程是解答本题的关键． （1）设一瓶洗手液的价格为元，则一瓶消毒液的价格是元，根据题意可列出关于的分式方程，求出即可求解． （2）先求出第二次购买洗手液的数量为瓶，第二次购买消毒液的数量为瓶，每瓶洗手液的价格为元，每瓶消毒液的价格为元，再结合题意列出关于的一元一次方程，解出即可． 【小问1详解】 解：设一瓶洗手液的价格为元，则一瓶消毒液的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程得解， ∴一瓶消毒液的价格是元， ∴一瓶洗手液的价格为20元，则一瓶消毒液的价格是16元． 【小问2详解】 解：根据题意得：第二次购买洗手液的数量为瓶，第二次购买消毒液的数量为瓶， 每瓶洗手液的价格为元，每瓶消毒液的价格为元， 根据题意可列等式：， 解得，（不符合题意舍去）， ∴的值为12． 23. 如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2）图见解析；性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，①当，点在上，点在上，②当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 【小问1详解】 解：，， ， ①当，点在上，点在上， 此时，， ； ②当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为； 【小问2详解】 解：列表如下： 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 描点连线如下： 性质：函数值的最大值为8； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当函数时或． 24. 二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP； （3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标． 【答案】（1）y=x2；（2）证明见解析；（3）（，3）或（﹣，3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论； （3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x， x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案． 【详解】解：（1）∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为y=ax2， 将点A（1，）代入y=ax2得：a=， ∴二次函数的解析式为y=x2； （2）∵点P在抛物线y=x2上， ∴可设点P的坐标为（x， x2）， 过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=|x2﹣1|，PB=|x|， ∴Rt△BPF中， PF==x2+1， ∵PM⊥直线y=﹣1， ∴PM=x2+1， ∴PF=PM， ∴∠PFM=∠PMF， 又∵PM∥y轴， ∴∠MFH=∠PMF， ∴∠PFM=∠MFH， ∴FM平分∠OFP； （3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°， ∴∠FMH=30°， 在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4， ∵PF=PM=FM， ∴x2+1=4， 解得：x=±2， ∴x2=×12=3， ∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； （3）当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象的性质得到，把点的坐标代入二次函数，运用待定系数法即可求解； （2）设，结合二次函数图象得到的面积，利用二次函数最值的计算得到，根据造桥问题的最短路径的计算方法：作点关于轴的对称点，则，连接，将向下平移个单位，即点重合，得到，则，连接，交轴于点，此时的线段最短，即的值最小，由两点坐标距离公式即可得到的值，由此即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，则，则，根据全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，平行四边形的性质，结合图形，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数 中，当时，，当时，， ∴，则直线于坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∴， ∵抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：点C是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， 如图所示，过点作轴，交于点， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴，即， 如图所示，作点关于轴的对称点，则，连接，则，将向下平移个单位，即点重合，得到，则，连接，交轴于点，此时的线段最短，即的值最小， ∴， ∴的最小值为， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：存在，所有满足条件的点 Q 的坐标为或，理由如下， ∵，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵将点N向下平移1个单位得到点P， ∴， ∴，， ， ∵抛物线的表达式为， ∴顶点坐标为， 如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等， ∴抛物线沿直线的方向平移得到的新抛物线 ，若新抛物线 过点则满足条件， ∵， ∴， 在中，， ∴，即是等腰直角三角形， 根据轴对称的性质得到是等腰直角三角形，则， 由（1）可知， ∴，即轴， ∴，即新抛物线的顶点坐标为， ∴，即原抛物线的向右平移个单位，向下平移个单位得到的新抛物线的顶点，但不符合沿方向平移，故舍去； 如图所示，当四边形是平行四边形时，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等， ∴抛物线沿直线的方向平移得到的新抛物线 ，若新抛物线 过点则满足条件， 设，且，，， ∴， 解得，， ∴，即新抛物线的顶点坐标为， ∵，即原抛物线的向右平移个单位，向下平移个单位得到的新抛物线的顶点，但不符合沿方向平移，故舍去， 综上所述，不存在点 Q ，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等． 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数，全等三角形的判定方法，平行四边形的性质，轴对称图形的性质，二次函数与几何图形面积的计算等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 26. 在中，，点为平面内一点，连接、，点为中点，连接． （1）如图1，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在内，连接，若，求证：； （3）如图3，，点在内且，当取最小值时，把沿着翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如下图，延长至点，使得，连接，在上取点，使得， ∵，点为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先确定，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进而额的，然后结合三角形外角的定义和性质即可获得答案； （2）延长至点，使得，连接，在上取点，使得，结合三角形中位线的性质可得，，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可证明结论； （3）取中点，连接，结合三角形中位线的性质证明，可知点的运动轨迹在以为直径的圆上，设中点为，当三点共线时，取最小值，此时连接，过点作于点，过点作于点，证明，结合相似三角形的性质解得的值，进而可求得的值，由折叠的性质可得，然后由四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如下图，取中点，连接， ∵点为中点，点为中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在以为直径的圆上， 设中点为，当三点共线时，取最小值， 此时，连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵把沿着翻折到的同一平面得到， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线的性质、三角形外接圆、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $