4.2 角 举一反三 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

4.2角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】角的定义及分类 6 【题型2】角的表示方法 7 【题型3】角的确定方法 8 【题型4】角的度量 10 【题型5】方向角 10 【题型6】时钟问题中的角的计算 12 【题型7】角的大小比较 13 【题型8】角的和、差运算 14 【题型9】角的平分线、三等分线有关的运算 16 【题型10】度、分、秒的转化与运算 17 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． 1.（2024秋•曹县期末）如图，下列说法错误的是（　　） A．∠B与∠CBA表示同一个角 B．∠α可以用∠O表示 C．∠ACO是∠ACB与∠OCB的差 D．∠1可以用∠ACO表示 【知识点2】钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°． 1.（2022秋•龙马潭区期末）钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（　　） A．15° B．30° C．75° D．60° 2.（2023秋•郏县期末）上午9点30分时，钟面上时针与分针所成的角的度数是（　　） A．115° B．105° C．100° D．90° 【知识点3】方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 1.（2025•东莞市校级二模）同学们在操场上进行实地测量，如图，在A处测得建筑物C在南偏西60°的方向上，在B处测得建筑物C在南偏西20°的方向上．则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 2.（2025春•武汉期中）如图是两艘舰艇的位置示意图，下列描述舰艇B相对舰艇A位置正确的是（　　） A．北偏东40°，25海里 B．北偏东50°，25海里 C．南偏西40°，25海里 D．南偏东50°，25海里 【知识点4】度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 1.（2024秋•北京期末）如图，点O是直线AB上一点，若∠AOC=124°42′，则∠BOC=（　　） A．34°42′ B．45°18′ C．55°18′ D．55°58′ 2.（2024秋•辽中区期末）下列说法正确的是（　　） A．角的度量中，1°=100′，1′=100″ B．射线AB的长度为3cm C．经过两点可以画并且只能画一条直线 D．延长直线AB 【知识点5】角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 1.（2024秋•永寿县校级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=30°，∠2的大小是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【知识点6】角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB=∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 1.（2023秋•长安区期末）∠A=40.4°，∠B=40°4'，关于两个角的大小，下列正确的是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A=∠B D．无法确定 2.（2023秋•沂水县期末）比较∠CAB与∠DAB的大小，把它们的顶点A和边AB重合，把它们的另一边AC和AD放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则（　　） A．AD落在∠CAB的内部 B．AD落在∠CAB的外部 C．AC和AD重合 D．不能确定AD的位置 【知识点7】作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025春•香坊区期末）画出△ABC的BC边上的高，下列画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型1】角的定义及分类 【典型例题】拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为(　　) A.100° B.10° C.1° D.不能确定，视放大镜的距离而定 【举一反三1】下列说法中，正确的是(　　) A.两条射线组成的图形叫做角 B.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C.角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D.角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形 【举一反三2】拿一个4倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为(　　) A.4° B.1° C.5° D.不能确定，视放大镜的距离而定 【举一反三3】角是指(　　) A.由两条线段组成的图形 B.由两条射线组成的图形 C.由两条直线组成的图形 D.有公共端点的两条射线组成的图形 【题型2】角的表示方法 【典型例题】如图，下列表示角的方法中，不正确的是(　　) A.∠A B.∠E C.∠α D.∠1 【举一反三1】下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，用三个大写字母表示∠1为            ；∠2为            ；∠3为            ． 【举一反三3】如图，点C是∠AOB的边OA上一点，D，E是OB上两点，则图中共有______条线段，______条射线，________个小于平角的角． 【举一反三4】如图： (1)以点B为顶点，且小于平角的角有几个？并将它们表示出来； (2)请指出以射线BA为边，且小于平角的角； (3)以点D为顶点，且小于平角的角有几个？并将它们表示出来． 【题型3】角的确定方法 【典型例题】如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角(不大于平角的角)．当∠MON内有n条射线时，角的个数为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有(　　)个． A.6 B.5 C.4 D.3 【举一反三2】如图，在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图(2)顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有(　　)个角． A.465 B.450 C.425 D.300 【举一反三3】一个正方形切去一个角后，剩余的图形有角(　　) A.3个 B.4个 C.5个 D.3个或4个或5个 【举一反三4】如图，图中共有            个小于平角的角，其中以A为顶点的角共有            个，它们分别是            ． 【举一反三5】如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有            个角；如果引出5条射线，有            个角；如果引出n条射线，有            个角． 【举一反三6】如图，已知D、E是线段BC上的一点，连接AB、AD、AE、AC．下列说法：①∠DAE可记作∠1；②∠2可记作∠E；③图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示；④图中共有10条线段；⑤图中共有10个小于平角的角．其中正确的是　　　　　　　；(填序号) 【举一反三7】如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有            个角；如果引出5条射线，有            个角；如果引出n条射线，有            个角． 【题型4】角的度量 【典型例题】如图，用量角器测量∠AOB，可读出∠AOB的度数为(　　) A.65° B.110° C.115° D.120° 【举一反三1】如图，已知∠AOB＝80°，借助量角器判断，射线OA可能经过的点是(　　) A.P点 B.Q点 C.M点 D.N点 【举一反三2】如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为(　　) A.45° B.55° C.125° D.135° 【举一反三3】利用一副三角板的各个特殊角的度数，能够画出小于平角的角的个数是(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 【题型5】方向角 【典型例题】岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上．符合条件的示意图是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，小明从点A向北偏东方向走到B点，又从B点向南偏西方向走到点C，则的度数为　　 A. B. C. D. 【举一反三2】如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的(　　)方向. A.北偏东 B.北偏西 C.北偏东 D.北偏西 【举一反三3】如图所示，射线OA的方向是北偏东　 　度． 【举一反三4】如图,OA的方向是北偏东15°,若∠AOC=∠AOB=90°,则OC的方向是      ，OB的方向是           . 【举一反三5】小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．    (1)在图中画出小华家的位置； (2)求的度数； (3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置． 【举一反三6】如图，OA表示北偏东32°方向线，OB表示南偏东43°方向线，则∠AOB等于多少度? 【题型6】时钟问题中的角的计算 【典型例题】甲、乙、丙、丁四个学生在判断时钟的分针和时针互相垂直的时刻，每个人说两个时刻，说对的是(　　) A.甲说3点和3点半 B.乙说6点1刻和6点3刻 C.丙说9点和12点1刻 D.丁说3点和9点 【举一反三1】时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是(　　) A.90° B.120° C.75° D.84° 【举一反三2】12点15分，时针与分针所夹的小于平角的角为(　　) A.90° B.67.5° C.82.5° D.60° 【举一反三3】钟表上的时间为晚上8点，这时时针和分针之间的夹角(小于平角)的度数是(　　) A.120° B.105° C.100° D.90° 【举一反三4】当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时是(　　) A.9点钟 B.8点钟 C.4点钟 D.8点钟或4点钟 【举一反三5】若时钟由2点30分走到2点55分，则时针、分针转过的角度分别为            ． 【举一反三6】某班星期一数学课上课时间是上午9：10，此时时钟上的分针与时针所成的角是_________度． 【举一反三7】央视“新闻联播”节目的结束时间一般是19：30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是　　　　度． 【举一反三8】下午3：40，时针和分针的夹角是　     　°． 【题型7】角的大小比较 【典型例题】用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】下面所标注的四个角中最大的角是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】比较∠CAB与∠DAB时，把它们的顶点A和边AB重合，把∠CAB和∠DAB放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则(　　) A.AD落在∠CAB的内部 B.AD落在∠CAB的外部 C.AC和AD重合 D.不能确定AD的位置 【举一反三3】如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB　  　∠COD．(填“＞”，“＜”或“＝”) 【举一反三4】比较图中∠BOC、∠BOD的大小：因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC　   　∠BOD．(填“＞”，“＜”或“＝”) 【举一反三5】(1)如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26 cm，则线段DE的长为 　  　cm． (拓展)(2)在(问题)中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长． (应用)(3)如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 　 　(用含字母α的式子表示)； (4)如图④，在(3)中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则(3)中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由． 【题型8】角的和、差运算 【典型例题】如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为(　　) A.20° B.30° C.40° D.50° 【举一反三1】如图，点O在直线AB上，若∠AOD＝159.5°，∠BOC＝51°30′，则∠COD的度数为(　　) A.30° B.31° C.30°30′ D.31°30′ 【举一反三2】如图，A，O，B是同一直线上的三点，OC，OD，OE是从O点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4=1：2：3：4，则∠5=            度． 【举一反三3】已知∠AOC=60°，∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数是            ． 【举一反三4】如图所示，已知∠AOC=∠BOD=100°，且∠AOB：∠AOD=2：7，求∠BOC和∠COD的度数． 【举一反三5】如图，已知∠AOB=∠BOC，∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数． 【题型9】角的平分线、三等分线有关的运算 【典型例题】如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是(　　) A.69° B.60° C.59° D.70° 【举一反三1】如图，已知O为直线AB上一点，将30°的直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是(　　) A.∠AOM＝3∠NOC B.∠AOM＝2∠NOC C.2∠AOM＝3∠NOC D.3∠AOM＝5∠NOC 【举一反三2】如图，点O在直线AE上，射线OC平分∠AOE．如果∠DOB＝90°，∠1＝25°，那么∠AOB的度数为　       　． 【举一反三3】已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． (1)若∠AOC＝30°，求∠COE的度数； (2)若∠AOC＝α，求∠DOE的度数(用含α的代数式表示)． 【举一反三4】已知：∠AOB，过点O引两条射线OC，OM，且OM平分∠AOC． (1)如图，若∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，且点C在∠AOB的内部．求出∠MOB的度数； 以下是求∠MOB的度数的解题过程，请你补充完整． 解：∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝120°，∠BOC＝30°, ∴∠AOC＝90°． ∵OM平分∠AOC, ∴∠MOC＝　      　＝　      　°, ∵∠MOB＝∠MOC+　      　． ∴∠MOB＝　      　°． (2)若∠AOB＝α，∠BOC＝β(其中α＜β＜90°)，画出图形并直接写出∠MOB的度数．(用含α，β的式子表示) 【题型10】度、分、秒的转化与运算 【典型例题】把一个周角7等分，每一份是(精确到分)(　　) A.51°28′ B.51°27′ C.51°26′ D.51°25′ 【举一反三1】1°等于(　　) A.10′ B.12′ C.60′ D.100′ 【举一反三2】下列说法中：其中正确的有(　　) ①1°＝60′； ②若2AC＝BC，则A是线段BC的中点； ③两点之间所有连线中，直线最短； ④两点确定一条直线． A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①④ 【举一反三3】计算：15°37′+42°51′＝　            　． 【举一反三4】(1)用度、分、秒表示38.33°； (2)用度表示15°48′36″. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】角的定义及分类 8 【题型2】角的表示方法 10 【题型3】角的确定方法 12 【题型4】角的度量 15 【题型5】方向角 16 【题型6】时钟问题中的角的计算 19 【题型7】角的大小比较 22 【题型8】角的和、差运算 25 【题型9】角的平分线、三等分线有关的运算 27 【题型10】度、分、秒的转化与运算 31 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． 1.（2024秋•曹县期末）如图，下列说法错误的是（　　） A．∠B与∠CBA表示同一个角 B．∠α可以用∠O表示 C．∠ACO是∠ACB与∠OCB的差 D．∠1可以用∠ACO表示 【答案】B 【分析】直接根据角的概念：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角逐一判断即可． 【解答】解：A、∠B与∠CBA表示同一个角，故A说法正确，不符合题意； B、点O处有三个角，∠α可以用∠BOC表示，故B说法不正确，符合题意； C、∠ACO是∠ACB与∠OCB的差，故C说法正确，不符合题意； D、∠1可以用∠ACO表示，故D说法正确，不符合题意；． 故选：B． 【知识点2】钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°． 1.（2022秋•龙马潭区期末）钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（　　） A．15° B．30° C．75° D．60° 【答案】C 【分析】计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． 【解答】解：∵8点30分，时针在8和9正中间，分针指向6，中间相差两个半大格，而钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴8点30分时，时针与分针的夹角的度数为：30°×2.5=75°． 故选：C． 2.（2023秋•郏县期末）上午9点30分时，钟面上时针与分针所成的角的度数是（　　） A．115° B．105° C．100° D．90° 【答案】B 【分析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字． 【解答】解：3×30°+15°=105°． ∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°． 故选：B． 【知识点3】方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 1.（2025•东莞市校级二模）同学们在操场上进行实地测量，如图，在A处测得建筑物C在南偏西60°的方向上，在B处测得建筑物C在南偏西20°的方向上．则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和方向角的定义即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵AM∥BN， ∴∠ADB=∠A=60°， ∴∠BDC=120°， ∴∠C=180°-∠B-∠BDC=40°． 故选：B． 2.（2025春•武汉期中）如图是两艘舰艇的位置示意图，下列描述舰艇B相对舰艇A位置正确的是（　　） A．北偏东40°，25海里 B．北偏东50°，25海里 C．南偏西40°，25海里 D．南偏东50°，25海里 【答案】B 【分析】根据方位角的概念，可得答案． 【解答】解：由图可知，舰艇B相对舰艇A位置是北偏东50°，25海里． 故选：B． 【知识点4】度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 1.（2024秋•北京期末）如图，点O是直线AB上一点，若∠AOC=124°42′，则∠BOC=（　　） A．34°42′ B．45°18′ C．55°18′ D．55°58′ 【答案】C 【分析】根据∠AOC+∠BOC=180°计算即可． 【解答】解：∵∠AOC=124°42′， ∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-124°42′=179°60′-124°42′=55°18′， 故选：C． 2.（2024秋•辽中区期末）下列说法正确的是（　　） A．角的度量中，1°=100′，1′=100″ B．射线AB的长度为3cm C．经过两点可以画并且只能画一条直线 D．延长直线AB 【答案】C 【分析】直接利用直线的性质以及度分秒换算、射线的定义分别分析得出答案． 【解答】解：A、角的度量中，1°=60′，1′=60″，故此选项错误； B、射线AB没有长度，故此选项错误； C、经过两点可以画并且只能画一条直线，故此选项正确； D、延长直线AB，直线无法延长，故此选项错误． 故选：C． 【知识点5】角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 1.（2024秋•永寿县校级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=30°，∠2的大小是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】先求出∠EAC的度数，再根据余角的概念求出∠2． 【解答】解：∵∠BAC=60°，∠1=30°， ∴∠EAC=60°-30°=30°， ∵∠EAD=90°， ∴∠2=90°-30°=60°， 故选：D． 【知识点6】角的大小比较 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB=∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 1.（2023秋•长安区期末）∠A=40.4°，∠B=40°4'，关于两个角的大小，下列正确的是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A=∠B D．无法确定 【答案】A 【分析】先换算单位，再进行比较． 【解答】解：∵40.4°=40°24′， ∴40°24′＞40°4'， ∴∠A＞∠B． 故选：A． 2.（2023秋•沂水县期末）比较∠CAB与∠DAB的大小，把它们的顶点A和边AB重合，把它们的另一边AC和AD放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则（　　） A．AD落在∠CAB的内部 B．AD落在∠CAB的外部 C．AC和AD重合 D．不能确定AD的位置 【答案】A 【分析】如果两个角的顶点重合，且有一条边重合，两角的另一边落在重合边的同一侧，如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一边在里面的小，在外面的大，由此解答即可， 【解答】解：根据题意得，AD落在∠CAB的内部， 故选：A． 【知识点7】作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025春•香坊区期末）画出△ABC的BC边上的高，下列画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据BC边上的高的定义和基本作图对各选项进行判断． 【解答】解：过A点作BC边的垂线，垂线段为BC边上的高， 所以C选项的画法正确． 故选：C． 【题型1】角的定义及分类 【典型例题】拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为(　　) A.100° B.10° C.1° D.不能确定，视放大镜的距离而定 【答案】C 【解析】放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的， 所以，拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角仍为1°． 故选：C． 【举一反三1】下列说法中，正确的是(　　) A.两条射线组成的图形叫做角 B.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C.角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D.角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形 【答案】C 【解析】A.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误； B.根据A可得B错误； C.角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确； D.据C可得D错误．故选C． 【举一反三2】拿一个4倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为(　　) A.4° B.1° C.5° D.不能确定，视放大镜的距离而定 【答案】B 【解析】因为角度只是形状，是不能被放大镜改变的，放大镜只能改变物体的大小，所以，拿一个4倍的放大镜看一个1°的角，则这个角仍然为1°．故选B． 【举一反三3】角是指(　　) A.由两条线段组成的图形 B.由两条射线组成的图形 C.由两条直线组成的图形 D.有公共端点的两条射线组成的图形 【答案】D 【解析】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角．故选D． 【题型2】角的表示方法 【典型例题】如图，下列表示角的方法中，不正确的是(　　) A.∠A B.∠E C.∠α D.∠1 【答案】B 【解析】以E为端点的角不止一个，因此∠E表示方法不正确． 【举一反三1】下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A中∠1可以用∠AOB表示，但不能用∠O表示，则A不符合题意； B中∠1与∠AOB和∠O不是同一个角，则B不符合题意； C中∠1与∠AOB不是同一个角，且它也不能用∠O表示，则C不符合题意； D中∠1既可以用∠AOB表示，也能用∠O表示，则D符合题意； 故选：D． 【举一反三2】如图，用三个大写字母表示∠1为            ；∠2为            ；∠3为            ． 【答案】∠MCB；∠AMC；∠CAN 【解析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角． 【举一反三3】如图，点C是∠AOB的边OA上一点，D，E是OB上两点，则图中共有______条线段，______条射线，________个小于平角的角． 【答案】6；5；10 【解析】图中有线段OD，OE，DE，OC，DC，EC，共6条；有射线OA，CA，OB，DB，EB，共5条；小于平角的角有∠O，∠ODC，∠CDE，∠CED，∠CEB，∠ACE，∠ECD，∠DCO，∠ACD，∠OCE，共10个． 【举一反三4】如图： (1)以点B为顶点，且小于平角的角有几个？并将它们表示出来； (2)请指出以射线BA为边，且小于平角的角； (3)以点D为顶点，且小于平角的角有几个？并将它们表示出来． 【答案】解　(1)以点B为顶点，且小于平角的角有3个，分别是∠ABC，∠ABD，∠DBC. (2)以射线BA为边，且小于平角的角有∠ABE，∠ABC. (3)以点D为顶点，且小于平角的角有4个，分别是∠ADB，∠ADE，∠BDC，∠EDC. 【题型3】角的确定方法 【典型例题】如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角(不大于平角的角)．当∠MON内有n条射线时，角的个数为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+…+(n+1)=．故选D． 【举一反三1】如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有(　　)个． A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】∵图中共有四条射线，∴图中小于平角的角共有=6个．故选A． 【举一反三2】如图，在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图(2)顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有(　　)个角． A.465 B.450 C.425 D.300 【答案】A 【解析】在∠AOB内，从图(1)的顶点O画1条射线，图中共有1+2＝3个角； 从图(2)顶点O画2条射线，图中共有1+2+3＝6个角； …… 若从角的顶点画n条射线，图中共有1+2+3+……+(n+1)＝(n+2)(n+1)个角； ∴从角的顶点画29条射线，图中共有＝(29+2)(29+1)＝465个角； 故选：A． 【举一反三3】一个正方形切去一个角后，剩余的图形有角(　　) A.3个 B.4个 C.5个 D.3个或4个或5个 【答案】D 【解析】如图所示： 故选D． 【举一反三4】如图，图中共有            个小于平角的角，其中以A为顶点的角共有            个，它们分别是            ． 【答案】12；6；∠BAC、∠BAE、∠BAD、∠DAE、∠DAC、∠EAC 【解析】如图可知，图中小于平角的角是：以A为顶点的有6个；分别以B、C为顶点的共有2个；以D、E为顶点的共有4个．即有12个小于平角的角．其中，以A为顶点的角是：∠BAC、∠BAE、∠BAD、∠DAE、∠DAC、∠EAC． 【举一反三5】如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有            个角；如果引出5条射线，有            个角；如果引出n条射线，有            个角． 【答案】10；21；(n+1)(n+2) 【解析】引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出5条射线，有21个角；如果引出n条射线，有(n+1)(n+2)个角． 【举一反三6】如图，已知D、E是线段BC上的一点，连接AB、AD、AE、AC．下列说法：①∠DAE可记作∠1；②∠2可记作∠E；③图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示；④图中共有10条线段；⑤图中共有10个小于平角的角．其中正确的是　　　　　　　；(填序号) 【答案】①③④ 【解析】角可以用阿拉伯数字(∠1，∠2…)表示，故说法①正确； 唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角，图中以E为顶点的角不只1个，故说法②错误； 图中A、B、C、D、E五个点中，以B、C为顶点的角均只有1个，所以图中有且只有2个角可以用一个大写字母表示，即∠B，∠C，故说法③正确； 图中共有10条线段，即线段AB、AD、AE、AC、BD、BE、BC、DE、DC、EC，故说法④正确； 图中共有12个小于平角的角，即∠BAD、∠BAE、∠BAC、∠DAE、∠DAC、∠EAC、∠B、∠C、∠ADB、∠ADE、∠AEB、∠AEC，故说法⑤错误． 故答案为①③④． 【举一反三7】如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有            个角；如果引出5条射线，有            个角；如果引出n条射线，有            个角． 【答案】10；21；(n+1)(n+2) 【解析】引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出5条射线，有21个角；如果引出n条射线，有(n+1)(n+2)个角． 【题型4】角的度量 【典型例题】如图，用量角器测量∠AOB，可读出∠AOB的度数为(　　) A.65° B.110° C.115° D.120° 【答案】C 【解析】看量角器内圈的数字可读出∠AOB的度数为115°． 故选：C． 【举一反三1】如图，已知∠AOB＝80°，借助量角器判断，射线OA可能经过的点是(　　) A.P点 B.Q点 C.M点 D.N点 【答案】B 【解析】如图，画出射线OM，ON，OQ，OP， 利用量角器量出∠AOB＝80°，则射线OA经过的点是Q点． 故选：B． 【举一反三2】如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为(　　) A.45° B.55° C.125° D.135° 【答案】B 【解析】由图形所示，∠AOB的度数为55°，故选B． 【举一反三3】利用一副三角板的各个特殊角的度数，能够画出小于平角的角的个数是(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【解析】利用一副三角板的各个特殊角的度数，能够画出小于平角的角有：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°共11个．故选C． 【题型5】方向角 【典型例题】岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上．符合条件的示意图是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据文字语言，画出示意图，如下：故选D． 【举一反三1】如图，小明从点A向北偏东方向走到B点，又从B点向南偏西方向走到点C，则的度数为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，， ， ， ， 即． 故选：A． 【举一反三2】如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的(　　)方向. A.北偏东 B.北偏西 C.北偏东 D.北偏西 【答案】B 【解析】∵乙船在甲船的南偏东方向， ∴甲船在乙船的北偏西方向. 故答案为：B. 【举一反三3】如图所示，射线OA的方向是北偏东　 　度． 【答案】60 【解析】根据方向角的概念，射线OA表示的方向是北偏东60°． 【举一反三4】如图,OA的方向是北偏东15°,若∠AOC=∠AOB=90°,则OC的方向是      ，OB的方向是           . 【答案】北偏西75°；南偏东75° 【解析】90°-15°=75°，OC的方向是北偏西75°，OB的方向是南偏东75°. 【举一反三5】小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．    (1)在图中画出小华家的位置； (2)求的度数； (3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置． 【答案】解：(1)如图，点即为所求；    (2)∵， ∴与正东方向的夹角为， ； (3)由()得与正东方向的夹角为， ∵， ∴与正东方向的夹角为：， ∵正东和正北的夹角为， ∴与正北方向的夹角为：， ∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上． 【举一反三6】如图，OA表示北偏东32°方向线，OB表示南偏东43°方向线，则∠AOB等于多少度? 【答案】解：∠AOB=(90°-32°)+(90°-43°)=58°十47=105°. 【题型6】时钟问题中的角的计算 【典型例题】甲、乙、丙、丁四个学生在判断时钟的分针和时针互相垂直的时刻，每个人说两个时刻，说对的是(　　) A.甲说3点和3点半 B.乙说6点1刻和6点3刻 C.丙说9点和12点1刻 D.丁说3点和9点 【答案】D 【解析】A.3点时，时针指向3，分针指向12，其夹角为30°×3=90°，3点半时不互相垂直，错误； B.6点1刻和6点3刻，分针和时针都不互相垂直，错误； C.9点时，时针指向9，分针指向12，其夹角为30°×3=90度，12点1刻不互相垂直，错误；D.3点时，时针指向3，分针指向12，其夹角为30°×3=90°；9点时，时针指向9，分针指向12，其夹角为30°×3=90度．正确．故选D． 【举一反三1】时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是(　　) A.90° B.120° C.75° D.84° 【答案】C 【解析】由于钟面被分成12大格，每格为30°，8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6，所以时针与分针所成的角等于2×30°+12×30°=75°．故选C． 【举一反三2】12点15分，时针与分针所夹的小于平角的角为(　　) A.90° B.67.5° C.82.5° D.60° 【答案】C 【解析】12点15分，时针与分针相距2+＝份， 12点15分，时针与分针夹角是30°×＝82.5°， 故选：C． 【举一反三3】钟表上的时间为晚上8点，这时时针和分针之间的夹角(小于平角)的度数是(　　) A.120° B.105° C.100° D.90° 【答案】A 【解析】∵钟表上的时间为晚上8点，即时针指向8，分针指向12，∴这时时针和分针之间的夹角(小于平角)的度数=(12-8)×30°=120°．故选A． 【举一反三4】当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时是(　　) A.9点钟 B.8点钟 C.4点钟 D.8点钟或4点钟 【答案】D 【解析】∵钟表上每一个大个之间的夹角是30°，∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角时，距分针成120°的角时针应该有两种情况，即距时针4个格，∴只有8点钟或4点钟是符合要求．故选D． 【举一反三5】若时钟由2点30分走到2点55分，则时针、分针转过的角度分别为            ． 【答案】12.5°;150° 【解析】时针旋转的角度是0.5×(55-30)=12.5°，分针旋转的角度是6×(55-30)=150°，故答案为：12.5°，150°． 【举一反三6】某班星期一数学课上课时间是上午9：10，此时时钟上的分针与时针所成的角是_________度． 【答案】145 【解析】9点时分针与时针所成的角是， ，， 所以，9：10分针与时针所成的角为：． 故答案是：145． 【举一反三7】央视“新闻联播”节目的结束时间一般是19：30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是　　　　度． 【答案】45 【解析】19：30，时针和分针中间相差1.5个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴19：30分针与时针的夹角是1.5×30°＝45°． 故答案为：45． 【举一反三8】下午3：40，时针和分针的夹角是　     　°． 【答案】130 【解析】下午3点整，时针和分针的夹角是90°，分针每分钟走6°,时针每分钟走0.5°，3：40时针和分针的夹角是：6°×40-90°-0.5×40=130°. 故答案为：130． 【题型7】角的大小比较 【典型例题】用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D． 故选：D． 【举一反三1】下面所标注的四个角中最大的角是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A：图中标注的角为钝角，钝角大于90°； B：图中标注的角为锐角，锐角大于0°而小于90°； C：图中标注的角为直角，直角等于90°； D：图中标注的角为平角，平角等于180°． ∴锐角＜直角＜钝角＜平角． 故选：D． 【举一反三2】比较∠CAB与∠DAB时，把它们的顶点A和边AB重合，把∠CAB和∠DAB放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则(　　) A.AD落在∠CAB的内部 B.AD落在∠CAB的外部 C.AC和AD重合 D.不能确定AD的位置 【答案】A 【解析】比较∠CAB与∠DAB时，把它们的顶点A和边AB重合，把∠CAB和∠DAB放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则AD落在∠CAB的内部．故选A． 【举一反三3】如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB　  　∠COD．(填“＞”，“＜”或“＝”) 【答案】＞ 【解析】如图：连接OE， 由题意得：∠COE＝∠AOB， ∵∠COE＞∠COD， ∴∠AOB＞∠COD， 故答案为：＞． 【举一反三4】比较图中∠BOC、∠BOD的大小：因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC　   　∠BOD．(填“＞”，“＜”或“＝”) 【答案】＜ 【解析】因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC＜∠BOD． 故答案为：＜． 【举一反三5】(1)如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26 cm，则线段DE的长为 　  　cm． (拓展)(2)在(问题)中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长． (应用)(3)如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 　 　(用含字母α的式子表示)； (4)如图④，在(3)中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则(3)中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由． 【答案】解 (1)∵点D，E分别是线段AC，BC的中点， ∴CD＝AC，CE＝BC， ∵AB＝26 cm， ∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB＝13 cm， 故答案为：13； (2)如图， 当C点在AB的延长线上时， ∵点D，E分别是线段AC，BC的中点， ∴CD＝AC，CE＝BC， ∵DE＝DC﹣CE＝AC﹣BC＝AB＝13 cm； 答：DE的长度等于13 cm； (3)∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC， ∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB， ∵∠AOB＝α， ∴∠MON＝α， 故答案为：α； (4)(3)结论成立，理由如下： ∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC， ∴∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB， ∵∠AOB＝α， ∴∠MON＝α， ∴(3)中的结论成立． 【题型8】角的和、差运算 【典型例题】如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为(　　) A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】A 【解析】∵∠AOB =160°，∠BOC=∠AOD=90° ， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=160°-90°=70°， ∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-70°=20°． 故答案为：A. 【举一反三1】如图，点O在直线AB上，若∠AOD＝159.5°，∠BOC＝51°30′，则∠COD的度数为(　　) A.30° B.31° C.30°30′ D.31°30′ 【答案】B 【解析】因为∠AOD＝159.5°＝159°30′， 所以∠COD＝∠AOD＋∠BOC－∠AOB＝159°30′＋51°30′－180°＝31°. 【举一反三2】如图，A，O，B是同一直线上的三点，OC，OD，OE是从O点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4=1：2：3：4，则∠5=            度． 【答案】60 【解析】A，O，B是同一直线上的三点，即∠AOB=180°∠1：∠2：∠3=1：2：3，可知∠1=30°∠2=60°∠3=90°；∠1：∠2：∠3：∠4=1：2：3：4，∠4=120°，∠5=180°-120°=60°．故填60． 【举一反三3】已知∠AOC=60°，∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数是            ． 【答案】100°或20° 【解析】①OB在OA左边， 如图，∵∠AOC=60°，∠AOB：∠AOC=2：3， ∴∠AOB=40°，∴∠BOC=40°+60°=100°； ②OB在OA右边，如图，∵∠AOC=60°，∠AOB：∠AOC=2：3， ∴∠AOB=40°， ∴∠BOC=60°-40°=20．故答案是100°或20°． 【举一反三4】如图所示，已知∠AOC=∠BOD=100°，且∠AOB：∠AOD=2：7，求∠BOC和∠COD的度数． 【答案】解 设∠AOB和∠AOD分别为2x、7x， 由题意得，2x+100°=7x， 解得，x=20°， 则∠AOB=40°，∠AOD=70°， ∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°， ∠COD=∠BOD-∠BOC=40°． 【举一反三5】如图，已知∠AOB=∠BOC，∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数． 【答案】解：设∠AOB=x°，由题意3x+3x+2x+x=360，解之可得x=40，即∠AOB=40°， 又因为∠COD=3∠AOB，即∠COD=120°． 故∠AOB和∠COD的度数分别为40°、120°． 【题型9】角的平分线、三等分线有关的运算 【典型例题】如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，∠COB＝42°，则∠DOC的度数是(　　) A.69° B.60° C.59° D.70° 【答案】A 【解析】∵∠COB＝42°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝138°， ∵OD是∠AOC的角平分线， ∴∠DOC＝＝×138°＝69°． 故选：A． 【举一反三1】如图，已知O为直线AB上一点，将30°的直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是(　　) A.∠AOM＝3∠NOC B.∠AOM＝2∠NOC C.2∠AOM＝3∠NOC D.3∠AOM＝5∠NOC 【答案】B 【解析】因为∠MON＝90°， 所以∠AOM＋∠BON＝90°， 所以∠BON＝90°－∠AOM， 因为OC是∠MOB的平分线， 所以∠MOB＝2∠BOC＝2∠MOC， 所以∠AOM＝180°－∠MOB＝180°－2∠BOC＝180°－2∠BON－2∠NOC， 所以∠AOM＝180°－2(90°－∠AOM)－2∠NOC， 所以∠AOM＝2∠NOC. 【举一反三2】如图，点O在直线AE上，射线OC平分∠AOE．如果∠DOB＝90°，∠1＝25°，那么∠AOB的度数为　       　． 【答案】25° 【解析】∵点O在直线AE上，OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE＝90°， ∵∠DOB是直角，∠1＝25°， ∴∠BOC＝∠DOB﹣∠1＝90°﹣25°＝65°， ∵∠AOB+∠BOC＝∠AOC＝90°， ∴∠AOB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°． 故答案为：25°． 【举一反三3】已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． (1)若∠AOC＝30°，求∠COE的度数； (2)若∠AOC＝α，求∠DOE的度数(用含α的代数式表示)． 【答案】解 (1)∵OE平分∠BOC，∠AOC＝30°， ∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°， ∴∠COE＝150°×＝75°． (2)∵OE平分∠BOC，若∠AOC＝α， ∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α， ∴∠COE＝(180°﹣α)×＝90°﹣α， ∵∠COD＝90°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣(90°﹣α)＝α． 【举一反三4】已知：∠AOB，过点O引两条射线OC，OM，且OM平分∠AOC． (1)如图，若∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，且点C在∠AOB的内部．求出∠MOB的度数； 以下是求∠MOB的度数的解题过程，请你补充完整． 解：∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝120°，∠BOC＝30°, ∴∠AOC＝90°． ∵OM平分∠AOC, ∴∠MOC＝　      　＝　      　°, ∵∠MOB＝∠MOC+　      　． ∴∠MOB＝　      　°． (2)若∠AOB＝α，∠BOC＝β(其中α＜β＜90°)，画出图形并直接写出∠MOB的度数．(用含α，β的式子表示) 【答案】解 (1)∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝120°，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝90°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠MOC＝∠AOC＝45°， ∵∠MOB＝∠MOC+∠BOC， ∴∠MOB＝75°， 故答案为：∠AOC，45，∠BOC，75； (2)分两种情况： ①当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时，如图1所示， ∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝β﹣α， ∵OM平分∠AOC， ∴∠AOM＝∠AOC＝， ∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝； ②当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时，如图2所示， ∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝α+β， ∵OM平分∠AOC， ∴∠AOM＝∠AOC＝， ∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB ＝ ＝， ∴∠BOM＝或． 【题型10】度、分、秒的转化与运算 【典型例题】把一个周角7等分，每一份是(精确到分)(　　) A.51°28′ B.51°27′ C.51°26′ D.51°25′ 【答案】C 【解析】360°÷7≈51°26′．故选C． 【举一反三1】1°等于(　　) A.10′ B.12′ C.60′ D.100′ 【答案】C 【解析】1°等于60′．故选C． 【举一反三2】下列说法中：其中正确的有(　　) ①1°＝60′； ②若2AC＝BC，则A是线段BC的中点； ③两点之间所有连线中，直线最短； ④两点确定一条直线． A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①④ 【答案】D 【解析】①因为1°＝60′，所以①说法正确，故①选项符合题意； ②如图，因为2AC＝BC，A不是线段BC的中点，所以②说法不正确，故②选项不符合题意； ③因为两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，所以③说法不正确，故③选项不符合题意； ④因为直线公理：经过两点有且只有一条直线．所以④说法正确，故④选项符合题意． 所以说法正确的有①④， 故选：D． 【举一反三3】计算：15°37′+42°51′＝　            　． 【答案】58°28′ 【解析】∵37+51＝88， ∴15°37′+42°51′＝58°28′． 故答案为：58°28′． 【举一反三4】(1)用度、分、秒表示38.33°； (2)用度表示15°48′36″. 【答案】解　(1)0.33×60′＝19.8′，0．8×60″＝48″， 所以38.33°＝38°19′48″. (2)36″÷60＝0.6′，48．6′÷60＝0.81°， 所以15°48′36″＝15.81°. 学科网（北京）股份有限公司 $