专题02 对数运算及对数函数13大题型（专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题02 对数运算及对数函数13大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、对数的运算性质 1 题型二、换底公式 3 题型三、用对数表示其他对数 5 题型四、对数函数的定义及解析式 6 题型五、对数函数的定义域 8 题型六、对数函数的值域问题 9 题型七、对数函数的定点及图象问题 10 题型八、对数函数的单调性问题 13 题型九、指对数比较大小 14 题型十、对数函数解不等式 16 题型十一、对数函数模型的应用 17 题型十二、恒成立问题 19 题型十三、对数函数的分类讨论 23 B 综合攻坚•能力跃升 26 题型一、对数的运算性质 例1．式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 例2．若函数是周期为2的奇函数，当时，，则 . 变式1-1．对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．设函数，若，则 ． 变式1-3．化简： (1)； (2)； (3)； 题型二、换底公式 例3．求值： . 例4．若，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1． . 变式2-2．计算 . 变式2-3．若，且，则t的值为 ； 题型三、用对数表示其他对数 例5．已知，，用，表示 ． 例6．，则用和表示的结果为 变式3-1．已知，若用表示，则 . 变式3-2．已知，则 ； .（结果用，b表示） 变式3-3．已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 题型四、对数函数的定义及解析式 例7．若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 例8．已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 变式4-1．若函数为对数函数，则 ． 变式4-2．已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 变式4-3．已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 题型五、对数函数的定义域 例9．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例10．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．若函数定义域为，则a的取值范围是 . 变式5-3．函数的定义域是 ． 题型六、对数函数的值域问题 例11．函数的值域为 ． 例12．函数的定义域为 ，值域为 . 变式6-1．已知函数，则 ，函数的值域为 . 变式6-2．函数的最小值为 . 变式6-3．（多选）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（    ） A． B． C． D． 题型七、对数函数的定点及图象问题 例13．已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 例14．对，且，的图象过定点A，则点A的坐标为 ． 变式7-1．设函数过定点，则 ． 变式7-2．已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是 ．（填序号）    ①，；②，；③，；④，． 变式7-3．已知对，（，且）均有意义，则函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   题型八、对数函数的单调性问题 例15．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 例16．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 变式8-1．函数的单调递增区间为 ． 变式8-2．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式8-3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 题型九、指对数比较大小 例17．设，则（   ） A． B． C． D． 例18．函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知，，，则三者大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式9-3．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系，从小到大排列为 . 题型十、对数函数解不等式 例19．记为正数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例20．已知函数，则不等式的解集 . 变式10-1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式10-2．求不等式的解集． 变式10-3．若，则的取值范围是 题型十一、对数函数模型的应用 例21．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 例22．研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（，为常数）．若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 变式11-1．倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（    ） （参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 变式11-2．中华人民共和国国家标准（GB11533－2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与无关的常量.已知一个右眼视力值为5.0的人在距离标准视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行“E”形视标为标准视力表的第三行（从下往上数）.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为标准视力表的第三行（从下往上数），不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（    ）（参考数据：） A．5.1 B．5.0 C．4.9 D．4.8 变式11-3．某乡镇计划对一荒山区域进行植树绿化，已知该区域到2025年年底植树绿化面积为10万亩，以此值为初始值，该区域经过年，到年底植树绿化面积万亩，且满足关系式，其中为年增长率.若2025年以后每年的增长率均为，则到2030年年底植树绿化面积为（    ） A．20万亩 B．18万亩 C．15万亩 D．13万亩 题型十二、恒成立问题 例23．已知函数，若恒成立，则 ． 例24．已知函数的图象过坐标原点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)解关于t的不等式； (2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 变式12-1．已知函数，在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 变式12-2．已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 变式12-3．已知函数 . (1)当 时，求函数的值域； (2)对 ，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型十三、对数函数的分类讨论 例25．已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是 . 例26．已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式13-1．若函数在区间上为减函数，求a的取值范围． 变式13-2．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ． 变式13-3．已知函数，其中且． (1)求函数的定义域． (2)若函数的最小值为，求的值． 一、单选题 1．（2025·26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高一上·湖北恩施·期中）函数，若在区间上的值域为，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·25高一上·湖北恩施·期中）设函数（a，b为实数），已知，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关 4．（2024·25高二下·湖北恩施·期末）已知，，，三个函数图象如图所示，则，，的图象依次为图中的（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（2024·25高二下·江苏常州·期中）设函数，其中，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2023·24高一上·山西朔州·期中）已知，则下列等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·24高三上·黑龙江·阶段练习）若为函数图象上的一点，则下列选项正确的是（    ） A．为函数图象上的点 B．为函数图象上的点 C．为函数图象上的点 D．为函数图象上的点 三、填空题 8．（2024·25高一上·辽宁丹东·期中）设函数，若，则 . 9．（2024·25高二下·浙江宁波·期中）已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是 . 10．（2024·25高一下·上海·期中）已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 11．（2024·25高一下·陕西西安·阶段练习）函数，其中表示不超过a的最大整数，则函数的定义域为 ．若，则函数的的值域为 ． 四、解答题 12．（2024·25高一下·湖北·期中）已知函数， (1)若，，求和（结果用m，n表示）． (2)求不等式的解集． (3)若，都有成立，求实数t的取值范围． 13．（2024·25高一下·上海·期中）已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 对数运算及对数函数13大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、对数的运算性质 1 题型二、换底公式 3 题型三、用对数表示其他对数 5 题型四、对数函数的定义及解析式 6 题型五、对数函数的定义域 8 题型六、对数函数的值域问题 9 题型七、对数函数的定点及图象问题 10 题型八、对数函数的单调性问题 13 题型九、指对数比较大小 14 题型十、对数函数解不等式 16 题型十一、对数函数模型的应用 17 题型十二、恒成立问题 19 题型十三、对数函数的分类讨论 23 B 综合攻坚•能力跃升 26 题型一、对数的运算性质 例1．式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 例2．若函数是周期为2的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】因为函数是周期为2的奇函数， 所以， 因为， 所以，. 故答案为：. 变式1-1．对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，， ，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误； 故选：C. 变式1-2．设函数，若，则 ． 【答案】3 【详解】当时，，所以，不满足题意， 当时，，所以，满足题意. 故答案为：3． 变式1-3．化简： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)125 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）； （2）原式； （3） . 题型二、换底公式 例3．求值： . 【答案】8 【详解】， 故答案为：8. 例4．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，， 则 ，可得或， 所以或， 若，又， 则，所以， 则或（舍去），，； 若，又， 则，所以， 则或（舍去）， 所以， 综上，. 故选：B 变式2-1． . 【答案】 【详解】, 故答案为：. 变式2-2．计算 . 【答案】 【详解】根据题意，原式. 故答案为：. 变式2-3．若，且，则t的值为 ； 【答案】或 【详解】由， 当时，显然符合，此时， 当时，， 由，代入中， 得， 故答案为：或 题型三、用对数表示其他对数 例5．已知，，用，表示 ． 【答案】 【详解】因为，，， ， 所以，， . 故答案为：. 例6．，则用和表示的结果为 【答案】 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 变式3-1．已知，若用表示，则 . 【答案】 【详解】因为，则. 故答案为：. 变式3-2．已知，则 ； .（结果用，b表示） 【答案】 【详解】由， 得. 则log1456＝ 故答案为：； 变式3-3．已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ； （2）； （3） . 题型四、对数函数的定义及解析式 例7．若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 【答案】3 【详解】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 例8．已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 变式4-1．若函数为对数函数，则 ． 【答案】2 【详解】因为函数为对数函数， 所以，且，则（舍去）或． 故答案为：2 变式4-2．已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 变式4-3．已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)为偶函数． 【分析】 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以． （2）根据（1）可得， 所以， 则． 由解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数． 题型五、对数函数的定义域 例9．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 解得，所以函数的定义域为. 故选：A. 例10．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，且，解得， 所以函数的定义域为， 所以函数需满足，解得. 故选：D. 变式5-1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 变式5-2．若函数定义域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 变式5-3．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】由对数的性质知， 所以函数定义域为. 故答案为： 题型六、对数函数的值域问题 例11．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 例12．函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【详解】因为，所以恒成立， 由，得，则的定义域为， ，故的值域为. 故答案为：； 变式6-1．已知函数，则 ，函数的值域为 . 【答案】 2 【详解】易知，所以； 当时，； 当时，，易知在上是单调递增函数， 所以， 综上可知的值域为. 故答案为：2； 变式6-2．函数的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题设，且， 令，则， 当，即时，. 故答案为： 变式6-3．（多选）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】当时，单调递增，所以； 当时，单调递增， 所以， 因为包含于的值域， 所以或，解得或. 所以满足条件的实数m可以是或. 故选：AC 题型七、对数函数的定点及图象问题 例13．已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 例14．对，且，的图象过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为时，为定值． 故点A的坐标为． 故答案为： 变式7-1．设函数过定点，则 ． 【答案】4 【详解】由过定点，可知， 解得，故. 故答案为：4. 变式7-2．已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是 ．（填序号）    ①，；②，；③，；④，． 【答案】④ 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以， 当时，，所以． 故答案为：④ 变式7-3．已知对，（，且）均有意义，则函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】由题意知，即对恒成立． 当时，； 当时，，又， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 设，则， 所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 且当时，单调递增． 故选：B． 题型八、对数函数的单调性问题 例15．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，即或， 令，而单调递增，要求的单调递增区间， 即求的单调递增区间，根据二次函数的单调性可知其单调递增区间为. 故选：B 例16．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 变式8-1．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】因为，所以函数的定义域为或， 令，则， 因为在单调递减， 且在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为． 故答案为：. 变式8-2．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：C 变式8-3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，且恒成立， 即，解得. 故答案为：. 题型九、指对数比较大小 例17．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则， 因为，所以且不能取等号， 所以， 所以，所以， 所以. 故选：A. 例18．函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由①可知：为奇函数；由②可知：是上的增函数； 且， 因为，则，所以. 故选：B. 变式9-1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 变式9-2．已知，，，则三者大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数与对数函数的性质可得，，，， 所以， 故选：C. 变式9-3．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系，从小到大排列为 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，当时，在上单调递增， 而， 因为在内单调递增，则， 又在定义域内单调递增，则， 在上单调递增，又， 所以，即． 故答案为： 题型十、对数函数解不等式 例19．记为正数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，解得，即甲：， 显然集合真包含于集合， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 例20．已知函数，则不等式的解集 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式， 则，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 变式10-1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在定义域内均单调递增， 所以函数在定义域单调递增， 又， 所以不等式,即不等式的解集为． 故选：A 变式10-2．求不等式的解集． 【答案】 【详解】因为在定义域上是减函数， 所以，原不等式等价于， 解之得：或， 所以，原不等式的解集为． 变式10-3．若，则的取值范围是 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，在上递减， 所以，可得； 当时，在上递增， 所以，可得. 综上所述， . 故答案为： 题型十一、对数函数模型的应用 例21．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【答案】B 【详解】设训练及个单位的数据量所需时间分别为，， ， 所以训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的3倍. 故选：B 例22．研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（，为常数）．若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】C 【详解】依题意，， 解得，，则时，， 则焦耳. 故选：C. 变式11-1．倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（    ） （参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】因为，， 所以，解得， 即， 设第次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过， 则，即，， 所以， 因为，所以废水净化的次数至少为次. 故选：D 变式11-2．中华人民共和国国家标准（GB11533－2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与无关的常量.已知一个右眼视力值为5.0的人在距离标准视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行“E”形视标为标准视力表的第三行（从下往上数）.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为标准视力表的第三行（从下往上数），不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（    ）（参考数据：） A．5.1 B．5.0 C．4.9 D．4.8 【答案】C 【详解】当时，，解得， 小华在距离标准视力表4米处进行检测，即，代入， 得． 故选：． 变式11-3．某乡镇计划对一荒山区域进行植树绿化，已知该区域到2025年年底植树绿化面积为10万亩，以此值为初始值，该区域经过年，到年底植树绿化面积万亩，且满足关系式，其中为年增长率.若2025年以后每年的增长率均为，则到2030年年底植树绿化面积为（    ） A．20万亩 B．18万亩 C．15万亩 D．13万亩 【答案】C 【详解】由题意，可知到2030年年底，则，此时， 所以，即万亩. 故选：C 题型十二、恒成立问题 例23．已知函数，若恒成立，则 ． 【答案】4 【详解】已知函数，则真分数，即分子分母同号： ①若：真分数为,无定义域，排除. ②若，则，因，时，x与a同号为负值.不等式变形为. 判断符号：时，，，故. 判断符号：真分数在内取值范围为，故. 所以当时，，违反不等式恒成立条件. 因此，时无解. ③若，由可得定义域. 已知，则. 当时，，故，需满足，即，因为，故 当时，，需满足，即，因为，故 当时，，故，需满足，即，因为，故， 联立得，又，解得. 故答案为：4. 例24．已知函数的图象过坐标原点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)解关于t的不等式； (2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知为函数的渐近线，所以， 因为，解得， ，显然是定义在上的单调递增函数，      所以关于的不等式，即， 可得，解得，所以解集为. （2）由题意得，即， 化简得， 令，因为，所以， 代入可得， 由，得， 所以的取值范围为. 变式12-1．已知函数，在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，由，得， 当时，由，得， 由，得， 即，得，而，得，得， 得， 当时，由，得， 由，得， 即-，得，而，得，得， 得， 综上知，实数的取值范围是. 故答案为: 变式12-2．已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，则， 即，所以，即，解得， 当时，则函数无意义，故舍去； 当时，则，令，解得， 可知函数是定义在内的奇函数，符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可知，， 则， 若恒成立，即对任意的恒成立， 因为在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围是. 变式12-3．已知函数 . (1)当 时，求函数的值域； (2)对 ，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 令，， 则， 所以函数的值域为. （2）， 令， 则不等式化为在上恒成立， 时，成立， 时，， 又在上单调递减， 所以. 综上，. 题型十三、对数函数的分类讨论 例25．已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知，化简得，因为且，所以， 且在上，单调递增， 所以当函数在有定义时，即， 当时，函数在定义域上单调递增，在上也单调递增，满足题意， 所以的取值范围是. 故答案为： 例26．已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，a不等于0时，, 当得， 二次函数没有最大值，有最小值， 没有最大值，有最小值，不合题意. 当得，，二次函数没有最大值，有最小值， ,没有最大值，没有最小值， 当得，二次函数有最大值，没有最小值， ,有最大值，没有最小值，不合题意. 当无解. 当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，. 故选：D. 变式13-1．若函数在区间上为减函数，求a的取值范围． 【答案】 【详解】由题可知在区间上恒成立， 令，则原函数可写为，且. 当时，在区间上为增函数， 则在区间上为减函数，则有，解得； 当时，在区间上为减函数， 则需满足在区间上为增函数， 又二次函数的图象开口向上，在区间上不可能单调递增，故不满足题意. 综上所述，的取值范围为. 变式13-2．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设（且），， 因为在上是减函数， 所以或. 解得：或. 所以实数的取值范围为：. 故答案为： 变式13-3．已知函数，其中且． (1)求函数的定义域． (2)若函数的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，解得，即函数的定义域为； （2）易知， 若，则单调递增， 而在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 结合定义域知其无最小值； 若，则单调递减， 而在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 则. 一、单选题 1．（2025·26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，， 因为，而， 画出的图象，        由图可知，，那么， 则，则，即． 故选：A． 2．（2024·25高一上·湖北恩施·期中）函数，若在区间上的值域为，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令函数，则在上单调递减， 又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递减， 则，其值域为； 所以由，解得. 又，在上单调递增，在上单调递减， 其值域为. 所以，解得或. 画出图象如下图所示： 结合图象可知， 使得在区间上的值域为，则实数t的取值范围是. 故选：B 3．（2024·25高一上·湖北恩施·期中）设函数（a，b为实数），已知，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关 【答案】B 【详解】由，， 则 ， 又，则， 故， 则. 故选：B. 4．（2024·25高二下·湖北恩施·期末）已知，，，三个函数图象如图所示，则，，的图象依次为图中的（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】令，可得，，， 因为，可得，，又因为，可得，即， 所以，所以，，的图象依次为图中的. 故选：C. 5．（2024·25高二下·江苏常州·期中）设函数，其中，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由恒成立，可得恒成立， 当，即时，恒成立，故得； 当，即时，显然不等式恒成立； 当，即时，恒成立，故得. 综上分析，可得. 所以， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值是. 故选：D. 二、多选题 6．（2023·24高一上·山西朔州·期中）已知，则下列等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】依题意，，即，则且，故C正确； 对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于D，，正确． 故选：BCD 7．（2023·24高三上·黑龙江·阶段练习）若为函数图象上的一点，则下列选项正确的是（    ） A．为函数图象上的点 B．为函数图象上的点 C．为函数图象上的点 D．为函数图象上的点 【答案】ABC 【详解】若为函数图象上的一点， ∴，∴，则为函数图象上的点，故A正确； ∵，∴，则为函数图象上的点，故B正确； ∵，∴，则为函数图象上的点，故C正确； ∵，∴，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 8．（2024·25高一上·辽宁丹东·期中）设函数，若，则 . 【答案】5 【详解】设，， 则， 所以， 则，所以函数为奇函数， 则，即， 则，即. 故答案为：5. 9．（2024·25高二下·浙江宁波·期中）已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可得只需即可， 由题可知为对数底数且或， 当时，此时在各自定义域内都有意义， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以， 即，无解， 所以不符合题意； 当时， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 10．（2024·25高一下·上海·期中）已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】分析时函数的最小值： 对于函数，将其进行配方可得. 因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值.   分析时函数存在最小值的条件： 当时，. 因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于. 又因为对数函数在上单调递增，所以. 要使存在最小值，则，即，解得.   故答案为：. 11．（2024·25高一下·陕西西安·阶段练习）函数，其中表示不超过a的最大整数，则函数的定义域为 ．若，则函数的的值域为 ． 【答案】 【分析】 【详解】①：由题意可得，所以， 解得或，即的定义域为； ②：由题意得，， 令，则， ，， 而， 因为函数在单调递增，由于， 所以，因此， 故答案为：；. 四、解答题 12．（2024·25高一下·湖北·期中）已知函数， (1)若，，求和（结果用m，n表示）． (2)求不等式的解集． (3)若，都有成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）已知，所以，， 所以， . （2）当时，，所以，解得，所以； 当时，，所以，解得，所以； 综上可得，不等式的解集为. （3），所以，设， 则，令， 则， 即，，所以， 所以，即， 因为，都有成立，所以，所以， 综上实数t的取值范围为. 13．（2024·25高一下·上海·期中）已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)，或 【分析】 【详解】（1）的定义域为， ， 因为是偶函数， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则 恒成立，因此； （2）若，则 所以 ，所以， 令 ，则有， 即， 解得 或，所以，或， 所以，或. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $