精品解析：江苏省苏州市吴江中学2025-2026学年高一上学期第一次质量检测数学试卷

吴江中学2025~2026学年第一学期第一次质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4页，本卷满分为150分．考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回，试卷保留，以待讲评． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、班级号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知实数，，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程的两个实数根，，集合， ，，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 集合各有8个元素,有6个元素,若集合满足:,则满足条件的集合共有（ ） A. 32个 B. 16个 C. 8个 D. 4个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分． 9. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 11. 集合，若，则实数的值可以是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是集合A，函数的定义域是集合B，则________． 13. 若不等式有唯一解，则实数a的取值集合为________． 14. 设，为正实数，若，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； （2）若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 16. 已知函数的定义域为集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若全集，，求及． 17. 已知命题，；命题，. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）若，求实数b的值； （2）当时，不等式对恒成立，求实数b的取值范围； （3）当时，解关于x的不等式． 19. 已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称A是封闭集． （1）判断集合是否为封闭集，并说明理由； （2）判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题非空集合是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件； （3）若非空集合A是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴江中学2025~2026学年第一学期第一次质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4页，本卷满分为150分．考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回，试卷保留，以待讲评． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、班级号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】解方程即可得到集合A，由此可知集合A的元素个数. 【详解】由得或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以，共3个元素， 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】因为命题“”属于全称量词命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】必要性：若 ，则  且 ，此时  且 ， 所以 ，即 ，因此  成立， 是  的必要条件； 充分性：取反例：当 ， 时，（ 真）， 但 （ 假），因此  不成立， 不是  的充分条件. 综上， 是  的必要非充分条件. 故选：A 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，列出一元二次不等式，进而求出解集. 【详解】由，可知，解得， 故选：C. 5. 已知实数，，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 7. 若关于的方程的两个实数根，，集合， ，，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，规定两根大小，然后根据集合的运算即可求解. 【详解】不妨设，则的解集为或， ,,,, 所以或. 故选; A 8. 集合各有8个元素,有6个元素,若集合满足:,则满足条件的集合共有（ ） A. 32个 B. 16个 C. 8个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出集合,根据判断集合中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果. 【详解】解:由题知各有8个元素,且有6个元素, 设,且 , 则画图如下: 因为, 所以 所以集合中至少有,6个元素, 最多有,10个元素, 只需求出的子集, 在每个子集中加入6个元素,即可得集合, 所以集合的个数,即是的子集的个数个. 故选:B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分． 9. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，结合二次函数的图象与性质求解. 【详解】由关于的不等式的解集是，其中， 所以，且是方程的两根， 所以，， 所以，，故AB正确； 又因为，故C错误； 作出和的图象，则为两函数图象交点的横坐标， 由图象可知，故D错误. 故选：AB 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，利用1的代换结合基本不等式求最小值，B选项，直接利用基本不等式求积的最大值；C选项，消元后利用二次函数的性质求最小值；D选项，代入，结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，A选项错误. 对于B，，有，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，B选项正确； 对于C，， 因为正实数，满足， 则有，解得，即， 则时，的最小值为，C选项正确； 对于D，， 当且仅当时，取等号，又，故等号不成立，D错误； 故选：BC 11. 集合，若，则实数的值可以是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由得：，所以对所有的，都有成立，分离参数，利用基本不等式可得答案. 【详解】由得：  所以对所有的，都有成立， 分离参数得： ， ， 定义函数： ， 又，由基本不等式得： ， 当且仅当即时取“”， 所以. ， 只需. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是集合A，函数的定义域是集合B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求解分式不等式，和，确定两个集合，再由交集运算即可. 【详解】由，移项通分， 可得：，即且， 解得：， 即， 由，可得且， 即， 所以 故答案为： 13. 若不等式有唯一解，则实数a的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数的性质知，不等式有唯一解可化为最小值为，即可求得的值. 【详解】解：由题意可知，不等式有唯一解， 令， 要使有唯一解， 因为抛物线开口向上，不等式有唯一解的充要条件是最小值为， 又对称轴为：， 所以 解得：. 故答案为：. 14. 设，为正实数，若，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先得到当且仅当时，接着得到当且仅当时，从而化简得到，再求取最小值，最后求出的最大值. 【详解】解：∵，即 ∵，当且仅当即时，取等号， ∴，当且仅当时，取等号， ∵，即 ∴，当且仅当时，取等号， 令，则， ∴， ∵当时，取最小值，此时最大为： 故答案为：. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，是基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； （2）若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【答案】（1）时，；时，. （2）且. 【解析】 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）有且只有四个子集，则方程有两个根，即且. 【小问1详解】 时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故时，；时，. 【小问2详解】 若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根，即且， 即解得且. 综上且. 16. 已知函数的定义域为集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若全集，，求及． 【答案】（1）；（2）或，. 【解析】 【分析】 （1）求得函数的定义域，由可得出，进而可求得实数的取值范围； （2）利用补集的定义以及交集的定义可分别求得集合及． 【详解】（1）对于函数，有，解得，则， ，由可得，， 因此，实数的取值范围是； （2），则，且全集，则， ，则或，. 【点睛】本题考查利用并集的结果、集合的包含关系，同时也考查了补集运算、交集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题. 17. 已知命题，；命题，. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为真命题，构造不等式即可求解； （2）分别由为真命题，为真命题和同时为假命题求的范围即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，为真命题， 则，即，故为真命题时，的取值范围为. 【小问2详解】 当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 若同时为假命题，则， 所以若至少有一个真命题时，. 18. 已知函数． （1）若，求实数b的值； （2）当时，不等式对恒成立，求实数b的取值范围； （3）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） （3） 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由得到，代入解析式求解即可； （2）分离变量转化为，利用基本不等式求出最小值可得解； （3）分两层讨论，先讨论，当时，再分类讨论与的大小，可得解. 【小问1详解】 因为，即， 可得：， 即，得； 【小问2详解】 当时，不等式对恒成立. 整理得：， 因为，所以，所以， 令，则， 因为，所以，当且仅当，即时取等号. 所以. 所以. 即实数b的取值范围..； 【小问3详解】 当时，， 不等式等价于， ①当时，， ②当时，的两根为，， 所以不等式解得； ③时， 当即时，或， 当即时，， 当即时，或. 综上所述：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 19. 已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称A是封闭集． （1）判断集合是否为封闭集，并说明理由； （2）判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题非空集合是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件； （3）若非空集合A是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集． 【答案】（1）集合不是封闭集，是封闭集 （2）命题是假命题，命题是真命题 （3）证明:非空集合是封闭集合， 假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合， 同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 【解析】 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）结合反证法推理即可. 【小问1详解】 对于集合，因为，所以不是封闭集； 对于集合， 令， 则，所以集合是封闭集. 【小问2详解】 对于命题令，， 令， 则， 所以集合是封闭集，同理集合是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题若，不妨令， 则有，又因为集合是封闭集， 则，同理， 因此，所以是封闭集， 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $