2.3.1 圆的标准方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

2．3　圆及其方程 2．3.1　圆的标准方程 [学习目标] 知识层面 1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．　2.掌握点与圆的位置关系．　3.能根据所给条件求圆的标准方程. 素养层面 通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养；借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养. 问题1.圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 问题2.已知圆心为A(a，b)，半径为r，M(x，y)为圆上任意一点，你能得到x，y的关系吗？ 提示：|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 问题3.平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示：分为在圆内、在圆外及在圆上三种位置关系，可以根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判定． 知识点一　圆的标准方程 1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中 定点是圆心，定长是圆的半径． 2．圆的标准方程 微提醒 圆的标准方程的特征 [微思考]　只要圆是相同的，那么圆的标准方程是相同的，对吗？ 提示：不对．相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． 知识点二　点与圆的位置关系 　设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r 学生用书↓第62页 [微思考]　若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？ 提示：若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. 1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　) A．(－1，5)， B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 答案：B 解析：由圆的标准方程可知，圆心为(1，－5)，半径长为.故选B. 2．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则原点与圆的位置关系是(　　) A．原点在圆内 B．原点在圆上 C．原点在圆外 D．以上都不对 答案：B 解析：因为(0－1)2＋(0＋2)2＝5，所以(0，0)点在圆上．故选B. 3．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为____________． 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，所以点M到两点的距离相等且为半径R，所以＝＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，所以M(1，－1)，R＝，⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 4．已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是__________． 答案：(x－8)2＋y2＝36(y≠0) 解析：设C(x，y)(y≠0)，则D(，)． 因为B(4，0)，且AC边上的中线BD长为3， 所以(－4)2＋()2＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)． 题型一　判断点与圆的位置关系 已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在圆上、圆内、还是圆外． [思路点拨]　 直径两端点坐标→圆心坐标和半径可得→圆的标准方程→将各点坐标代入方程判断 解：设圆心为C(a，b)，半径为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心为C(4，6)， 由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 方法一：分别计算点M，N，P到圆心C的距离： |CM|＝＝>， |CN|＝＝， |CP|＝＝<， 所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内． 方法二：由于(5－4)2＋(3－6)2＝10>5，故点M在圆外； 由于(3－4)2＋(4－6)2＝5，故点N在圆上； 由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，故点P在圆内． 方法技巧 1．判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可； (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 2．灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．　　 对点练1．(1)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　) A．a<－1或a>1　　　　　 B．－1<a<1 C．0<a<1 D．a＝±1 (2)点(0，0)在圆(x－1)2＋y2＝t2的外部，则t的范围是________________． 答案：(1)B　(2)－1<t<1 解析：(1)由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，即－1<a<1. (2)由条件知t2<(0－1)2＋02＝1，所以－1<t<1. 题型二　求圆的标准方程 (链教材P104例2)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程． [思路点拨]　方法一：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；方法二：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立方程组求解；方法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求圆的方程． 解：方法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)． 因为该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|， 所以 ＝ ， 解得a＝－2， 所以圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝ . 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意知 解得 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法三：线段AB的中点的坐标为(0，－4)，直线AB的斜率kAB＝ ＝ ， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2， 所以弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0. 又圆心是直线2x＋y＋4＝0与直线x－2y－3＝0的交点， 由 解得 所以圆心坐标为(－1，－2)， 所以圆的半径r＝ ＝ ， 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 学生用书↓第63页 方法技巧 确定圆的标准方程的方法 1．几何法 利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． 2．待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： (1)设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； (3)解——解方程组，求出a，b，r； (4)代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．　　 对点练2．求圆心在x轴上，且过点A(5，2)和B(3，－2)的圆的标准方程． 解：方法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)． 则解得 所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5. 方法二：因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点， 所以圆心一定在线段AB的中垂线上， 由于线段AB的中点坐标为(4，0)， kAB＝＝2， 所以AB中垂线的方程为y＝－(x－4)． 令y＝0，得x＝4，即圆心坐标C(4，0)， 所以r＝|CA|＝＝. 所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5. 题型三　与圆有关的轨迹问题 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． [思路点拨]　 设出点C的坐标和点D的坐标→根据点D为线段CB的中点列式→设法消去点D的坐标 解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)， 则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0)． 所以① 因为|AD|＝3，所以(x0＋2)2＋y＝9.② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. 因为点C不能在x轴上，所以y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点． 顶点C的轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． 方法技巧 求轨迹方程的常用方法 1．直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简．这种求轨迹方程的方法不需要特殊的技巧． 2．代入法也称相关点法，如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q又按某个规律运动，则可先用x，y表示a，b，再把a，b代入它满足的条件便得到动点P的轨迹方程． 在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法．　　 学生用书↓第64页 对点练3．(1)已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为的点的轨迹，求出曲线的方程； (2)已知点A(－1，1)，B(3，3)是圆C的一条直径的两个端点，又点M在圆C上运动，点N(4，－2)，求线段MN的中点P的轨迹方程． 解：(1)设点M(x，y)是曲线上任意一点， 则由题意知＝. 由两点间的距离公式知，＝. 两边平方并化简，得曲线方程x2＋y2＋2x－3＝0， 将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4. 所以所求曲线是圆心为C(－1，0)，半径为2的圆． (2)因为A，B是圆C直径的两个端点， 所以圆心C(1，2)，半径r＝ ＝， 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 设P(x，y)，M(x0，y0)， 因为M，N的中点是P，所以 因为M在圆C上，所以(2x－5)2＋(2y)2＝5， 即＋y2＝. 故线段MN的中点P的轨迹方程是＋y2＝. 易错点　对圆心位置考虑不全致错 已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． [正解一]　如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|OA|＝4. 在Rt△AOC中， |OC|＝＝＝3. 设点C的坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，所以a＝±3. 故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. [正解二]　由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25. 因为圆截y轴所得线段长为8，所以圆过点(0，4)， 将(0，4)代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3. 故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. [易错探因]　点C在x轴上，则点C可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，正解一中在求出|OC|＝3后，容易只考虑在x轴正半轴上的情况而漏解． [误区警示]　在解析几何中，涉及距离问题时，一定要加绝对值，否则容易漏解．另外，需注意圆(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2中，圆心为(－m，－n)，而不是(m，n)． 课时测评16　圆的标准方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 答案：B 解析：圆x2＋y2＝24的圆心为O，半径r＝2，＝＝<r，故点P在圆内．故选B. 2．圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 答案：C 解析：因为圆心为(1，－1)且圆过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 3．方程y＝ 表示的曲线是(　　) A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆 答案：D 解析：y＝ 可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆． 4．圆心M在直线x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的标准方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝ C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝ 答案：A 解析：由题意得，圆心在直线x＝－1上，又圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1，1)．又A(－3，0)在圆上，所以半径r＝|AM|＝ ＝ .则圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5. 5．(多选)下列各点中，不在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是(　　) A．(0，2) B．(3，3) C．(－2，2) D．(4，1) 答案：ACD 解析：由(0－1)2＋(2＋2)2<25，知(0，2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2>25，知(3，3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，知(－2，2)在圆上；由(4－1)2＋(1＋2)2<25，知(4，1)在圆内，故选ACD. 6．(开放题)(2024·云南昆明高二月考)已知半径为1的圆C关于直线2x－y－4＝0对称，写出一个满足题意的圆C的标准方程____________． 答案：(x－2)2＋y2＝1(答案不唯一) 解析：由题可知圆心C在直线2x－y－4＝0上，不妨取x＝2，y＝0，则当圆心C为(2，0)时，圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1. 7．直角三角形ABC的顶点A，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上．圆M是三角形ABC的外接圆，则圆M的标准方程为____________． 答案：2＋y2＝9 解析：由于点C在x轴上，设点C.又∠ABC为直角，所以kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得x＝4，即C，由于△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点，则M，所以圆M的半径为＝|1－(－2)|＝3，因此圆M的标准方程为2＋y2＝9. 8．(一题两空)已知A，B两点是圆x2＋(y－1)2＝4上的两点，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则a＝________；若点A，B关于点(1，2)对称，则直线AB的方程为________． 答案：3　x＋y－3＝0 解析：圆x2＋(y－1)2＝4的圆心C的坐标为(0，1)， 若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称， 则直线经过圆心(0，1)，所以a＝3. 若A，B关于点P(1，2)中心对称， 则CP⊥AB，P为AB的中点． 因为kCP＝＝1，所以kAB＝－1， 所以直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. 9．(10分)已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由． 解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以解得 所以过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25. 将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， 所以点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上， 所以M，N，P，Q四点不共圆． 10．(10分)某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽10 m，上面载有货物，水面到船顶的高度为4 m，问该船能否顺利通过该桥． 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则圆心在y轴上． 设圆心坐标为(0，a)，半径为r(r>0)， 则圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2. 将点(0，5)，(15，0)代入得 解得 所以圆的方程为x2＋(y＋20)2＝625. 因为船宽10 m，水面到船顶的高度为4 m， 所以要判断该船能否通过该桥，即判断点A(5，4)与圆的位置关系． 因为52＋(4＋20)2＝601<625，所以点A在圆内． 故该船能顺利通过该桥． 11．(5分)已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是(　　) A．－<k<－1 B．－<k<1 C．－<k<1 D．－2<k<2 答案：B 解析：圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，由得则两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点为(k－1，3k－1)，依题意得(k－1)2＋(3k－1)2<4，解得－<k<1.故选B. 12．(5分)(多选)设有一组圆Ck：2＋2＝4，下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点 C．经过点的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 答案：AB 解析：由题意可知：圆Ck：2＋2＝4的圆心C，半径r＝2.对于A，不论k如何变化，圆心C始终在直线y＝x上，故A正确；对于B，令2＋2＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝2－4×2×5＝－4<0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点，故B正确；对于C，令2＋2＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝2－4×1×2＝8>0，可知方程有两个不同的解，所以经过点的圆Ck有且只有两个，故C错误；对于D，因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误．故选AB. 13．(10分)根据下列条件，求圆的标准方程： (1)过点和点，半径为； (2)经过A，B两点，圆心M在直线2x－y＝1上． 解：(1)设圆心坐标为，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5. 因为，是圆上的点， 所以 解得或 因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，或(x－1)2＋(y－3)2＝5. (2)设圆心为M，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由题意可得方程组 解此方程组，得 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝34. 14．(5分)(新情境)大约2 000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等．这个定义比古希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年．已知O是坐标原点，＝4，若M，则线段PM长的最大值是________． 答案：5 解析：已知O是坐标原点，＝4，则点P在以原点为圆心，4为半径的圆上，＝＝1，点M在圆内，当O，P，M三点共线，且P，M在O点两侧时，线段PM的长最大，此时＝＋＝4＋1＝5. 15．(15分)在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动． (1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标． 解：(1)设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)， 所以|EF|＝＝2， 整理得x2＋y2＝1， 所以线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1. (2)由已知设A1(－1，0)，A2(1，0)， 设P(x0，y0)，x0≠±1，x＋y＝1， 直线PA1的方程为y＝(x＋1)， 令x＝3，得y＝，则M(3，)， 同理，可求N(3，)，MN的中点坐标为(3，)，|MN|＝＝2， 所以以MN为直径的圆C的方程为(x－3)2＋(y－)2＝. 令y＝0，得(x－3)2＝－()2＋＝＝8. 所以x＝3±2，圆C总过定点，定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0)． 学生用书↓第65页 学科网（北京）股份有限公司 $