精品解析：广东省湛江市雷州市雷州八中集团2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

25-26学年雷州八中集团九年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 3. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 4. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 5. 抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（ ） A. B. C. D. 8. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 9. 山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 12. 抛物线的顶点坐标为____． 13. 在平面直角坐标系中，是抛物线两点，则抛物线的对称轴为________． 14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 15. 如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）； 17. 已知函数． （1）该抛物线的对称轴是直线____________，顶点坐标是____________ （2）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象 （3）根据图象直接写出当时，的取值范围是____________． （4）根据图象写出当时，的取值范围____________． 18. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知二次函数． （1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标． （2）将的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数的图象． 20. 如图，在中，，，．点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． （1）下列两位同学的说法正确的是__________，请说明理由； 小六同学：可以平分的周长； 小珠同学：可以平分的面积． （2）连接，当为何值时，？ 21. 近年来，农产品直播带货发展迅猛，拓展了农产品的销售渠道．某经销商国庆期间在某电商平台上进行猕猴桃的直播销售．已知猕猴桃的成本价为6元/千克，规定每千克售价不得低于成本价且不高于18元/千克．经销售发现，每日的销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 售价（元/千克） 8 10 12 销售量千克 1000 800 600 （1）求与之间的函数表达式． （2）设每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式（利润收入成本）． （3）试说明（2）中总利润随售价的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 五、解答题（22题13分，23题14分，共21分） 22. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 23. 如图，直线与抛物线：交于点，点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值： （3）如图，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，根据的不同取值，试探究抛物线与直线交点个数的情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年雷州八中集团九年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程”判断即可． 【详解】解：A、含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 3. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 4. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 5. 抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 6. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式进行求解即可得答案. 【详解】，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键. 一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 7. 如图，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点，则方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．同时考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的两个交点坐标为，，从而得到一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故选：A． 8. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 9. 山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为， 将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 则， 故选：D． 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，，即可判断①；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断②；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④；熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线图象开口向下， ∴， ∵抛物线图象交轴于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线经过点， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得，． 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及顶点式，根据，顶点坐标是，可得答案． 【详解】解：的顶点坐标为（，）， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，是抛物线两点，则抛物线的对称轴为________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，由题意得抛物线的对称轴为直线，即可求解； 【详解】解：由题意可知：是抛物线上对称的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线 14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【详解】解：， 解得x1=3，x2=6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15． 故答案是：15． 15. 如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，掌握利用直接开方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （）利用直接开方法解一元二次方程即可； （）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或 ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 17. 已知函数． （1）该抛物线的对称轴是直线____________，顶点坐标是____________ （2）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象 （3）根据图象直接写出当时，的取值范围是____________． （4）根据图象写出当时，的取值范围____________． 【答案】（1）； （2） 画图得： （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据顶点式的特征回答即可； （2）运用描点法作图即可； （3）根据函数图象与x轴交点的位置回答即可； （4）根据开口向下时离对称轴越近函数值越大回答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：；； 【小问2详解】 列表得： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 【小问3详解】由图象可知：当时，的取值范围是， 【小问4详解】 当时，， 结合图象可得：当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是． 18. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程的两个根为、， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知二次函数． （1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标． （2）将的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数的图象． 【答案】（1）、； （2）先向右平移1个单位，再向下平移4个单位． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，要求二次函数与轴的交点，即，得到关于的方程来求解；要求二次函数与轴的交点，即，求出的值即可，并且熟练掌握二次函数图象的平移规律是解本题第二问的关键． （1）令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标； （2）将二次函数化为顶点形式，然后比较与，根据图象的平移规律“上加下减、左加右减”，可得出平移的过程． 【小问1详解】 解：二次函数的解析式， 令，得到， 解得：； 则此二次函数的图象与轴的交点坐标分别为、； 【小问2详解】 解：将二次函数化为顶点式为， ∴将的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，可得到二次函数的图象． 20. 如图，在中，，，．点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． （1）下列两位同学的说法正确的是__________，请说明理由； 小六同学：可以平分的周长； 小珠同学：可以平分的面积． （2）连接，当为何值时，？ 【答案】（1）小珠同学，理由： 由题意得，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴的周长， 当平分的周长时，则， ∴若P、Q都没有停止运动，则， 解得， ∵秒，即点Q需要3秒就运动到点A， ∴点Q运动3秒就停止运动，故不符合题意； 当点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，解得，不符合题意， 故不可以平分的周长； ∵， ∴当平分的面积时，， ∴若P、Q都没有停止运动时，则， 解得或（舍去）， 若点Q停止运动，点P没有停止运动时，则， 解得：， ∴可以平分的面积； ∴小珠同学的说法正确； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，利用方程的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得，则，利用勾股定理可得，当平分的周长时，则，若P、Q都没有停止运动，则，当点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，当平分的面积时，，若P、Q都没有停止运动，若点Q停止运动，点P没有停止运动时，则，分别解方程可判断对应同学的说法； （2）根据用含t的式子表示出，再根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）． 21. 近年来，农产品直播带货发展迅猛，拓展了农产品的销售渠道．某经销商国庆期间在某电商平台上进行猕猴桃的直播销售．已知猕猴桃的成本价为6元/千克，规定每千克售价不得低于成本价且不高于18元/千克．经销售发现，每日的销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 售价（元/千克） 8 10 12 销售量千克 1000 800 600 （1）求与之间的函数表达式． （2）设每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式（利润收入成本）． （3）试说明（2）中总利润随售价的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当销售单价定为12元时，总利润最大，最大利润为3600元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用． （1）设与之间的函数表达式为，代入和，利用待定系数法求解即可； （2）根据“利润收入成本”可得，即可求解； （3）将写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意设与之间的函数表达式为， 把和代入得：，解得：， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得： 即：； 【小问3详解】 ∵ 即： ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3600， ∴当销售单价定为12元时，总利润最大，最大利润为3600元． 五、解答题（22题13分，23题14分，共21分） 22. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）或 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【小问1详解】 解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 23. 如图，直线与抛物线：交于点，点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值： （3）如图，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，根据的不同取值，试探究抛物线与直线交点个数的情况． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）当时，的最大值为； （3）抛物线与直线有两个交点时，的取值范围为；抛物线与直线有一个交点时，的取值范围为或，抛物线与直线无交点时，的取值范围为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式为，因为点的横坐标为，且点在抛物线上，点的坐标为，又因为轴，所以点和点的纵坐标相等，把代入，可得，所以有，把这个次函数整理成顶点式解析式即可得到的最大值和此时的值； （）设平移后的抛物线解析式为，求出直线上横坐标为和的两点和点的坐标，找到临界点，时有两个公共点，求出的最小值，当平移后的抛物线与直线有唯一公共点时，求出从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵交于点，点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设的解析式为，代入点，点坐标得， ，解得， ∴的解析式为， ∵点在抛物线上，点的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得， ∴点， ∴ ， ∵点为直线下方的抛物线上一动点， ∴， ∴当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：设的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，直线对应点为， 当时，，直线对应点为， 设抛物线的图象向上平移个单位得到抛物线为， 如图，当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点， ∴，解得：， 当抛物线与直线有唯一的公共点时， ，即， ∴， 解得， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有两个公共点， 抛物线过点时，， 解得； ∴当时，若抛物线与直线有两个交点时， ∴的取值范围为； 若抛物线与直线有一个交点时， ∴的取值范围为或， 若抛物线与直线无交点时， ∴的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $