1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第3课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量研究距离与夹角问题，以生活实例（降落伞拉力）导入，将物理问题转化为向量运算，结合复习二面角求法搭建知识支架，衔接立体几何与向量知识的应用脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，例9从生活问题抽象向量模型培养数学眼光，例10通过坐标法推理培养数学思维，小结归纳方法助于数学语言表达。实例丰富且多解法对比，学生提升空间观念与应用意识，教师便于开展高效教学。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第三课时 1 （1）能运用向量的知识解决物理中的相关问题； （2）能运用向量的知识解决立体几何中的综合性问题； （3）总结解决立体几何问题的常用方法，体会不同方法的特点。 学习目标 2 复习回顾 1、直线与直线所成的角： 2、直线与平面所成的角： 3、平面与平面的夹角： A O B l 二面角的求法：设二面角-l-的大小为 C 方法三：法向量法 新课导入 下面先看一道生活中的实际问题，思考如何转化为数学问题来进行解决. 5 例9 某种礼物降落伞的示意图如图示，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°. 已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0. 01 N). 又因为降落伞匀速下落，所以 ∴ 每根绳子拉力的大小为1.41 N. 例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD, PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F. 求证：PA平面EDB ; （2）求证：PB 平面EFD ; （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. A B C D E F G P 分析:本题涉及的问题包括:直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角. 这些问题都可以利用向量方法解决. 由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． 7 (1) 证明: 连接AC, 交BD于点G, 连接EG. 依题意得 如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设DC= 2. 解: 因为底面ABCD是正方形, 所以点G是它的中心， 故点G的坐标为(1,1,0), 且 A(2,0,0), P(0,0,2), E(0,1,1). 即PA//EG. 而EG 平面EDB，且PA 平面EDB, 因此PA//平面EDB. B C D A P E F x y z G 求证：PA平面EDB ; ⊄ 8 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (2) 求证: PB⊥平面EFD; B C D A P E F x y z 依题意得 B(2,2,0). G ∴PB⊥DE. 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E， ∴PB⊥平面EFD. (2) 证明: (3) 解1: 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F x y z G 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F x y z 已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角. 设F(x,y,z), 则 G ∴ ∠EFD=60°. (3) 解2: ∴平面CPB与平面PBD的夹角的大小为60°. 小结 解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法． 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 12 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D E 2. 如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M, N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN, CM所成角的余弦值. A C D B N M E 2. 如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M, N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN, CM所成角的余弦值. A C D B N M x y z A B C A1 B1 C1 D1 D F E K G H L x y z A B C A1 B1 C1 D1 D F E K G H L x y z A B C A1 B1 C1 D1 D F E K G H L 反思：例10（3）中确定F点的坐标存在很大困难，此类问题后面还需多讲多练。 $