精品解析：江苏省苏州市高新区苏州实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

江苏省苏州实验中学2025-2026学年第一学期十月调研测试 高二数学 命题人：陈海锋 审题人：顾金 张文海 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（ ）项 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 若数列满足，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3. 等比数列单调递减，前n项和，，则公比（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列前n项和为，设p：“且”，q：“是的最小值”，则（ ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q的充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 5. 等差数列的前n项和为，若则的值为（ ） A. 30 B. 60 C. 45 D. 15 6. 李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列首项，，则使得成立的最大正整数n是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 数列前n项和，，则数列的最小项为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，年小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分． 9. 等差数列前项和为，，，则（ ） A. 数列的公差为 B. C. D. 10. 数列首项不为0，，则下列叙述正确的有（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则数列是等比数列 C. 若且，则数列前10项和为5 D. 不存在实数m，使得恒成立 11. 已知数列的通项公式，前项和为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 数列单调递减 D. 数列的最小项是 第II卷 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列的前99项和等于________． 13. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=___;=_______． 14. 已知整数数列是等比数列，，则的最小值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． （1）求及； （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 16. 已知数列的首项，前n项和为． （1）若数列的前n项和为，求； （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知正项数列，，． （1）求，及数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求数列的最大项． 18. 已知数列满足，，前项和为． （1）求证：数列是等比数列； （2）求； （3）记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列前n项和为，满足（，A为常数） （1）若，求的值； （2）若，，求数列的通项公式； （3）若，求证：数列为等差数列的充要条件为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州实验中学2025-2026学年第一学期十月调研测试 高二数学 命题人：陈海锋 审题人：顾金 张文海 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（ ）项 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】可根据已知的递推公式，结合数列的前几项，依次计算出数列的后续项，直到找到数值为21的项，从而确定其项数. 【详解】; ; ; ; ; ; 故可知21为数列的第8项， 故选：. 2. 若数列满足，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推公式求数列的前几项，观察可得数列的周期性，可得. 【详解】因为，，， ，… 所以数列是以3为周期的周期数列. 所以. 故选：C 3. 等比数列单调递减，前n项和，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式并结合题意建立方程，求解公比即可. 【详解】在等比数列中，设首项为， 因为等比数列单调递减，所以， 因为，所以， 则，化简得， 解得或（舍去），故选项C正确. 故选：C 4. 等差数列前n项和为，设p：“且”，q：“是的最小值”，则（ ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q的充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列的单调性，根据充分、必要条件的判断方法进行判断. 【详解】等差数列中，设公差为. 若且，则，所以，，所以. ， ，则当，时，取得最小值. 因为，且，，， 所以当时，取得最小值. 所以能推出. 若是的最小值， 因为等差数列的前n项和有最小值，所以公差大于零，等差数列是递增数列. 因为是的最小值，所以“”，或“且”，或“且”. 所以推不出. 因此，p是q的充分不必要条件. 故选：A. 5. 等差数列的前n项和为，若则的值为（ ） A. 30 B. 60 C. 45 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】设基本量，再结合等差数列的性质与求和公式求解即可. 【详解】在等差数列中，设首项为，公差为， 因为，所以， 则，即. 所以. 故选：A 6. 李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把问题转化为等比数列的前项和求解. 【详解】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 7. 已知数列首项，，则使得成立的最大正整数n是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】变形不等式，进行累加得到关于的不等式，进而得到关于的不等式，转化成关于的一元二次不等式，求解可得使成立的最大正整数n的值. 【详解】由，得. 所以，，……，. 累加得:，即:，所以. 若，则，即，解得：. 所以使得成立的最大正整数n是8. 故选：C. 8. 数列前n项和，，则数列的最小项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得数列的通项公式及前项和，从而得到数列的通项公式.分为奇数和为偶数两种情况进行讨论，可求得数列的最小项. 【详解】由，得： 当时，， 所以，即，即. 当时，，所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，. 所以. 当为奇数时，，随着的增大而减小，且均为正数； 当为偶数时，，随着的增大而减小； 令，则， 令，则. 所以当时，且为偶数时，，所以随的增大而增大. 所以当为偶数时，的最小值是，. 此时，数列的最小项为. 综上所述，数列的最小项为. 故选：D. 二．选择题：本题共3小题，年小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分． 9. 等差数列前项和为，，，则（ ） A. 数列的公差为 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列通项公式和求和公式逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 对于A选项，数列的公差为，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，， ，，故，C错； 对于D选项，，所以，D错. 故选：AB. 10. 数列首项不为0，，则下列叙述正确的有（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则数列是等比数列 C. 若且，则数列前10项和为5 D. 不存在实数m，使得恒成立 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的概念判断A的真假；根据等比数列的概念判断B的真假；利用分组求和法判断C的真假，研究成立的条件判断D的真假. 【详解】对A：当时，，，则， 所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，故A正确； 对B：当时，， （，则） 所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 但是这是在的条件下成立的，而条件并没有，故B不正确； 对C：当时，，则， 所以，所以，故C正确； 对D：因为， 所以， ， 所以. 若恒成立，且，则存在，使得恒成立， 因为的值变化，所以， 即当时，恒成立，故D错误. 故选：AC 11. 已知数列的通项公式，前项和为，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 数列单调递减 D. 数列的最小项是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析可知当时，，当时，，并分析出数列的单调性，可判断ABC选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，当时，，则， 此时数列单调递减， 当时，，则，此时数列单调递减， 故， 故数列最大项为，A对； 对于B选项，由A选项可知，数列最小项为， 故的最大值为，B对； 对于C选项，由A选项可知，数列不单调，C错； 对于D选项，令，可得， 所以当时，，故数列的最小项是，D对. 故选：ABD. 第II卷 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列的前99项和等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等差数列求和公式，再结合裂项求和法求解. 【详解】设. 所以数列的前99项的和为： . 故答案为： 13. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=___;=_______． 【答案】37，f(n)=3n2-3n+1 【解析】 【详解】解：（1）由于f（2）-f（1）=7-1=6， f（3）-f（2）=19-7=2×6， f（4）-f（3）=37-19=3×6，所以f（4）=37 f（5）-f（4）=61-37=4×6， 因此，当n≥2时，有f（n）-f（n-1）=6（n-1）， 所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n2-3n+1 14. 已知整数数列是等比数列，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的基本性质可得出，要使得取最小值，则，从而得出，对的取值进行分类讨论，验证是否为整数，求出的值，即可求得的最小值. 【详解】因为是各项均为整数的等比数列，且， 即，即，故， 设等比数列的公比为，则，则、同号，同理可知、同号， 要使得取最小值，则，所以， 因为，则有，此时，不合乎题意； 或，此时，合乎题意，此时； 或，此时，合乎题意，此时. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． （1）求及； （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据可求出的值，由已知条件得出，可求出的值，即可得出数列的通项公式，结合等差数列的求和公式可求出； （2）利用等差数列的定义求出的表达式，结合等差数列的定义推导出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式可求出的值. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，不妨设， 由可得，故，解得， 所以， 对任意的，，则，即，即， 所以，解得，故，， 所以，合乎题意， 综上所述，，. 【小问2详解】 在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 这个等差数列、、、，则，， 所以， 当时，，故数列为等差数列， 所以. 16. 已知数列的首项，前n项和为． （1）若数列的前n项和为，求； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列方程求解即可； （2）当时，利用，求出数列的递推关系式即可求得，然后利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为数列的前n项和为， 所以，即，所以，所以； 【小问2详解】 ，当时，，即， 当时，，两式作差得， 所以，，所以当时，数列为常数列， 又时，所以当时，，所以， 又也满足，所以， 故． 所以，① ，② ①-②得 所以 17. 已知正项数列，，． （1）求，及数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求数列的最大项． 【答案】（1），，； （2）1. 【解析】 【分析】（1）分别令和，结合，，可列方程组求，；再判断数列的特征，可取数列的通项公式. （2）表示出，分析数列的单调性，可求其最大值. 【小问1详解】 由题意. 当时， 且 两式作差得即. 所以从开始，是公差为2的等差数列，而， 则，，显然也满足， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以. 设，则， 所以， 所以为递减数列. 所以.即的最大值为1. 18. 已知数列满足，，前项和为． （1）求证：数列是等比数列； （2）求； （3）记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为数列满足，且，则， 所以， 故，且， 因此数列是等比数列. （2） （3）不存在，理由如下： 由（2）可知， 假设数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列， 且有，不妨设，则， 所以， 整理可得， 等式两边同时除以，得， 因为为偶数，为奇数，等式不成立， 故数列中不存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可得出结论； （2）求出数列的通项公式，对分偶数和奇数两种情况讨论，结合分组求和法可求得的表达式； （3）求出的表达式，假设数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列，不妨设，由等差数列的定义得出，可得出，等式两边同时除以，得，分析等式不成立，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当为偶数时，设，则， 由（1）可知，则， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，设，则，， 此时 ， 当为奇数时，设，则， 此时 ， 综上所述，. 【小问3详解】 略 19. 已知数列前n项和为，满足（，A为常数） （1）若，求的值； （2）若，，求数列的通项公式； （3）若，求证：数列为等差数列的充要条件为． 【答案】（1）6 （2） （3） 当时，. 先证必要性：数列为等差数列，公差为， 则，所以必要性成立； 再证充分性： ①. 因为，当时，. 当时，. 当时，② ①②得：③ 当时，④ ③④得：， 所以. 所以数列从第2项开始是等差数列，且公差. 又，所以数列为等差数列，所以充分性成立. 综上可知：当时，数列为等差数列的充要条件为． 【解析】 【分析】（1）当时，令可得问题答案. （2）根据数列的前项和与的关系，探索的特点，求数列的通项公式. （3）从必要性和充分性两个方面证明. 【小问1详解】 当时，， 令，则. 【小问2详解】 当时，. 即 当时，，又，所以. 又， 所以， 即， 所以， 所以当时，. 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $