11.3.2 两数和（差）的平方 教案 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该教案聚焦“两数和（差）的平方”公式的推导、理解与应用，课堂导入先复习多项式乘法及平方差公式，再通过“土地面积比较”生活情境引发认知冲突，衔接旧知与新知，搭建从具体到抽象的探究支架。 特色在于以生活情境培养数学眼光，用图形验证公式几何意义，推导过程发展数学思维（推理与符号意识），例题与检测强化数学语言应用（模型意识）。如土地面积问题抽象数量关系，图形直观理解公式结构，助力学生提升探究与应用能力，为教师提供清晰可操作的教学流程。

11.3.2 两数和（差）的平方（一） 青龙初中 赵廷春 【核心素养下的教学目标】： 知识与技能目标： 1．学生掌握“两数和（差）的平方”公式，会推导“两数和（差）的平方”公式，并能准确运用公式进行简单的计算。 2．了解“两数和（差）的平方”公式的几何意义。 过程与分析目标： 经历探究“两数和（差）的平方”公式的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法辩证思想，掌握“两数和（差）的平方”公式结构特征，能正确应用. 素养、情感与态度目标： 形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感。 【教学重点】： 对“两数和（差）的平方”公式的理解，掌握“两数和（差）的平方”公式的结构特征，熟练运用“两数和（差）的平方”公式进行简单计算。 【教学难点】： 理解“两数和（差）的平方”公式的几何意义，了解公式中字母的广泛含义，落实代数推理能力的培养。 【教学建议】： （1）在教学中，要帮助学生对照“两数和（差）的平方”公式找特点，培养学生的观察能力； （2）要引导学生体会根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示并给出证明这一重要的探索过程，要让学生体会符号运算对证明猜想的作用。 【教学过程】： 一、创设情境 教师活动：复习旧知 （约2分钟） 多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b) (m+n)=am+an+bm+bn (若有同类项，要合并同类项） 我们学习了(a+b)(a-b)公式后，发现了什么？ 这类结构特殊的多项式乘以多项式,可以按照公式直接计算，要简单一些. (a+b)2=a2+2ab+b2 学生活动：解决问题 学生积极回答，把解决问题的过程、结果向教师和全班同学展示汇报。 设计意图：学生根据教师提出的问题进行回忆，并再次练习，达到巩固旧知的目的，也为本节课的学习奠定必备的知识基础。 二、导入新课 （约3分钟） 教师活动：提问：（生活中的问题） 小张家有一块边长为（a+b）的正方形土地，他的邻居家有两块正方形土地，一块边长为a,另一块边长为b.有一天，邻居向小张提出用这两块正方形土地换小张家这一块正方形土地,小张却拿不定主意，你能帮小张出一出主意吗？ 学生活动：讨论： 小张家土地： 邻居家土地： (a+b) a b 面积： (a+b)2 = 面积和： a2 + b2 ？ 教师活动：提问：为什么呢，能否证明？ 设计意图：让学生经历“两数和（差）的平方”公式这个问题的产生过程，为下一步掌握“两数和（差）的平方”公式的几何意义、结构特征，做好铺垫. 三、讲授新课 教师活动：提出任务： （约1分钟） 用多项式乘法法则计算：(a+b)2. 学生活动：解决问题（导学案） (a+b)2=( a + b ) ( a + b ) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 教师活动：提出任务 （4分钟） 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1 ) (p+1)2=(p+1)(p+1)= 结果为：p2+12再加上2·p·1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= 结果为：m2+22再加上2·m·2 学生活动：解决问题（导学案） P2+2p+1 m2+4m+4 教师活动：提问：根据上面的规律，你能直接写出下面式子答案吗？ (a+b)2= a2+2ab+b2 【板书课题： 两数和（ ）的平方】 学生活动：讨论并获得新知： 1、 “两数和的平方”公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 2、 这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 3、这个公式叫做两数和的平方公式. 4、今后像这样的“特殊的多项式乘以多项式”就用这个公式来计算 教师活动：展示图形 （约2分钟） ( aa ) (( (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 学生活动：观察图形 (a+b)2=a2+2ab+b2 设计意图：让学生感知“两数和的平方”公式的几何意义 教师活动：例题讲析 （约5分钟） 例1、 计算： （1）、(3x+2y)2 （2）、(2a+ )2 学生活动： 参与计算，找准公式中的a、b ，代入两数和公式：(a+b)2=a2+2ab+b2进行计算，体验a、b可以代表整式。 教师活动：提出任务 （约4分钟） 推导两数差的平方公式（a-b）2 学生活动：参与计算，获得新知： 这样就得到了两数差的平方公式： （a- b)2= a2-2ab+b2 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍 . 教师活动：展示图形 （约2分钟） 多减了 (a-b)2 = (大正方形) a2 -2ab +b2 学生活动：观察图形 (a-b)2=a2-2ab+b2 设计意图：让学生感知“两数差的平方”公式的几何意义。【再次补全课题】 教师活动：例题讲析 （约2分钟） 例2、 计算(2x－3)2； 学生活动： 利用公式计算，找准公式中的a和b,代入两数差公式： (a-b)2=a2-2ab+b2进行计算，体验a、b可以代表整式。 教师活动：提出练习任务 （约5分钟） 计算： （1）(3x-2y)2 （2）（-m+1)2 （用两种方法解答） 学生活动：完成练习 设计意图：学生独立完成练习，加深对“两数和（差）的平方”公式的理解，掌握“两数和（差）的平方”公式的结构特征，熟练运用“两数和（差）的平方”公式进行简单计算。 四、当堂检测 1、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （约1分钟） (1) (x+y)2=x2 +y2 × x2+2xy +y2 (2) (x -y)2 =x2 －y2 × x2－2xy +y2 (3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2 × x2 －2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × 4x2+4xy +y2 2、已知a＋b＝7，ab＝10，求(a＋b)2，a2+b2, (a－b)2 的值． （约4分钟） 解：∵ a+b=7 ∴(a+b)2=72 =49 即: a2+2ab+b2=49 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 ∴ a2+2ab+b2-2ab=49-2ab ∴ a2+b2=49-2×10 =29 由上可知： a2+b2=29 ∴a2-2ab+b2=29-2ab 公式：(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，a 2-2ab+b2=(a-b)2 =29-2×10 =9 即：(a-b)2=9 3．有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（   ） （约4分钟）    A、10 B、13 C、16 D、19 A B 解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵ 由图甲得：(a-b)2=3，即a2+b2-2ab=3， 由图乙得：(a+b)2-a2-b2=16，整理得2ab=16， ∴ a2+b2-16=3 ∴ a2+b2=19． 即正方形A、B的面积之和为19． 故选：D． 设计意图：让学生体验学习新知后运用知识解决问题的成就感，为今后继续学习、快乐学习建立信心。 五、课堂小结：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2 （约1分钟） 六、布置作业:《教材》P 40 ——1、2、3题 七、课堂板书和设计 ( 课题 两数和的平方公式： 例、1 例、2 (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 两数差的平方公式： (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 （学生练习） ) 八、教学反思： 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $