精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

2025—2026学年青铜峡市宁朔中学高一（上）第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值是（ ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 5. 如图，已知矩形图表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 8. 设集合 或，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. ⫋ C. D. ⫋ 10. 下列命题为真命题的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 13. 已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围为____________. 14. 学校举办运动会时，高一（1）班共有30名同学参加比赛，有16人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加田径一项比赛的人数是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，，，求： （1），； （2），． 16. 已知集合 （1）若，写出的所有子集 （2）若集合中只含有一个元素，求的值． 17. （1）若，比较与的大小 （2）若，比较与的大小 18. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. （1）现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 19. 已知，且． （1）求的取值范围 （2）求的最小值 （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年青铜峡市宁朔中学高一（上）第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、并集的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 故选：C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C 3. 不等式的解集是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对进行配方可知在上恒成立，由此选出答案. 【详解】恒成立 不等式的解集为， 故选： 4. 若，则的最小值是（ ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时，即当时取等号， 所以当时，有最小值， 故选：C 5. 如图，已知矩形图表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合间的交、并、补的运算直接判断. 【详解】由图可知，阴影部分可表示为. 故选：A 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件定义判断即可. 【详解】充分性：因为，， 当时，，故充分性不成立； 必要性：因为，， 当时，成立， 当时，，即成立，故必要性成立； 所以若 ，则“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 7. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通分，再将分式不等式转化成一元二次不等式求解即可. 【详解】原不等式可化为，即，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为， 故选：C 8. 设集合 或，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合两集合端点值间的关系列关于的不等式组，求解不等式组得答案． 【详解】 或， ，且， ，解得：． 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. ⫋ C. D. ⫋ 【答案】ABC 【解析】 【分析】由集合间的基本关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】空集是任何集合的子集，即，故A正确； 由真子集的定义可知⫋，B正确， 由子集的定义可知，C正确，D错误； 故选：ABC 10. 下列命题为真命题的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取特殊值可判断A；由不等式的性质可判断B，C，D． 【详解】对于A，因为，但，故A错误； 对于B，因为，故，，故，故B正确； 对于C，若，所以，， 故，即，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 又，根据不等式的性质有，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项. 【详解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或， 那么，所以， 所以，且，故A、C正确，B错误； 不等式， 即，解得:, 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合的描述法计算求解即可. 【详解】因为集合，集合， 且， 则 则集合含有的元素个数为3. 故答案为：3. 13. 已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】此题实质上是二次不等式的恒成立问题，因为，函数的图象抛物线开口向上，所以只要判别式小于0即可． 【详解】解：因为命题“”是真命题， 所以不等式在上恒成立． 由函数的图象是一条开口向上的抛物线可知， 判别式即解得 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 学校举办运动会时，高一（1）班共有30名同学参加比赛，有16人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加田径一项比赛的人数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设只参加田径一项比赛的人数为人，根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图列出方程，即可求解. 【详解】设只参加田径一项比赛的人数为人， 由题意可得只参加游泳项比赛的人数为10人，同时参加田径和球类的人数为人，只参加球类一项比赛的人数为人，画出韦恩图如下： 所以，可得， 所以只参加田径一项比赛的人数为人. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，，，求： （1），； （2），． 【答案】（1），； （2），. 【解析】 【分析】（1）先求出集合的元素范围，再结合集合的交集、并集运算，即可求解； （2）先根据补集的运算，求得和，再根据集合的交集、并集运算，即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 又， 所以，； 【小问2详解】 由题意，因为，，则， 又由（1）得， 所以； 由，得， 所以． 16. 已知集合 （1）若，写出的所有子集 （2）若集合中只含有一个元素，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集. （2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素； 当时，方程为一元二次方程，利用判别式时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数. 【小问1详解】 当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. 【小问2详解】 当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 17. （1）若，比较与的大小 （2）若，比较与的大小 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】利用比较法对（1）（2）进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以有， 即； （2）因为， 所以. 18. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. （1）现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 【答案】（1）每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. （2）每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 【解析】 【分析】（1）先由题意得，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积S的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出l的最小值以及此时的值. 【小问1详解】 由题得即，， 设每间虎笼面积为S，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以即， 所以每间虎笼的长、宽时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. 【小问2详解】 由题意可得， 设钢筋网总长为l，则， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 19. 已知，且． （1）求的取值范围 （2）求的最小值 （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将式子变形可得，即可得到的范围； （2）由基本不等式代入计算，即可得到结果； （3）由原式可得，再由系数“1”的代换，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由可得，即，因为，所以， 即，所以的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，即， ，所以或（舍）， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 由可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $