精品解析：宁夏回族自治区青铜峡市第五中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期 市五中、八中（市五中分校）阶段性素养测评一 九年级数学试卷 （120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 4. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18或9 5. 近年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 7. 若关于的二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 8. 如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程，已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　 　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 一元二次方程根的判别式的值为__________． 11. 将一元二次方程 化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 12. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为_____． 13. 某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率的x，则列方程__________ 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 15. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 16. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为__________． 三、解答题 17. 解方程：（（4）、（5）、（6）用适当的方法解方程） （1）（配方法） （2）（因式分解法） （3）（公式法） （4） （5） （6） 18. 解方程，某同学的解题步骤如下： 解：．① ．② ．③ ．④ 方程无实数根．⑤ 完成下列问题： （1）这位同学解方程的过程中，从第_____步开始写错了； （2）请你帮他将解方程的正确过程完整地书写出来． 19. 已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 21. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长． 22. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的乘积为736，求原来的两位数． 23. 如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）若花圃的面积为，求花圃的一边的长； （2）花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 24. 某水果经销商销售一种新上市的水果，进货价为5元/千克，售价为10元/千克，月销售量为1000千克． （1）经销商降价促销，经过两次降价后售价定为8.1元/千克，请问平均每次降价的百分率是多少？ （2）为增加销售量，经销商决定本月降价促销，经过市场调查，每降价0.1元，能多销售50千克，请问降价少元才能使本月总利润达到6000元？ 25. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． （1）当______时，点在的垂直平分线上； （2）当为何值时，的长度等于? （3）是否存在t的值，使得的面积等于?若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 市五中、八中（市五中分校）阶段性素养测评一 九年级数学试卷 （120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查识别一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只有一个未知数且未知数的最高次数为的整式方程为一元二次方程逐一判断即可． 【详解】A、，这里没有说明，如果时，方程不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、经整理后为，化简后未知数的最高次数是，是一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； C、，经整理后为，该方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是，同时它也是整式方程，所以它是一元二次方程，该选项符合题意； D、，方程中含有分式 和，它是分式方程，不是整式方程，因此也不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的根得，即可得． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根． 4. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18或9 【答案】B 【解析】 【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角形，最后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系， ∴等腰三角形的腰为，底为， ∴周长为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5. 近年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意是解决本题的关键． 根据2013年投入2500万元，2015年投入3500万元，列出方程求解即可． 【详解】解：∵2013年投入2500万元，2015年投入3500万元， ∴， 故选C． 6. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8-2x）cm，宽为（5-2x)cm，然后根据底面积是，即可列出方程． 【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm， 依题意得（8-2x）（5-2x）=18， 故选：B． 【点晴】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题意，正确理解题意，利用题目的数量关系列出方程． 7. 若关于的二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故选：B． 8. 如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程，已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有两个相等实数根可知，与组成方程组可求出关系式. 【详解】由题意知： ， 由（2）得:b²=4ac（3）， （1）×c得：4ac-2bc+c²=0（4）， 把（3）代入（4）得b²-2bc+c²=0， ∴（b-c)²=0，即b=c， 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．能正确根据新定义列出4a-2b+c=0是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 10. 一元二次方程根的判别式的值为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式，即可求出结论． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：25． 11. 将一元二次方程 化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【答案】 ①. 1 ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 12. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 故答案为：． 13. 某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率的x，则列方程__________ 【答案】25×（1-x）2=16 【解析】 【分析】等量关系为：原价×（1-降低的百分比）2=降价后的售价，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一次降价后的价格为25×（1-x）， 第二次降价后的价格为25×（1-x）×（1-x）=25×（1-x）2， ∴列的方程为25×（1-x）2=16， 故答案为：25×（1-x）2=16． 【点睛】本题考查了一元二次方程中求平均变化率的方法，熟练掌握一元二次方程的运用是解决本题的关键. 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】k≥1 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得k≥1， ∴k的取值范围是k≥1． 故答案为k≥1． 15. 菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【详解】解：x2﹣14x+48=0， 则有（x-6）(x-8)=0 解得：x=6或x=8． 所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24． 菱形的面积为：24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系． 16. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到，然后利用整体代入得方法即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，已知式子的值求得代数式的值，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程：（（4）、（5）、（6）用适当的方法解方程） （1）（配方法） （2）（因式分解法） （3）（公式法） （4） （5） （6） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），； （5）； （6），； 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的额解法是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可； （5）利用因式分解法解方程即可； （6）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 其中，，， ， ， 解得：，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问5详解】 解：， ， ， 解得：； 【小问6详解】 解：， ， 其中，，， ， ， 解得：，． 18. 解方程，某同学的解题步骤如下： 解：．① ．② ．③ ．④ 方程无实数根．⑤ 完成下列问题： （1）这位同学解方程的过程中，从第_____步开始写错了； （2）请你帮他将解方程的正确过程完整地书写出来． 【答案】（1）③ （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了． 故答案为：③． 【小问2详解】 ∵， 两边同除以2，得． 配方，得． ∴． 移项，得． 两边开平方，得， 即，或． ∴，． 19. 已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 【答案】，另一个根是 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，将代入方程得出关于的一元一次方程，解方程求得，设另一个根为，根据根与系数的关系，即可求出答案． 【详解】解：∵关于的方程．方程的一个根是， ∴ 解得： 设另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述，，另一个根是． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵， 则 ， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵， ， 又， ， 整理得：， 解得：． 21. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长． 【答案】（1）k≤2且k≠0；（2）． 【解析】 【分析】（1）已知一元二次方程有实数根，可得△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围； （2）由于AB=2是方程kx2-4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值． 【详解】解：（1）∵关于x的方程有实数根， ∴△=（-4）2-8k≥0， 解得k≤2， 又k≠0， ∴k的取值范围为k≤2且k≠0． （2）∵AB=2是方程的根， ∴4k-8+2=0, 解得k=， 则原方程为， 解得， ∴BC的长为． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 22. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的乘积为736，求原来的两位数． 【答案】23或32 【解析】 【分析】设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为5－x，然后可表示出两个两位数，然后根据它们的乘积为736，可列一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为5－x， 根据题意，得[10x＋（5－x）]·[10（5－x）＋x]＝736 解得x1＝2，x2＝3 当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原来的两位数是23． 当x＝3时，5－x＝2，符合题意，原来的两位数是32 答：原来的两位数是23或32 【点睛】本题考查理解题意能力，可看出本题是数字问题，数字问题关键是设法，设个位上的数字或十位上的数字，然后根据题目所给的条件列方程求解． 23. 如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）若花圃的面积为，求花圃的一边的长； （2）花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）10米 （2） 花圃的面积不能达到．理由如下： 设的长为米， 由题意可得：， 化简得， △， 方程无解， 花圃的面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解； （2）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解． 【小问1详解】 解：设的长为米，则米 由题意可得：， 解得：，， ，即：， ， ∴的长为10米； 【小问2详解】 略 24. 某水果经销商销售一种新上市的水果，进货价为5元/千克，售价为10元/千克，月销售量为1000千克． （1）经销商降价促销，经过两次降价后售价定为8.1元/千克，请问平均每次降价的百分率是多少？ （2）为增加销售量，经销商决定本月降价促销，经过市场调查，每降价0.1元，能多销售50千克，请问降价少元才能使本月总利润达到6000元？ 【答案】（1） （2）降价1元或2元能使本月总利润达到6000元 【解析】 【分析】（1）设平均每次降价的百分率是，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为，根据两次降价后的价格是8.1元建立方程，求出其解即可； （2）设降价元能使本月总利润达到6000元，多销售的数量为，根据条件建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：设平均每次降价的百分率是，由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：每次降价的百分率为10%． 【小问2详解】 设降价元能使本月总利润达到6000元，由题意，得 ， 解得：，， 答：降价1元或2元能使本月总利润达到6000元． 【点睛】本题考查了运用降低率问题解实际问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题是找到等量关系建立方程是关键． 25. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． （1）当______时，点在的垂直平分线上； （2）当为何值时，的长度等于? （3）是否存在t的值，使得的面积等于?若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，； （3） 不存在，理由： ，， ， ， 整理得：， ，，， ， 该方程无解， 不存在的值，使得的面积等于． 【解析】 【分析】设运动的时间为秒，可得：，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； 先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可； 先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：当时，点在的垂直平分线上， 设运动的时间为秒， 则，，， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设运动的时间为秒， 则有，， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了动点问题、线段垂直平分线的性质、一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，解决本题的关键是根据动点运动的时间用含的代数式表示出线段的长度，根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列一元二次方程并求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $