专题01 排列与排列数8大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题01 排列与排列数8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、排列的概念 1 题型二、排列的计算 2 题型三、排列数方程和不等式问题 4 题型四、全排列问题 5 题型五、元素有限制的排列问题 7 题型六、相邻问题 8 题型七、不相邻问题 10 题型八、数字的排列问题 12 B 综合攻坚·能力跃升 15 题型一、排列的概念 1．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 2．（多选）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 3．（多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 4．请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 题型二、排列的计算 1．下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的值是（    ） A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2 3．（多选）已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算下列各式． (1)； (2)． 5．计算下列各式的值： (1)； (2)(，且)． 题型三、排列数方程和不等式问题 1．满足不等式的的值为（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 4．若，则 . 5．已知，则n的值为 . 题型四、全排列问题 1．用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 2．某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 3．为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 4．一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 6．学校要安排一场文艺晚会的10个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，3个音乐节目要求排在第2，5，7的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，不同的排法有（    ） A．72种 B．144种 C．288种 D．576种 题型五、元素有限制的排列问题 1．甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 2．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是 . 3．有4名男生，5名女生，全排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法种数的是 . 4．如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为 种.    5．将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有 种. 6．圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 ． 题型六、相邻问题 1．为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（    ） A．120 B．360 C．180 D．90 2．将这5名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有1名同学的排法有（    ） A．10种 B．20种 C．18种 D．15种 3．某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有 （用数字作答）种. 4．三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有 种．（用数字作答） 5．某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有 种不同的排法．（用数字作答） 6．七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为 ． 题型七、不相邻问题 1．现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（   ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 2．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 3．有2位男同学与3位女同学坐在一排参加一个座谈会，若男同学之间不相邻，则有 种不同的安排方法.（用数字作答） 4．在我市的一项竞赛活动中，某县的三所学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意2名学生不能相邻，那么不同的排法有 种．（用数字作答） 5．在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种馅料的烧饼（肉、糖、什锦、腊肠、火腿）各1个，每个格子只能放1个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有 种． 6．某商店门前有10个停车位，现有A和B共2辆小轿车要停靠在该门前，且A和B至少间隔4个停车位，有多少种不同的停车方法？ 题型八、数字的排列问题 1．2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 2．（多选）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有（    ） A．如果个位数是0，则前3位有种排列 B．如果个位是2或4，则前3位有种排列 C．符合题意的四位偶数共有156种 D．符合题意的四位偶数共有300种 3．用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为 . 4．用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，在下列情况中，各有多少个？ (1)奇数； (2)能被5整除； (3)比35142小． 5．2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆头.那么，用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为（   ） A．294 B．297 C．298 D．300 一、单选题 1．（2024·25高二下·黑龙江鸡西·期中）用0、1、2、3、4、5这六个数组成无重复数字的四位数，其中偶数有（    ）个. A．156 B．300 C．180 D．120 2．（2024·25高二下·吉林松原·期中）已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 3．（2024·25高二下·重庆万州·期中）2022年北京冬奥会圆满结束，学校要求出一期有关于冬奥会的主题黑板报，小亮在书写本届冬奥会的主题“Together for a Shared Future”时，只记得Future包含的字母，忘记了正确拼写顺序，请问，小亮乱写，小亮写正确的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 5．（2024·25高二下·上海浦东新·期中）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 二、多选题 6．（2024·25高二下·贵州·期中）某学校举行校园歌手大赛活动邀请了6位专家评委，在活动结束时邀请这6位专家站成一排合影留念，则下列说法正确的是（   ） A．若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有120种排法 B．若专家甲、乙两人不相邻，则共有480种排法 C．若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有72种排法 D．若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有480种排法 7．（2023·24高二上·辽宁沈阳·期末）4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（   ）（选项中排列数的计算结果均正确） A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种 B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种 C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种 D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种 三、填空题 8．（2024·25高二下·吉林·期中）计算 . 9．（2025高三·全国·专题练习）从按直线方向排列的10块地中选2块种植两种作物，且至少间隔6块，有 种不同的种植 10．（2024·25高二下·河南周口·期中）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6，7，8的卡片各1张，两人轮流从中不放回地随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率是 . 四、解答题 11．（2023·24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 12．（2022·23高二下·四川广安·期中）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起． (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 排列与排列数8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、排列的概念 1 题型二、排列的计算 2 题型三、排列数方程和不等式问题 4 题型四、全排列问题 5 题型五、元素有限制的排列问题 7 题型六、相邻问题 8 题型七、不相邻问题 10 题型八、数字的排列问题 12 B 综合攻坚·能力跃升 15 题型一、排列的概念 1．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 2．（多选）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 3．（多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 【答案】ACD 【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题； 对于C，从10个不同的质数中取2个数求其商，2个数谁作被除数谁作除数结果不同,与顺序有关，是排列问题； 对于D，从数字从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题． 故选：ACD. 4．请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）根据题意，从4个不同元素中任取3个元素的所有排列共有如下种： . （2）从7个不同元素中任取2个元素的所有排列共有如下种： . 题型二、排列的计算 1．下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．对于选项A，． 对于选项B，． 对于选项C，． 对于选项D，． 故选：B． 2．计算的值是（    ） A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2 【答案】C 【详解】 故选：C 3．（多选）已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，故A错误；，，则，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：CD. 4．计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)480 (2)16 【详解】（1）； （2）. 5．计算下列各式的值： (1)； (2)(，且)． 【答案】(1)3 (2)1 【分析】 【详解】（1）； （2） ． 题型三、排列数方程和不等式问题 1．满足不等式的的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，可得， 由题意可得且，故或. 故选：A. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 3．（多选）已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】BD 【详解】因为， 所以，即，解得； 又，，所以或4， 故选：BD. 4．若，则 . 【答案】3 【详解】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3 5．已知，则n的值为 . 【答案】4 【详解】由，解得. 故答案为：4. 题型四、全排列问题 1．用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 【答案】A 【详解】个位数字可以是，可得， 故选：A. 2．某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 【答案】C 【详解】由题意可得不同的选择及安排方法有种. 故选：. 3．为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 【答案】C 【详解】先从5名男老师中任选2名负责陶艺和木工，则有种， 再从余下的6名老师中任选3名负责剪纸、面塑、扎染，则有种， 所以共有种. 故选：C 4．一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【详解】由于4个数互不相同，故将这4个数全排列共有种排序方法， 而一个数阵有m行4列，要使任意两行的顺序都不相同，故m的值最大为24， 故选：C. 5．八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 【答案】A 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①“土”包括“缶(fǒu)、埙(xūn)“2种乐器，在其中选出1种有2种选法， “丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器，在其中选出1种有4种选法， “竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器，在其中选出1种有3种选法， 测在三类乐器中各选1种乐器，有种选法； ②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，有种情况， 则有种不同的分配方法； 故选：A. 6．学校要安排一场文艺晚会的10个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，3个音乐节目要求排在第2，5，7的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，不同的排法有（    ） A．72种 B．144种 C．288种 D．576种 【答案】A 【详解】第一步排音乐节目，有种排法；第二步排舞蹈节目，有种排法； 第三步排曲艺节目，有种排法， 所以共有种排法. 故选：A. 题型五、元素有限制的排列问题 1．甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【答案】B 【详解】因为甲不去重庆动物园， 所以甲有三种不同的去处， 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同， 所以这三人的不同选择方法共有， 故选：B 2．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是 . 【答案】 【详解】设学校为，先把甲、乙两位老师安排到不同学校，有种， 不妨设甲在，乙在，只需剩余3人至少有1人去即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法. 故答案为：. 3．有4名男生，5名女生，全排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法种数的是 . 【答案】241920 【详解】先排甲有种不同的排法，再排其余8人，有种不同的排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法共有种． 故答案为：. 4．如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为 种.    【答案】96 【详解】假设三个不同班级的各两名代表分别为、、， 若号座位只有两个不同班级的代表，则同一班级的在号座位， 则号座位需为另一同班级的两名代表， 此时号座位为同一班级的两名代表，不符合题意， 故号座位必须是3个不同班级的代表，有种方法； 则号座位只有种就坐方法，因此所有可能坐法为. 故答案为：. 5．将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有 种. 【答案】504 【详解】根据题意将排成一列，有种排法， 而在首位，有种排法，同理在末位，有种排法， 当在首位，同时在末位有种排法， 则不在首位且不在末位的排法共有种. 故答案为：504. 6．圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 ． 【答案】120 【详解】A，B，C三位同学围成一个圆，ABC、BCA或CAB是同一排列， 其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个． 三位同学围成一个圆的排列总数为， 由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为， 故答案为：120. 题型六、相邻问题 1．为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（    ） A．120 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共种排列顺序； 歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位，共种排列顺序， 所以满足题意的排列顺序种数为， 故选：A． 2．将这5名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有1名同学的排法有（    ） A．10种 B．20种 C．18种 D．15种 【答案】B 【详解】根据题意，分两种情况： 若与之间为，即在中间且三人相邻，共有种情况， 将三人看成一个整体，与两人全排列，共有种情况，则此时有种排法． 若与之间不是，先从中选取1人，安排在之间，有种选法， 此时在的另一侧，将4人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况， 将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法， 所以总共有种情况， 故选：B． 3．某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有 （用数字作答）种. 【答案】144 【详解】6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有（种）， 6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有（种）， 所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（种）. 故答案为：144. 4．三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有 种．（用数字作答） 【答案】 【详解】将两个空位视为一个整体与三个人排列，又两个空位没有区别，故共有种排法. 故答案为：. 5．某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有 种不同的排法．（用数字作答） 【答案】240 【详解】根据题意，分2步进行， 先将2名女生排在一起，看成一个元素，考虑其顺序，有种情况， 再将其与其他4名男生全排列，有种情况， 则其不同的排列方法为种， 故答案为：240． 6．七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为 ． 【答案】192 【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故答案为：192. 题型七、不相邻问题 1．现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（   ） A．120种 B．144种 C．96种 D．160种 【答案】A 【详解】第一种情况，首先化学书在2本数学书的中间，数学书排列有2种方法，再让三本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 第二种情况，若1本物理书在2本数学书的中间，则这3本书看成1个元素，有种方法，再和化学书排列有种方法，最后剩下的2本物理书插空，有种方法，所以共有种方法， 综上，共有种方法. 故选：A 2．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 【答案】144 【详解】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序， 再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序， 最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序， 根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. 3．有2位男同学与3位女同学坐在一排参加一个座谈会，若男同学之间不相邻，则有 种不同的安排方法.（用数字作答） 【答案】72 【详解】先排3位女同学，有种方法，再在3位女同学之间形成的4个空位中任选2个安排男同学去坐，有种方法， 根据分步乘法计数原理有种不同的安排方法. 故答案为：72 4．在我市的一项竞赛活动中，某县的三所学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意2名学生不能相邻，那么不同的排法有 种．（用数字作答） 【答案】120 【详解】记有1名、2名、3名学生获奖的学校分别为． 先排学校的3名学生，有种；再对学校的学生进行排列： ①若校的1名与校2名中的1名相邻，则有种排法； ②若校的1名与校的2名均间隔，则有种排法． 由加法原理得（种）． 故答案为：120. 5．在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种馅料的烧饼（肉、糖、什锦、腊肠、火腿）各1个，每个格子只能放1个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有 种． 【答案】24 【分析】 【详解】解法1：分三步：第一步，将糖、什锦馅的烧饼捆绑，有种不同的方法； 第二步，将糖、什锦馅的烧饼相邻捆绑当成一个元素，与火腿馅的烧饼全排列，有种不同的方法； 第三步，将肉馅和腊肠馅的烧饼插入到第二步中所形成的3个空中的2个，有种不同的方法． 故一共有（种）不同的方法． 故答案为：24. 解法2：把糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与余下的三个馅的烧饼，共4个元素进行全排列，有种不同的方法； 糖、什锦馅的烧饼相邻，且肉馅和腊肠馅的烧饼相邻摆放有种， 所以所求摆放方法共有（种）． 故答案为：24. 6．某商店门前有10个停车位，现有A和B共2辆小轿车要停靠在该门前，且A和B至少间隔4个停车位，有多少种不同的停车方法？ 【答案】30 【详解】解法1：对轿车A的位置进行分类 当A在第1号车位上时，B可以在第6，7，8，9，10号车位上，有5种方法． 当A在第2号车位上时，B可以在第7，8，9，10号车位上，有4种方法． 当A在第3号车位上时，B可以在第8，9，10号车位上，有3种方法． 当A在第4号车位上时，B可以在第9，10号车位上，有2种方法． 当A在第5号车位上时，B可以在第10号车位上，有1种方法． 由分类加法计数原理可得共有种不同的停车方法， 再交换A和B的位置，可得共有30种不同的停车方法， 解法2：把4个停车位进行捆绑，先在其余的6个停车位中选2个放A和B， 有种方法；再把捆绑的4个车位插在A和B之间，由于不考虑顺序， 因此有1种方法，由分步乘法计数原理可得，不同的停车方法有种． 题型八、数字的排列问题 1．2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 【答案】C 【详解】数字：2，0，2，5，4，2，3中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种， 当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，2，3出现了3次，排列的情况有种， 所以不同的7位数有个. 故选：C. 2．（多选）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有（    ） A．如果个位数是0，则前3位有种排列 B．如果个位是2或4，则前3位有种排列 C．符合题意的四位偶数共有156种 D．符合题意的四位偶数共有300种 【答案】ABC 【详解】对于选项A：若末位是0时，前三位从1至5中任选3个排至前三位即可， 所以有种排列，故A正确； 对于选项B：若末位是2或4时，则首位不能为0，有种排放， 中间两位从剩余的4个数字中任选2个排列，有种排放， 所以前3位有种排列，故B正确； 对于选项CD：若个位数是0，由选项A可知有种排法； 若个位是2或4，由选项B可知有种排法； 所以符合题意的四位偶数共有种，故C正确，D错误； 故选：ABC. 3．用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为 . 【答案】 【详解】数字、、、、、、中被整除的有、、， 被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 若所选的个数均能被整除，即所选的三个数为、、，则三位数的首位不能放， 此时，首位数有两种选择，此时，共有个合乎条件的三位数； 若在、中选一个数，在、中选一个数，则需在、、中选一个数， 若在、、中选择，则三位数的首位不能排，首位有两种选择， 此时，满足条件的三位数个数为； 若在、、中选择为或，则首位任排， 此时，满足条件的三位数的个数为. 综上所述，满足条件的三位数的个数为. 故答案为：. 4．用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，在下列情况中，各有多少个？ (1)奇数； (2)能被5整除； (3)比35142小． 【答案】(1)288 (2)216 (3)347 【分析】 【详解】（1）得到一个五位奇数，可以分3步： 第一步，定个位数，从1、3、5中任选一个，有3种方法； 第二步，定首位，从余下除0外的4个数中任选一个，有4种方法； 第三步，定其余位数，从余下4个数中任选3个按序排上，有种方法. 由分步计数原理得，共有个这样的五位数. （2）被5整除且无重复数字的五位数，个数上的数有2类情况： 第一类，当个数上的数字是0时，其他数位上的数有个； 第二类，当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有种方法，而后确定其他三个数位上的数有种方法，所以共有个数， 由分类计算原理共有个这样的五位数． （3）得到比35142小的一个五位数，可分4类： 第一类，首位比3小的，即首位为1或2， 其余位置从5个中任选4个排列，有个， 第二类，首位是3，千位比5小的，即千位为1、2、3、4任选1个， 其余位置从4个数中任选3个排列，有个， 第三类，当首位为3千位为5，且百位比1小的，即百位为0， 从余下3数中任选2个按序排在个位与十位，则有个， 第四类，当首位为3千位为5百位为1， 满足题意的数有35140，35124，35120，35102，35104，共5个， 由分类计数原理，所以共有个这样的五位数． 5．2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象.这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆头.那么，用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为（   ） A．294 B．297 C．298 D．300 【答案】B 【详解】用2025，66，2，0，2，5这6个数的全排列为，又0排在首位有排法， 又有2个2，它位之间的排序有种排法， 当2，0，2，5这4个以2025这种顺序与66和2025排序有， 所以用2025，66，2，0，2，5组成不同的10位数的个数为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·25高二下·黑龙江鸡西·期中）用0、1、2、3、4、5这六个数组成无重复数字的四位数，其中偶数有（    ）个. A．156 B．300 C．180 D．120 【答案】A 【详解】组成四位偶数，分为两种情况： 第一类：个位数是0，则十位、百位、千位没有其他要求，共有种. 第二类：个位不是0，则个位有两个选择，千位有除0外的4个选择，十位、百位没有要求，共有种，则所有偶数有种. 故选：A. 2．（2024·25高二下·吉林松原·期中）已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 【答案】D 【详解】由，可知，且， 化简得：， 解得或，因，故. 故选：D. 3．（2024·25高二下·重庆万州·期中）2022年北京冬奥会圆满结束，学校要求出一期有关于冬奥会的主题黑板报，小亮在书写本届冬奥会的主题“Together for a Shared Future”时，只记得Future包含的字母，忘记了正确拼写顺序，请问，小亮乱写，小亮写正确的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于Future中有2个相同的字母，因此小亮乱写，共有种写法， 正确的写法只有一种，所以小亮乱写，正确的概率是. 故选：A. 4．（2024·25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【答案】D 【详解】先给2，5染色，有种方法， 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法． 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 5．（2024·25高二下·上海浦东新·期中）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【详解】当乙在第五道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 当乙在第六道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 所以共有144种不同排法. 故选：D 二、多选题 6．（2024·25高二下·贵州·期中）某学校举行校园歌手大赛活动邀请了6位专家评委，在活动结束时邀请这6位专家站成一排合影留念，则下列说法正确的是（   ） A．若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有120种排法 B．若专家甲、乙两人不相邻，则共有480种排法 C．若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有72种排法 D．若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有480种排法 【答案】AB 【详解】对于A：若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列， 将6位专家全排列，其中专家甲、乙、丙三人的顺序固定，则用倍缩法，所以有种排法，故A正确； 对于B：若专家甲、乙两人不相邻，先将其余四人全排列，再将甲、乙两人插空， 所以有种排法，故B正确； 对于C：若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，先将甲、乙、丙三人作为一组与其余三人全排列，组内再排乙、丙， 所以有种排法，故C错误； 对于D：若丙排尾，则有种排法，若丙不在排尾，则有种排法， 综上可得若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有种排法，故D错误. 故选：AB 7．（2023·24高二上·辽宁沈阳·期末）4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（   ）（选项中排列数的计算结果均正确） A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种 B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种 C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种 D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种 【答案】BCD 【详解】对于A，3个女生必须相邻，则不同的排法有种，A错误； 对于B，3个女生中有且只有2个女生相邻，先排4个男生有种，3个女生取2个女生排在一起， 与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中，有，不同排法有种，B正确； 对于C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有种，C正确； 对于D，3个女生按从左到右的顺序排列，不同的排法有种，D正确. 故选：BCD 三、填空题 8．（2024·25高二下·吉林·期中）计算 . 【答案】 【详解】. 故答案为： 9．（2025高三·全国·专题练习）从按直线方向排列的10块地中选2块种植两种作物，且至少间隔6块，有 种不同的种植 【答案】12 【详解】法1  对作物所种的位置进行分类： ①当种在第1块时，只能种在第8，9，10块上，有3种方法； ②当种在第2块时，只能种在第9，10块上，有2种方法； ③当种在第3块时，只能种在第10块上，有1种方法. 由加法原理得（种）． 再对换，可得共有12种不同的种植方法． 解法2  把6块地捆绑. 先在其余的4块地中选2块种，不同的种植方法有种， 再把捆绑的6块插在之间，由于不分顺序，故有1种方法. 由乘法原理得，不同的种植方法有（种）. 故答案为：12. 10．（2024·25高二下·河南周口·期中）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6，7，8的卡片各1张，两人轮流从中不放回地随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率是 . 【答案】 【详解】根据题意可分为2大类：①两人一共抽取了4张卡片，此时乙抽到6，7或5，8. 当乙抽到6，7时，甲排除5，8；当乙抽到5，8时，甲排除6，7， 此时概率； ②两人一共抽取了5张卡片，当甲抽取的数字为1，5，7；2，5，6时， 乙在剩余的5个数字中随意抽取2张卡片； 当甲抽取的数字为1，4，8；2，3，8；2，4，7；3，4，6时，要排除乙抽到6，7或5，8，所以， 所以游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率. 故答案为：. 四、解答题 11．（2023·24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【答案】(1)64； (2)348； (3)7. 【分析】 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 12．（2022·23高二下·四川广安·期中）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起． (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)1440 (2)960 【分析】 【详解】（1）先将4个男生排好，有种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法， 故符合条件的排法共有(种). （2）先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法， 故符合条件的排法共有(种). 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $