精品解析：湖北省咸宁市通山县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度上学期10月质量检测 九年级数学试题 （本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点公式，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是； 故选C． 2. 用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求根公式法解一元二次方程． 先移项，再找出，，的值即可． 【详解】， ， 则，，． 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个正实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ∵， ∴方程没有实数根． 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法． 将已知根代入方程，求出m的值． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴将代入方程可得： ， 解得 故选：D． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方的过程是本题的解题关键．将进行配方即可得到答案． 【详解】解：， 移项，得：， 两边同时加上一次项系数一半的平方，即，得： ， 整理，得： ． 故选：C 6. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查列一元二次方程解决实际问题（双循环赛制），理解双循环赛制下比赛场次的计算公式是解题的关键． 设应邀请个球队参加比赛，根据赛制为双循环形式且计划安排30场比赛，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：在双循环赛制下，如果有个球队，每两队之间进行两场比赛， 每个球队都要和其他  个球队比赛两场，主客场各一次， 故总的比赛场次是  场 根据计划安排30场比赛，可得方程， 故选：D． 7. 关于的方程的两根为2和3，则直线不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可得，，所以，，然后根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵二次方程的两根为2和3， ∴，， ∴，， ∴一次函数为不经过第一象限， 故选：A． 8. 二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 1 … 此二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 轴 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的对称性． 根据二次函数的对称性．即二次函数图象上两点纵坐标相等，则这两点关于二次函数对称轴对称，对称轴等于这两个点横坐标和的一半． 【详解】解：根据表格可得的纵坐标相等， 所以是关于二次函数的对称轴对称的点， 所以对称轴为直线， 故选：C． 9. 已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义以及根与系数的关系可得，，进而得到，然后对所求代数式变形并整体代入原式即可解答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴，即， ∴ ． 故选B． 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（ ） 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点为 A. ②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，通过二次函数图象对称性和待定系数法求解析式是解题的关键． 根据，可得到与的关系，根据二次函数的对称性可得到函数图象与轴的另一个交点坐标，根据二次函数图象与轴的交点在和之间，以及与轴的两个交点坐标，利用待定系数法求解析式即可判断的值． 【详解】二次函数的对称轴为， ， ，故①不正确； 二次函数图像与轴的一个交点为，对称轴， 设与轴的另一个交点的横坐标为， ， ， 与轴的另一个交点坐标为，故②正确； 由图可知，当时，， 当时，， ， ，故③正确； 由题可得，当二次函数图像经过点，，时， ， 解得：，，； 当二次函数图像经过点，，时， ， 解得：，，， 与轴的交点在和之间， ，故④正确； 综上所述，正确的是②③④． 故选． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 二次函数的图象的对称轴是_____． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线． 故答案为：直线． 12. 写出一个经过原点的抛物线的解析式为_____（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数各系数的意义，熟练掌握二次函数各项系数的意义是解题的关键． 根据题意抛物线经过原点，可得中，从而得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴中， ∴经过原点的抛物线的解析式可以为． 故答案为：． 13. 一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，再根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 当时，三边为3，3，7，不能构成三角形， 当时，三边为3，5，7，能构成三角形． ∴这个三角形的周长为； 故答案为：15． 14. 将抛物线y=x2-2x+3向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为____． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线改写成顶点式，根据“左加右减，上加下减”平移规律计算得出答案． 【详解】将抛物线改写成顶点式， ． 二次函数向左平移2个单位长度，函数只在自变量x发生“左加右减”， ； 函数再向下平移3个单位长度， 化简得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数平移，理解左右平移只和函数自变量x有关系，掌握“左加右减，上加下减”平移规律是解题关键． 15. 如图，要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，若水管高度为，要使水柱落地处在水池内，水池半径至少应为_____m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用． 设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，，解得（负根已舍去）， 水池半径至少应为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 这里， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，． 17. 已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得到，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根，， ∴ ∵， ， ∵， ∴． 18. 已知二次函数． （1）写出此二次函数图象的开口方向； （2）求出此二次函数图象的顶点坐标： （3）当取何值时，随的增大而增大？ 【答案】（1）开口向下 （2）二次函数图象的顶点坐标为 （3）当时，随的增大而增大 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，其对称轴为，顶点坐标为． （1）根据可判断二次函数图象的开口方向； （2）将抛物线解析式化为顶点式可解答； （3）根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数图象的开口方向向下； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大． 19. 某小区计划在一块长，宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．求道路的宽． 【答案】道路的宽为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． 设道路的宽为，再根据题意列出一元二次方程求解，然后确定符合实际的解即可解答． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意可得： ，…… 解得，（舍）． 答：道路的宽为． 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线的顶点，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入计算，据此即可求解； （2）先求出点的坐标为，连接，利用计算即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得： ， 解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 点的坐标为， 连接， ． 21. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，，根据得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， 的取值范围是； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得，（舍）， 的值为1 22. 我市旅游业以楚文化和三国文化为核心，近年来不断提档升级，文旅产业呈高质量发展态势．据统计，今年“十一”长假期间，某网红景区第一天的游客人数为1.5万人次，第三天的游客人数达到2.16万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率； （2）该景区内某文创小店推出了一款楚式漆器，每件漆器的成本为12元．根据销售经验，每件漆器定价为38元时，平均每天可售出200件．若每件漆器的售价每降低1元，平均每天可多售出20件．若该文创小店想通过售出这批漆器每天获得6400元的利润，为了尽快减少库存，每件漆器应降价多少元？ 【答案】（1）游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为 （2）为了尽快减少库存，每件漆器应降价10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的日平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设每件漆器应降价元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为； 【小问2详解】 设每件漆器应降价元，根据题意得 ， 解得（舍），， 答：为了尽快减少库存，每件漆器应降价10元． 23. 数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想，换元法能达到简化运算的目的．例如，解方程时，可以将看作一个整体，采用换元法求解，设，则原方程可以变形为，整理得，解得，所以，解得，经检验是原方程的根． （1）用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为 ； （2）用换元法解方程； （3）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1）（或） （2）， （3） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程和一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键． （1）根据换元法进行解答即可； （2）设，则原方程可以变形为，整理得，解得，，再分两种情况解一元二次方程即可； （3）由一元二次方程根的定义得到，则，，再整体代入进行解答即可． 【小问1详解】 解：用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为（或）； 故答案为：（或）； 【小问2详解】 解：设，则原方程可以变形为， 整理得， 解得，， 当时，， 整理得， 解得，， 经检验，都是原方程的根， 当时，，整理得， ， 该方程无实数根， 综上可得，原方程的解为，； 【小问3详解】 解：是一元二次方程的一个实数根， ， ，， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，为轴上方抛物线上的动点（不与点重合），设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在轴上，若四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）过点作轴的平行线与直线交于点，线段的长记为． ①直接写出关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 【答案】（1） （2） （3）①；②当时，点有个；当时，点有个；当时，点有个 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，再根据平行四边形的对角线互相平分解答即可求解； （）①利用待定系数法求出直线的解析式，可得，再分和两种情况解答即可求解；②画出与的函数图象，结合函数图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，，在轴上，， ∴点的横坐标为， 当时，， ， 设点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：①如图， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， ，轴， 当时，； 当时，； 综上，； ②与的函数图象如图所示， 由图可知，， 当时，当时，的最大值是， 由图象可得，当时，对的每个取值，点有个； 当时，点有个； 当时，对的每个取值，点有个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期10月质量检测 九年级数学试题 （本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个正实数根 D. 有两个相等的实数根 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的方程的两根为2和3，则直线不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 1 … 此二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 轴 C. 直线 D. 直线 9. 已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（ ） 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点为 A. ②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 二次函数的图象的对称轴是_____． 12. 写出一个经过原点的抛物线的解析式为_____（写出一个即可）． 13. 一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 14. 将抛物线y=x2-2x+3向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为____． 15. 如图，要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，若水管高度为，要使水柱落地处在水池内，水池半径至少应为_____m． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 18. 已知二次函数． （1）写出此二次函数图象的开口方向； （2）求出此二次函数图象的顶点坐标： （3）当取何值时，随的增大而增大？ 19. 某小区计划在一块长，宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．求道路的宽． 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线的顶点，求的面积． 21. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 22. 我市旅游业以楚文化和三国文化为核心，近年来不断提档升级，文旅产业呈高质量发展态势．据统计，今年“十一”长假期间，某网红景区第一天的游客人数为1.5万人次，第三天的游客人数达到2.16万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率； （2）该景区内某文创小店推出了一款楚式漆器，每件漆器的成本为12元．根据销售经验，每件漆器定价为38元时，平均每天可售出200件．若每件漆器的售价每降低1元，平均每天可多售出20件．若该文创小店想通过售出这批漆器每天获得6400元的利润，为了尽快减少库存，每件漆器应降价多少元？ 23. 数学思想、方法是数学的灵魂，若能灵活运用，会使得问题解决更简洁．“整体思想”就是一种非常重要的数学思想，换元法能达到简化运算的目的．例如，解方程时，可以将看作一个整体，采用换元法求解，设，则原方程可以变形为，整理得，解得，所以，解得，经检验是原方程的根． （1）用换元法解方程时，如果设，则原方程可以变形为 ； （2）用换元法解方程； （3）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，为轴上方抛物线上的动点（不与点重合），设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在轴上，若四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）过点作轴的平行线与直线交于点，线段的长记为． ①直接写出关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $