精品解析：湖南省郴州市桂阳县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋季九年级数学第一次学情检测试题卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是 A. （－1，8） B. （－2，4） C. （1，7） D. （2，4） 【答案】D 【解析】 【分析】由于反比例函数y=中，k=xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案． 【详解】解：A、∵-1×8=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误； B、∵-2×4=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误； C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误； D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】考核知识点：反比例函数定义. 2. 一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，5，6 B. 5，2，6 C. 2，5，﹣6 D. 5，2，﹣6 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可求解． 【详解】解：方程整理得：2x2+5x﹣6＝0， 则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，5，﹣6， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的定义，化为一般形式是前提． 3. 四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【答案】A 【解析】 【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得， 又由b=3cm，c=8cm，d=12cm，即可求得a的值． 【详解】∵四条线段a、b、c、d成比例， ∴ ∵b=3cm，c=8cm，d=12cm， ∴ 解得：a=2cm． 故答案为A． 【点睛】此题考查了比例线段的定义．解题的关键是熟记比例线段的概念． 4. 已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　） A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到再利用完全平方公式得到然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得 所以 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键． 5. 如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　） A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积． 【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20 故本题选择D 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题． 6. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可知函数与函数的图象相交于点M、N，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围． 【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或， 故本题答案为：或． 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 8. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点F是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键． 9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键． 10. 如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．当底边为3，利用根的判别式的意义得到，解得；当腰为3时，把代入关于的方程得，解得． 【详解】解：当底边为3，两腰为关于的方程的两个根， ， 解得， 此时方程为，解得， 此时三边长为3，2，2，因为，所以能构成三角形； 当腰为3时，把代入关于的方程得， 解得， 此时方程为，解得，， 三角形三边分别为3、3、1， 综上所述，的值为4或3． 故选：C． 二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解得． 12. 当方程是关于x一元二次方程时，的值_______． 【答案】-1 【解析】 【详解】解：由题意得： 解(1)得，m=±1， 当m=1时，m−1=0，不合题意， 当m=−1时，m−1≠0，故m=−1 故答案为：-1． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段, 则． 故答案为：． 14. 若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____． 【答案】2028 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020， 则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2 ＝x12﹣4x1+2（x1+x2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028， 故答案为：2028． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 15. 如图，在中，，点是边上的一点，于，则边的长为_____． 【答案】4. 【解析】 【分析】根据射影定理列式计算即可． 【详解】由射影定理得，， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 16. 如图，已知A(5，0)，B(4，4)，以OA、AB为边作▱OABC，若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为_____． 【答案】y＝﹣ 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质得出C点坐标，再利用反比例函数解析式的求法得出答案． 【详解】解：∵A（5，0），B（4，4），以OA、AB为边作▱OABC， ∴BC＝AO＝5，BE＝4，EO＝4， ∴EC＝1，故C（﹣1，4）， 若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为：y＝﹣． 故答案为：y＝﹣． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和反比例函数解析式的求法，将反比例函数上的点带入解析式中即可求解. 17. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为6，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到 ，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18. 如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为______米． 【答案】2 【解析】 【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP=8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE长． 【详解】如图， 由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP， ∴，即， 解得AP=8， 由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP， ∴，即， 解得ED=2， 故答案为2． 【点睛】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 三、解答题（19-20每小题6分，21-24每小题8分，25题10分，26题12分共66分） 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为满足条件的最大整数，求方程的根． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即得； （2）根据（1）得出方程，再利用因式分解法解一元二次方程即得． 【详解】（1）∵关于的方程有两个不相等的实数根，且原方程中 ∴ ∴ （2）由（1）得： ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及因式分解法求解，解题关键是熟知一元二次方程有两个不等实根等价于判别式． 20. 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． （1）以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）； （2）若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分） （2） 【解析】 【分析】问题考查了位似图形的作图和性质． （1）连接并延长，使，在依次连接即可； （2）根据题意得出和相似比为，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，位似比的绝对值为2，放大为， ∴和相似比为， ∴ 即：． 21. 某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元 （1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？ 【答案】（1）10%；（2）26620元 【解析】 【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）由2019年村该村的人均收入=2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论． 【详解】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%． （2）（元）． 答：预测2019年村该村的人均收入是26620元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 22. 如图，在四边形中，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为1或2． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，解一元二次方程． （1）由，可得出，由同角的余角相等可得出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质列式，结合即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，即， ∴或， ∴的长为1或2． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值． 【答案】（1）；（2）b的值为1或9． 【解析】 【分析】（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得； （2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得． 【详解】（1）由题意，将点代入一次函数得： 将点代入得：，解得 则反比例函数的表达式为； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为 联立 整理得： 一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点 关于x的一元二次方程只有一个实数根 此方程的根的判别式 解得 则b的值为1或9． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键． 24. 如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：AP=　 　，AQ=　 　． （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？ 【答案】（1）AP=2t，AQ=16﹣3t；（2）运动时间为秒或4秒． 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度时间，即可表示出AP，AQ的长度． （2）此题应分两种情况讨论，当△APQ∽△ABC时；当△APQ∽△ACB时；利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）AP=2t，AQ=16﹣3t． （2）∵∠PAQ=∠BAC， ∴当时，△APQ∽△ABC， 即， 解得 当时，△APQ∽△ACB， 即， 解得t=4． ∴运动时间为秒或4秒． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要漏解． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】 （2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 【答案】 （1）证明：如图1，设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）；（3）． 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，利用证明即可； （2）根据同角的余角的相等，得，证明，则； （3）过点A作，延长交于点G，首先根据，可得，则，再由（2）同理得，得，进而解决问题． 【详解】解：（1）略． （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，过点A作，延长交于点G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）． （1）求反比例函数的解析式和n值； （2）当＝时，求直线AB的解析式； （3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），n=2；（2）；（3）（1，），（，） 【解析】 【分析】（1）将、代入反比例函数解析式，进而得出的值； （2）根据题意进而得出，，的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可； （3）利用与 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可． 【详解】解：（1）、在反比例函数的图象上， ，， ，， 反比例函数的解析式为； （2）如图1，过点作，垂足为． 在中，， ，， ， ． ． 设直线的解析式为，代入、， 得，解得：， 因此直线的函数解析式为：； （3）存在， 如图2，作于，于， 当时，， ， ， ， ，可得，， 点的坐标为； 如图3，当时，， ，，由勾股定理，， ， ， ，，， ，可得，， 点的坐标为，， 点的坐标为；，． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级数学第一次学情检测试题卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是 A. （－1，8） B. （－2，4） C. （1，7） D. （2，4） 2. 一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，5，6 B. 5，2，6 C. 2，5，﹣6 D. 5，2，﹣6 3. 四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 4. 已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　） A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 5. 如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　） A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20 6. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9 9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或7 二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 11. 方程的解是_______． 12. 当方程是关于x一元二次方程时，的值_______． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是____________________． 14. 若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____． 15. 如图，在中，，点是边上的一点，于，则边的长为_____． 16. 如图，已知A(5，0)，B(4，4)，以OA、AB为边作▱OABC，若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为_____． 17. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为6，则k的值是______． 18. 如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为______米． 三、解答题（19-20每小题6分，21-24每小题8分，25题10分，26题12分共66分） 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为满足条件的最大整数，求方程的根． 20. 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． （1）以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）； （2）若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 21. 某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元 （1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？ 22. 如图，在四边形中，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值． 24. 如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：AP=　 　，AQ=　 　． （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？ 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】 （2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 26. Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）． （1）求反比例函数的解析式和n值； （2）当＝时，求直线AB的解析式； （3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $