精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年高二上学期初态考数学试卷

2025-2026学年上海市南洋模范中学高二年级上学期初态考数学试卷 2025.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 设集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 根据集合交集的概念与运算，可得. 故答案：. 2. 已知角两边和角的两边分别平行且，则________. 【答案】或. 【解析】 【分析】根据等角定理，建立方程，可得答案. 【详解】由等角定理可知，或，或. 故答案为：或. 3. 已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的基本性质求解即可 【详解】因为，， 所以，， 所以的范围是 故答案为： 4. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，则四边形的面积___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出平行四边形的面积为，设四边形的面积为，由即可求解. 【详解】由题设平行四边形，的面积为，四边形的面积为， 因，所以， 根据直观图与原图面积关系. 故答案为：. 5. 函数的部分图像如图所示，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，再求出，再结合，从而可求解. 【详解】由题中图象可得，周期，则， 又，则，所以，， 又因为，所以可得，则. 故答案为：. 6. 已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数f(x)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解. 【详解】函数的图象如图所示： 若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点， 由图知： 故答案为： 【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 7. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 【答案】； 【解析】 【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1． 考点:等比数列的通项公式． 8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过C作，过B作，由已知条件求出BD、AE，所求高度差即为 【详解】过C作，过B作，如图所示， 已知与的差为，则， 又，则 ， 因 则 ， 又，，则， 由正弦定理， 则， 因， 即 ， 又，所以 ， 则，两点到水平面的高度差 （米）. 故答案为：． 9. 已知五个点，满足：，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可. 【详解】因为， 所以，，， 由题意设，则，， 设，如图，因为求的最小值， 则，，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值. 10. 已知是异面直线的公垂线段，，且与成角，在直线上取，在直线上取，则两点的距离是______. 【答案】4或 【解析】 【分析】根据题意，分点在公垂线段的同侧或异侧两种情况考虑，通过过点在平面内作，过点作于点，推得，求得和，借助于即可求得两点的距离. 【详解】 ① 当点在公垂线段的同侧时，如上图所示. ， 过点在平面内作，过点作于点，连接. 因与成角，则，，. 因，故四边形为平行四边形，则且， 又是异面直线的公垂线段，则，因平面，则平面， 又平面，则，故， 在中，. ②当点在公垂线段的异侧时，如上图所示.同法作直线和，连接， 因，可得，且， 在中，由余弦定理，， 由①，，，则，又，则， 中，. 故答案为：4或. 11. 函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数在区间的单调性，利用单调性得出函数的最大值和最小值，由此可得出函数的值域. 【详解】设，，作出函数在区间上的图象如下图所示： 可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，由，得，由，得，所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，， 又，， ，， 因此，函数的值域为. 故答案为. 【点睛】本题考查函数值域的求解，将函数分拆成两个简单函数来分析单调性，进而分析原函数的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12. 正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解. 【详解】如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设l，m，n是不同的直线，m，n在平面内，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答. 【详解】若且，当时，直线可以与平面平行，此时，不能推出， 若，m，n是平面内两条不同的直线，则，， 所以“且”是“”的必要不充分的条件. 故选：B 14. 对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】曲线的“优美点”个数，就是的函数关于原点对称的函数图象，与的图象的交点个数，求出的函数关于原点对称的函数解析式，与联立，解方程可得交点个数． 【详解】曲线的“优美点”个数， 就是的函数关于原点对称的函数图象，与的图象的交点个数， 由可得， 关于原点对称的函数，， 联立和， 解得或， 则存在点和为“优美点”， 曲线的“优美点”个数为4，故选C． 【点睛】本题考查新定义理解和运用，考查转化思想和方程思想，属于难题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 15. 如图，正方形的边长为是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求向量的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质判断AC，由向量相等求，结合三角函数性质求，的最值. 【详解】以A为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则，， 内切圆的方程为， 可设， 则，， 所以，当，即为的中点时取等号， 所以的最大值为4，A正确； 因为， 所以，当，即时等号成立， 所以的最大值为，C错误， 由，可得， 得，， ，， 当，即时，所以所以的最大值为， B正确， 当，即时，所以所以的最大值为，D正确， 故选：C. 16. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，求证，再利用线面平行的判定定理判定即可； （2）将问题转化为求或其补角的余弦值，利用余弦定理计算即可. 【小问1详解】 设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. 【小问2详解】 连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 18. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式结合新定义计算即可； （2）利用辅助角公式化简函数式，结合正弦函数的单调性计算即可. 【小问1详解】 ，所以． 【小问2详解】 依题意∴， 递增区间为， 取，则函数在上的严格递增区间为． 19. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行的传递性证明即可； （2）表示出、，利用余弦定理求出，即可得解. 【小问1详解】 如图，连接， 因为、分别是、的中点，所以，又， 所以，所以， 所以、、、四点共面； 【小问2详解】 因为四面体为棱长为6的正四面体，又，则， ∴， 因为、分别是、的中点，则， ∴ ， ∴ . 20. 已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前n项和，． 若，求的值； 若是公比为的等比数列，求证：数列为等比数列； 若的各项都不为零，是公差为d的等差数列，求证：，，，，成等差数列的充要条件是． 【答案】（1）8；（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】直接代入计算即可； 通过设，利用等比数列的求和公式及，计算可知，进而化简即得结论； 通过数列是公差为的等差数列，对变形可知，然后分别证明充分性、必要性即可． 【详解】解：，，， ， ， ， 证明：设，则， ， ， ，为常数 数列为等比数列， 数列是公差为d的等差数列， 当时，， 即， 数列的各项都不为零， ，， 当时，， 当时，， 两式相减得：当时，． 先证充分性： 由可知， 当时，， 又， ， 即，，，成等差数列； 再证必要性： ，，，成等差数列， 当时，， ， ． 综上所述，，，，成等差数列的充要条件是 【点睛】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题． 21. 对于函数、、，如果存在实数、使得，那么称为、生成函数. （1）若，，，则是否分别为、的生成函数？并说明理由； （2）设，，，，生成函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）设，取，，生成函数图象的最低点坐标为，若对于任意正实数、且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）是；理由见解析；（2）；（3）存在，且. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式将函数的解析式展开，利用题中的定义可判断出是、的生成函数； （2）先得出函数，根据题意得出在上有解，设，利用参变量分离法得出，可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）先得出函数，利用题意以及基本不等式得出，，然后利用基本不等式求出在条件下的最小值，即可得出的取值范围，即可求出的最大值. 【详解】（1），因此，是分别为、的生成函数； （2）由题意可得， 由于不等式在上有解，即， 化简得， 令，则有，得， 由题意可得，由于函数在上单调递增， 所以，，. 因此，实数的取值范围是； （3）由题意可得， 函数图象的最低点坐标为， 由基本不等式得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则，解得， . . 令，由基本不等式得， 由双勾函数的单调性知，函数在上单调递减， 则，. 因此，存在最大值的常数. 【点睛】本题考查的知识点“生成函数”定义，同时也考查了利用不等式成立求参数的取值范围，以及利用基本不等式以及双勾函数的单调性求解有关参数的问题，考查函数方程思想的应用，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市南洋模范中学高二年级上学期初态考数学试卷 2025.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 设集合，则___________. 2. 已知角的两边和角的两边分别平行且，则________. 3. 已知，，则的取值范围是______. 4. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，则四边形的面积___________． 5. 函数的部分图像如图所示，则___________． 6. 已知函数，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________. 7. 若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______. 8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为___________． 9. 已知五个点，满足：，，则的最小值为______． 10. 已知是异面直线公垂线段，，且与成角，在直线上取，在直线上取，则两点的距离是______. 11. 函数的值域为________. 12. 正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设l，m，n是不同直线，m，n在平面内，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为 A 1 B. 2 C. 4 D. 6 15. 如图，正方形的边长为是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为 16. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． （1）设函数，试求的互生向量； （2）记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间． 19. 在四面体中，、分别是、的中点，点、分别是、边上的点，且． （1）求证：、、、四点共面； （2）若四面体为棱长为6的正四面体，求四边形的周长． 20. 已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前n项和，． 若，求的值； 若是公比为的等比数列，求证：数列为等比数列； 若的各项都不为零，是公差为d的等差数列，求证：，，，，成等差数列的充要条件是． 21. 对于函数、、，如果存在实数、使得，那么称为、的生成函数. （1）若，，，则是否分别为、的生成函数？并说明理由； （2）设，，，，生成函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）设，取，，生成函数图象的最低点坐标为，若对于任意正实数、且，试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $