精品解析：江西省吉安市白鹭洲中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

白鹭洲中学2025－2026学年上学期八年级第一次质量检测 数学试卷 考生注意： 1．本试卷设卷I、II卷两部分，试卷所有答题都必须写在答题卷上． 2．答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位． 3．考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 第I卷 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列各数0，π，，，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0）中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，即可判定选项． 【详解】解：根据题意可知无理数有π，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0），共2个． 故选：A． 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 9的算术平方根是3 B. 的平方根是 C. 8的立方根为2 D. 立方根等于本身的数是1和0 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的立方根、算术平方根及平方根是解题的关键；因此此题可根据立方根、算术平方根及平方根可进行排除选项． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，说法正确，故不符合题意； B、由可知的平方根是，说法正确，故不符合题意； C、8的立方根是2，说法正确，故不符合题意； D、立方根等于本身的数是1、0和，说法错误，故符合题意； 故选D． 3. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由图可得的长度，即可得出点到原点的距离，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 点表示的数为,点表示的数为， ， 由图可得， 点到原点的距离为 点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为 即点所表示的数是， 故选：B． 4. 若的三边，b，c满足，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，非负数性质，由非负数性质可求得，，从而可得，，即可判断三角形的形状． 【详解】解：的三边，b，c满足， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 故选：A． 5. 如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（ ） A. 7 B. 24 C. 17 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为17． 【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：， ， ， 小正方形的边长为17． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 若，则______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与方程求解，解题的关键是利用等式两边平方消去根号来求解并验证解的合理性． 通过对等式两边同时平方消去根号，转化为整式方程求解，再验证解的正确性． 【详解】解：已知， 即， 解得， 验证：当时，，与原方程左边相等，故是原方程的解． 故答案为：． 8. 一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是_________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用一个正数的两个不同平方根a-1和5-2a互为相反数可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个不同平方根是a-1和5-2a， ∴a-1+5-2a=0， ∴a=4， ∴这个数为． 故答案为：9． 【点睛】本题利用了平方根的性质，关键是求完a后再求这个数． 9. 学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为____________． 【答案】12 米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 10. 观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 11. 如图，已知长方体的长、宽、高分别是4、3、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开—最短路径问题，关键是熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形，再确定两点之间的最短路径． 蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可． 【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是7和1， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是4和4， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是3和5， 所以走的最短线段； ∵， ∴三种情况比较而言，第二种情况最短． 故答案为： ． 12. 如图，在中，，点从点出发，以每秒1cm的速度沿射线的方向运动．当点运动___________秒时，为等腰三角形． 【答案】或20或32 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由勾股定理求出的长，设运动时间为，则，当点在线段上，只能，根据勾股定理用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案；当点在线段延长线上，时，即，时，由三线合一即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 设运动时间为，则， ①当点在线段上，如图： ∵， ∴为等腰三角形，只能是， 在中，， 当时，， 解得：； ②当点在线段延长线上， 时，即； ③时，如图： ∵， ∴，即 故答案为：或20或32． 三、解答题（共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算、解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，乘方，立方根，绝对值，平方根解方程． （1）先计算算术平方根、乘方、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）先移项，再根据平方根求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 14. 已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 15. 为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？ 【答案】 【解析】 【分析】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等， 则千米； ∵，， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， 答：图书室E应建在距A点千米处，才能使它到两所学校的距离相等． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理解直角三角形，建立方程解方程，是解决本题的关键． 16. 如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作 图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作一条线段，使． （2）在图2中，作直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 【答案】（1） 如图，线段即为所求， （2） 如图，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理画出线段，使即可； （2）根据勾股定理先画出长为，然后再画直角三角形即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，，， ∴，， ∴为直角三角形，为斜边． 17. 如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，． （1）判断∠D是不是直角，并说明理由； （2）求四边形需要铺的草坪的面积． 【答案】（1） 解：是直角，理由如下： 连接， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， 是直角三角形，； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理分析得出答案； （2）直接利用直角三角形面积求法分析得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 四边形需要铺的草坪的面积为． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 四、解答题（共3小题，每题8分，共24分） 18. 定义：如图，点，把线段分割成、、，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割． （1）已知、把线段分割成，，，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】（1） 解：点、是线段的勾股分割点．理由如下： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； （2）或13． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解． （1）由，，，可得，根据勾股定理逆定理得出以、、为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断； （2）设，则，分两种情形①当为最长线段时，依题意，②当为最长线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ①当为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得． 综上所述，或13． 19. 如图，在中，，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，． （1）试说明：； （2）试着求出线段的长． 【答案】（1） 证明：，， ，， 平分， ， ， ， ， ； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证，即可得出结论； （2）过点F作于点G．证，得，，则，进而由勾股定理得，设，则，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点F作于点G． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：线段的长为6． 20. 云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 【答案】消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．延长交于点D，在和利用勾股定理分别求出和的长，最后利用即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点D， 根据题意，得，，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 答：消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 五、解答题（共2小题，每题9分，共18分） 21. 先阅读，后解答： （1）由根式的性质计算下列式子得： ①=3，②，③，④=5，⑤=0． 由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）． （2）利用（1）中的结论，计算下列问题的结果： ①； ②化简：（x＜2）． （3）应用： 若=3，求x的取值范围． 【答案】（1）=|a|=；（2）①π﹣3.14，②2﹣x；（3）x的取值范围是5≤x≤8. 【解析】 【分析】（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果； （2）①当a=3.14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a，即得π﹣3.14； ②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果； （3）根据（1）式得： =|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三种情况讨论：①当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值． 【详解】（1）=|a|=； （2）①=|3.14﹣π|=π﹣3.14， ②（x＜2）， =， =|x﹣2|， ∵x＜2， ∴x﹣2＜0， ∴=2﹣x； （3）∵=|x﹣5|+|x﹣8|， ①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0， 所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x； ②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0， 所以原式=x﹣5+8﹣x=3； ③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0， 所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13， ∵=3， 所以x的取值范围是5≤x≤8. 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②=|a|=；尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论． 22. 勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： 2 3 3 4 … 1 1 2 3 … … 4 6 12 24 … … 其中为正整数，且． （1）观察表格，当时，此时对应的的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由． （2）探究与之间的关系并用含的代数式表示：_____，_____，_____． （3）以为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 【答案】 （1）能为直角三角形三边的长，理由如下： 当m=2，n=1时，，，， ∵， ∴ ∴能为直角三角形三边的长； （2），，； （3）以a，b，c为边长的三角形一定是直角三角形，理由： ∵ = = =， ， ∴， ∴以a，b，c为边长的三角形一定是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）当m=2，n=1时，算出a，b，c的值，因为，所以，即可得； （2）观察图表即可知； （3）因为，，所以，即可得． 【详解】解：（1）略 （2）观察图表可知，，，， 故答案为：，，； （3）略 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 六、解答题（共1小题，共12分） 23. 我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． （1）如图2，若中，，，，则 ； （2）若中，，，求的值； （3）若中，，边上的高为15，求的值． 【答案】（1）1 （2） （3）13或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的三角形边高的数量关系，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． （1）根据条件判定等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出底边，然后根据新定义即可得出结果； （2）画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可； （3）分两种情况画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一， ∴，， ∴为底边上的高， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：如图所示，是边上的高， 由勾股定理得， 利用等面积法可得， ∴； 【小问3详解】 解：①如图所示，是边上的高， 由勾股定理得，， ， ∴， ∴； ②如图所示，是边上的高， 同①可得，此时， ∴． 综上，的值为13或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白鹭洲中学2025－2026学年上学期八年级第一次质量检测 数学试卷 考生注意： 1．本试卷设卷I、II卷两部分，试卷所有答题都必须写在答题卷上． 2．答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位． 3．考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 第I卷 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列各数0，π，，，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0）中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 9的算术平方根是3 B. 的平方根是 C. 8的立方根为2 D. 立方根等于本身的数是1和0 3. 如图，根据尺规作图痕迹，判断点在数轴上表示的数是（ ）． A. B. C. D. 4. 若的三边，b，c满足，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（ ） A. B. C. D. 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（ ） A. 7 B. 24 C. 17 D. 25 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 若，则______ 8. 一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是_________． 9. 学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为____________． 10. 观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 11. 如图，已知长方体的长、宽、高分别是4、3、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为_________． 12. 如图，在中，，点从点出发，以每秒1cm的速度沿射线的方向运动．当点运动___________秒时，为等腰三角形． 三、解答题（共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算、解方程： （1） （2）． 14. 已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求的值； （2）求的立方根． 15. 为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？ 16. 如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作 图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作一条线段，使． （2）在图2中，作直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 17. 如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，． （1）判断∠D是不是直角，并说明理由； （2）求四边形需要铺的草坪的面积． 四、解答题（共3小题，每题8分，共24分） 18. 定义：如图，点，把线段分割成、、，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割． （1）已知、把线段分割成，，，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 19. 如图，在中，，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，． （1）试说明：； （2）试着求出线段的长． 20. 云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 五、解答题（共2小题，每题9分，共18分） 21. 先阅读，后解答： （1）由根式的性质计算下列式子得： ①=3，②，③，④=5，⑤=0． 由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）． （2）利用（1）中的结论，计算下列问题的结果： ①； ②化简：（x＜2）． （3）应用： 若=3，求x的取值范围． 22. 勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： 2 3 3 4 … 1 1 2 3 … … 4 6 12 24 … … 其中为正整数，且． （1）观察表格，当时，此时对应的的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由． （2）探究与之间的关系并用含的代数式表示：_____，_____，_____． （3）以为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 六、解答题（共1小题，共12分） 23. 我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． （1）如图2，若中，，，，则 ； （2）若中，，，求的值； （3）若中，，边上的高为15，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $