1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统讲解点到直线、点到平面等空间距离的求法。通过问题链导入，从“空间距离有哪些”“如何用向量解决”切入，衔接已有知识，构建转化思想学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过类比点线距推导点面距，渗透转化思想，培养数学思维。总结“三部曲”方法，结合正方体分层练习，帮助学生形成结构化认知，提升空间观念与应用意识，教师使用可高效落实教学目标。

1.4.2用空间向量研究距离与夹角问题 空间向量与立体几何 1 一、 空间距离的求法 二、 空间角度的求法 三、 综合应用 一 二 三 教学目标 理解点到直线、点到平面的距离公式及其推导（重点） 了解利用空间向量求点到直线、点到平面、两平行直线、直线到平面、两平行平面的距离的思想（难点） 能利用距离公式解决相关的距离问题，归纳总结解决立体几何问题的“三部曲”（重点） 教学目标 问题1 空间中距离包括哪些具体的内容？ 新知讲解 接下来我们一起探究这些距离公式及推导 我们该如何用空间向量解决这些距离？ 4 Administrator (A) - 探究1 已知直线的单位方向向量为,A是直线上的定点,P是直线外一点,如何利用这些条件求点P到直线l的距离? A P Q 探究一 利用向量的方法求直线l外的一点P到直线l的距离。 5 A P Q 直线的单位方向向量为 6 新知讲解 问题2类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 请大家思考一下，它的思路是怎样的？ A P Q 在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离． 两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解. 7 探究二 利用向量的方法求平面外的一点P到平面的距离。 8 概念生成 用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 9 合作探究 (1)如何求直线到平面的距离？ (2)如何求平面到平面的距离？ (3)如何求两条异面直线的距离？ 点到平面的距离 直线到平面的距离： 直线到平面的距离可转化为点到平面的距离求解. α A l Q d P • 两个平行平面之间的距离： 两个平行平面之间的距离也可转化为点到平面的距离求解. α A Q d P • β 10 新知讲解 异面直线a，b间的距离 11 z A C B D y x A1 B1 C1 D1 E F 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 12 建系 设点 取向量 套公式 (1) 求点B到直线AC1的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 13 求法向量 套公式 14 新知讲解 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： 15 解题小结 1.点线距 A P Q 2.点到平面的距离 α A Q P d 16 解题小结 用向量法求平面α一个点P到平面α的距离的步骤： (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d． (1) 求出该平面α的一个法向量 ； α A Q P d (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； 17 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1C的距离等于_____；直线DC到平面AB1的距离等于_______ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于_______. x y z A1 D1 B1 D B C C1 A 1 1 1 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F M 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (2) 求直线FC1到直线AE的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (3) 求点A1到平面AB1E的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 反思：本节课用了两课时，第一课时讲点线距的两种求法，例1（1）； 第二课时讲点面距，例1(2)学生需多动手练，才能掌握公式。 求出与两条直线的方向向量都垂直的法向量n，在两条直线上分别取A和B，则在法向量n上的投影向量的长度即为异面直线a，b的距离 所以距离为 . 例1.如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线FC到平面AEC1的距离. $