湖南省邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2025年高三第一次月考数学试卷 一､选择题 1. 复数z满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知集合．则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 命题，为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则恰有个零点 B. 若恰有个零点，则的取值范围是 C. 若恰有个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有个零点 8. 定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于（ ） A. 2025 B. 506 C. 507 D. 2026 二､多项选择题 9. 已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在区间上单调递减 C. D. 函数在区间内的零点个数为3 10. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，，，且 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 11. 设函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 为奇数时，在有一个极值点 C. 为偶数时，在单调递增 D. 为偶数时，的最小值为0 三､填空题 12. 已知，若函数是定义在上的奇函数，则_______. 13. 已知满足，若在方向上的投影向量为，则__________． 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是________． 四､解答题 15. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． （1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率； （2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望． 16. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点． （1）求证：平面； （2）若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知从曲线的左、右焦点分别为，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）已知，若的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程． 19. 已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）函数有两个不同的极值点（其中），证明：； （3）求证：. 2025年高三第一次月考数学试卷 一､选择题 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二､多项选择题 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望值为 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，， 故， ， 两式作差得：. 所以，因为，所以. 【17题答案】 【答案】（1） 因为平面平面，所以， 因为与平面所成的角为平面， 所以，且，所以， 又为的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 【19题答案】 【答案】（1） （2） 由，故， 因为函数有两个不同的极值点（其中），故. 要证：，只要证：. 因为，于是只要证明即可. 因为，故， 因此只要证，等价于证， 即证，令，等价于证明， 令， 因为，所以， 故在上单调递增，所以，得证. （3） 由（1）可知当时，，故， 令，所以，所以， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $