精品解析：山东省 济南市 章丘区2025-2026学年上学期质量检测八年级数学试题

章丘区2025-2026学年第一学期质量检测 八年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列各数，，，，，，，， ，，（相邻两个之间的个数逐次加），，其中无理数的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点关于x轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，在数轴上表示和的两点之间表示整数的点有（　　） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 6个 6. 分析下列说法：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；②没有平方根；③的算术平方根是4；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤0.01的算术平方根是0.1；⑥是的平方根．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边上的高为（ ）． A. B. C. D. 8. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E则的长是（ ） A. B. C. D. 5 10. 已知，，，，…都是边长为的等边三角形，按如图所示摆放．点，…都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为______． 12. 若，则代数式______． 13. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 14. 如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小________ ． 15. 如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： （1）、、的值； （2）的立方根． 18. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 20. 十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？ （2）若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 21. 在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若点M在x轴上，求m的值和点M坐标； （2）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值； （3）若轴，且，求n的值． 22. 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 23. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 24. 阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ____________；____________； （2）比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； （3）计算： ； （4）若，求 的值． 25. 【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________； （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，求线段的长； （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段三者之间的等量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章丘区2025-2026学年第一学期质量检测 八年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列各数，，，，，，，， ，，（相邻两个之间的个数逐次加），，其中无理数的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的概念,求一个数的算术平方根、立方根，掌握无理数的概念及常见形式是关键．无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有π的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如（相邻两个3之间1的个数逐次加1），由此即可求解． 【详解】解：∵，，； ∴，0.32，，0，，，是有理数， ，， ， （相邻两个1之间2的个数逐次加1），是无理数，无理数有4个． 故选：B． 2. 下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、， 此三角形是直角三角形，不符合题意； B、， 此三角形不是直角三角形，符合题意； C、， 此三角形是直角三角形，不符合题意； D、， 此三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 4. 若点关于x轴对称的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据轴对称的性质求出点关于轴对称的点的坐标，再根据横、纵坐标的正负判断所在象限，明确关于轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变纵坐标变为原来的相反数． 【详解】解：∵已知点，关于x轴对称的点的坐标：横坐标保持不变，纵坐标的相反数是， ∴对称点的坐标为， ∵第一象限的点坐标特征是(正，正)； 第二象限的点坐标特征是(负，正)； 第三象限的点坐标特征是(负，负)； 第四象限的点坐标特征是(正，负)； ∴点的横坐标和纵坐标都是正数，符合第一象限的坐标特征； 故选：A． 【点睛】本题考查关于坐标轴对称的两点的坐标之间的关系，判断点所在象限，解题的关键是掌握关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 5. 如图，在数轴上表示和的两点之间表示整数的点有（　　） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】先估算和的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：因为，， 所以和的两点之间整数有-2，-1，0，1，2，3，4.有7个整数． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次根式的估算，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的估算． 6. 分析下列说法：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；②没有平方根；③的算术平方根是4；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤0.01的算术平方根是0.1；⑥是的平方根．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，利用平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系是解题的关键．根据平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系，可得答案． 【详解】解：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，正确； ②当时，有平方根0，故原说法错误； ③的算术平方根是2，故原说法错误； ④平方根与立方根相同的数是0，故原说法错误； ⑤0.01的算术平方根是0.1，正确； ⑥是的平方根，正确． 综上所述：正确的有①⑤⑥． 故选：B． 7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边上的高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可求得AB，AC，BC的长，作AD⊥BC于D，根据勾股定理就不难得到AD的长了． 【详解】根据题意得AB=AC=， ∴△ABC为一等腰三角形， 作AD⊥BC于D， ∴BD=， AD= 即BC边上的高为 故选C 【点睛】解答本题要充分利用正方形的性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用． 8. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），进而得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：以帅的位置为原点建立平面直角坐标系， 则棋子“炮”的点的坐标为（1，3）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 9. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E则的长是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：根据折叠，可知，， ，， ， ， ， ， 设， ，， ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 10. 已知，，，，…都是边长为的等边三角形，按如图所示摆放．点，…都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】这是一道结合等边三角形性质与平面直角坐标系的规律探索题．解题时先利用勾股定理算出等边三角形的高，再通过观察图形中点的坐标变化，归纳出点的坐标随序号变化的周期规律，最后结合规律计算出目标点的坐标，考查了等边三角形性质、坐标规律探索及平面直角坐标系的相关知识． 【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线， ∵，是边长为的等边三角形， ∴， ∴点的坐标为， 由题意可得点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为， 由图可知：三个坐标为一组，第二、三个在轴上， ∵ ∴点在轴上， ∴ 故选：A． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握各象限内点的坐标特征． 根据第二象限内点的坐标特征进行求解即可． 【详解】解：∵点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标是，纵坐标是4， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 12. 若，则代数式______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ，， ，， ∴ 故答案为：1. 13. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】分两种情况：第一种，6和8是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理求第三边的长；第二种，8是直角三角形的斜边长，6是直角边长，根据勾股定理求第三边的长． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边长，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边长，6为直角边长，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 14. 如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小________ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，当牙刷一端在底面圆上时，露在筒外的长度最小，根据实际情况构建数学模型是解题的关键． 【详解】解：如图，为底面直径，为高，当牙刷如图放置时露在筒外的长度最小， ，， ， ， 即牙刷露在筒外的长度最小， 故答案为：5． 15. 如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 分三种情形，当或或时，画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ． ． ∴点A、、三点共线． ∵，D是的中点， ∴， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴． 解得． ． 当时，， ∵， ． ． 当时， ∵， ∴当时，四边形是矩形． ∴． 但， ∴矛盾． ∴不可能为． 综上，或． 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共10小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算减法，进而计算加法即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 17. 已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： （1）、、的值； （2）的立方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可； （2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是，的平方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是，即， ，，； 【小问2详解】 解：，，， ，， 的立方根是． 18. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【解析】 【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图，点P即为所求； （3）或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图； （2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求； （3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 20. 十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？ （2）若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，则，，设迎宾门铃距离地面，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）为该生向前走后的位置，则，，由（1）可知，，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，，， 过点作于点，如图1， 则，， 设迎宾门铃距离地面，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：． 答：迎宾门铃到地面的距离等于； 【小问2详解】 解：为该生向前走后的位置，如图2， 则， ， 由（1）可知，， 在中，由勾股定理得， 答：此时迎宾门铃距离该生头顶． 21. 在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若点M在x轴上，求m的值和点M坐标； （2）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值； （3）若轴，且，求n的值． 【答案】（1）； （2）或 （3）的值为4或2 【解析】 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标等于0即可得； （2）先点的横、纵坐标的绝对值相等即可得； （3）先根据可得的值，再根据轴可得点的横坐标相等，由此即可得． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得：， ， ∴点M的坐标为． 【小问2详解】 解：点到轴，轴距离相等， ， 即或， 解得：或． 【小问3详解】 解：轴，且，点，点， ，， 解得或， 当时，， 当时，， 综上，的值为4或2． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律、点到坐标轴的距离，熟练掌握点坐标的特征是解题关键． 22. 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【解析】 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 23. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 24. 阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ____________；____________； （2）比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； （3）计算： ； （4）若，求 的值． 【答案】（1）， （2） （3）2024 （4）7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________； （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，求线段的长； （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）8 （3） 解：等量关系为：． 理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴中，由勾股定理得：， ∴． 【解析】 【分析】（1）由已知和作图得到，得到，根据三角形三边关系得到； （2）延长到M，使，连接， 根据，推出，根据，推出，得到，，根据，得到，得到； （3）延长到点G，使，连接，，根据线段垂直平分线性质得到，根据，推出，得到，，根据，得到，中，由勾股定理得：，即得． 【小问1详解】 由已知和作图得到，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 【小问2详解】 延长到M，使，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形全等的判断和性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，三角形三边关系，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $