精品解析：福建省龙岩初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

2025－2026学年第一学期九年级数学练习（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是一元二次方程两个根，则的值为（ ） A. B. ． C. D. 9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当 且时，则 B. 当时，则 C. 当 且时，则 D. 当时，则 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为_____． 12. 函数的图象过点，则______． 13. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线，则这个航空公司共有飞机场___________个． 14. 已知，则的值为______． 15. 已知二次函数中，若，则 的取值范围是______． 16. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a= 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解下列方程 （1）； （2）． 18. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点C． （1）求抛物线解析式； （2）求三角形的面积． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数 的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足．求 的值． 20. 如图，要围一个矩形菜园 ，其中一边 是墙，且 的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．是否存在两个不同的 长度都满足菜园面积为？如存在求出 长度，如不存在说明理由． 21. 已知二次函数． （1）将化成 的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）根据图象回答：当自变量满足什么条件时， 随增大而增大？ 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 23. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 24. 是等腰直角三角形，，，点P是边上一动点，沿 的路径移动，过点P作于点D，设， 的面积为y． （1）当时，求y的值； （2）在这一变化过程中，写出y关于x的函数解析式及x的取值范围； （3）x取何范围时，（直接写出结果即可）． 25. 已知二次函数． （1）当时， ①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若方程有两个相等的实数根，求证： ； （2）若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期九年级数学练习（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、的次数是 ，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 已知是方程的一个根，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得： ， 故选： ． 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可得出答案，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 5. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答. 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是； 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根， ∴ ， 解得：k≤ 且k≠1． 故选D． 【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键 7. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设投入发展通信的资金的年平均增长率为，根据“2022年投入1000万元，预计2024年投入5000万元”，可以分别用x表示2022以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：设投入发展通信的资金的年平均增长率为， 则2023的通信资金为： 万元， 2024的通信资金为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 8. 已知，是一元二次方程两个根，则的值为（ ） A. B. ． C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，，在原方程中找到一元二次方程的系数 a、b、c就可以求出的值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程两个根， ∴由根与系数的关系得，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当 且时，则 B. 当时，则 C. 当 且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入 ，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当 且时， （因时抛物线在x轴上方）， 故 ， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在 时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当 且时，， 此时应满足 或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可解题. 【详解】∵方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程， ∴a+20,且|a|=2, 解得：a=2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键. 12. 函数的图象过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点代入二次函数解析式计算即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线，则这个航空公司共有飞机场___________个． 【答案】8 【解析】 【分析】设这个航空公司共有飞机场个，根据“每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个航空公司共有飞机场个， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：“握手问题”，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，先把方程化为，然后通过因式分解法解方程并检验即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或 ， ∵， ∴ ， 故答案为： ． 15. 已知二次函数中，若，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，该二次函数的对称轴为直线，开口向上，则当时，函数有最小值为 ，又，故当时，函数有最大值为，从而得出 的取值范围，熟练运用二次函数的性质求解函数值的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为 ， ∵， ∴当时，函数有最大值为， ∴当时， 的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a= 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是_____． 【答案】①④ 【解析】 【详解】.①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴AB=4， ∴对称轴x= =1， 即2a+b=0； 故①正确； ②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0 ∴b＜0， ∵对称轴x=1， ∴当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0； 故②错误； ③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴当x=2时y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 又∵b＜0， ∴4a+b+c无法确定； 故③错误； ④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半； D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值． 当x=1时，y=a+b+c， 即|a+b+c|=2， ∵当x=1时y＜0， ∴a+b+c=﹣2， 又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3， ∴当x=﹣1时y=0即a﹣b+c=0； x=3时y=0． ∴9a+3b+c=0， 解这三个方程可得：b=﹣1，a= ，c=﹣； 故④正确； ⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC， 当AB=BC=4时， ∵AO=1，△BOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2=16﹣9=7， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=﹣ ， 与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= ； 同理当AB=AC=4时， ∵AO=1，△AOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2=16﹣1=15， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=﹣ 与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= ； 同理当AC=BC时 在△AOC中，AC2=1+c2， 在△BOC中BC2=c2+9， ∵AC=BC， ∴1+c2=c2+9，此方程无解． 经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误． 所以正确的额结论有：①④ 【方法点睛】本题目是一道二次函数的数形结合题题目，根据图形来判断各项系数的正负号，及特殊的代数式的符号，对称轴的符号等等，总体来说，题目难度较大. 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （ ）利用直接开平方法求解即可； （ ）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或 ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或 ， ∴，． 18. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点C． （1）求抛物线解析式； （2）求三角形的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式． （1）设顶点式，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）先解方程得到点A、B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把C代入得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当 时，， 解得， ∴， ∴三角形的面积 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数 的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足．求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解： 关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解： 方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或3， ， ． 20. 如图，要围一个矩形菜园 ，其中一边 是墙，且 的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．是否存在两个不同的 长度都满足菜园面积为？如存在求出 长度，如不存在说明理由． 【答案】存在， 长度是 或 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程和不等式组是解题的关键．根据矩形的面积列方程，解方程求出x的值，再求出x的取值范围即可以解答 【详解】解：存在． 设 长为，则 的长为． 依题意，得 整理得 解得． 由 的长不能超过， ∴， 解得， 所以 的长有两个不同的值满足菜园面积为， 长度是 或． 21. 已知二次函数． （1）将化成 的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）根据图象回答：当自变量满足什么条件时， 随增大而增大？ 【答案】（1）； （2）画图见解析； （3）当 时， 随增大而增大． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）通过配方法配成顶点式即可； （ ）利用画函数图象的步骤即可求解； （ ）根据二次函数的图象及性质解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：列表： 描点，连线， 如图， 【小问3详解】 解：根据图象可知：当 时， 随增大而增大． 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】5 【解析】 【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可． 【详解】解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得， 解得：， 因为规定每千克涨价不能超过8元， 所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 23. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 【答案】（1）；6 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，三角形三边关系，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子中a、b的值，再根据三角形三边关系即可解答． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为6； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问3详解】 解： ， 的三条边的长度分别为a、b、c，且c为正整数， ，即， 的最大值为10， 的周长的最大值为：． 24. 是等腰直角三角形，，，点P是边上一动点，沿 的路径移动，过点P作于点D，设， 的面积为y． （1）当时，求y的值； （2）在这一变化过程中，写出y关于x的函数解析式及x的取值范围； （3）x取何范围时，（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）当时， 当时， （3） 或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，对于（1），根据题意可知，即可得出，再代入数值即可； 对于（2），分，两种情况，分别表示 的面积； 对于（3）分两种情况将，代入关系式，求出解可得答案． 【小问1详解】 ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 当时，； 在 中，， ∴， ∴． 当时，在 中，， ∴； 【小问3详解】 当时，当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， ∴； 当时，当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）， ∴． 25. 已知二次函数． （1）当时， ①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若方程有两个相等的实数根，求证： ； （2）若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）① ②证明：∵方程有两个相等的实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据对称轴求得，再把代入 得，，即可求解； ②根据一元二次方程的根与判别式的关系可得 ，再利用配方法可得 ，根据平方的非负性可得 ，即可求解； （2）由题意可得 ，从而求得抛物线的顶点为，抛物线与x轴的交点为、，当抛物线 过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，对称轴为直线， ∴ ， ∴， 把点代入 得，， ∴该函数的表达式为 ； ②略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴抛物线的顶点为， 把 代入 得， ， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为、， 当抛物线 过点时， ， 解得， 如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点， 当抛物线 过点时， ， 解得， 如图，当时，二次函数的图像与线段有交点， 综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与判别式的关系，运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $