1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第3课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1.4 空间向量及其运算 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 （第3课时） 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 综合运用“基底法”“坐标法”解决立体几何问题 掌握用向量方法解决立体几何问题的思想方法和一般步骤 体会向量方法在研究几何问题中的作用,提升数学运算和逻辑推理的核心素养. 新知导入 立体几何 空间向量 点、直线、平面 位置关系 度量问题 垂直 平行 距离 角度 前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题. 典例分析 例1 下图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°,已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 思考: 1.降落伞匀速下落，下落过程中，8根绳子拉力的合力大 小与礼物重力大小有什么关系？ 2.每根绳子的拉力和合力有什么关系？ 3.如何用向量方法解决这个问题？ 8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量． 8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小。 典例分析 例1 下图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°,已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 解： ∴ 每根绳子拉力的大小为1.41 N. 典例分析 例2 如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是 PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F x y z G 解： 典例分析 B C D A P E F x y z 例2 如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. (3) 解法1: 典例分析 B C D A P E F x y z 例2 如图示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. (3) 解法2: 归纳小结 1.通过本节的学习，向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么？你能用框图表示吗？ 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 2.解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法．你能说出它们各自的特点吗？ 综合法以逻辑推理作为工具解决问题； 向量法利用向量的概念及其运算解决问题； 坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用． 对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法． 课后练习 课本练习 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D 课后练习 课本练习 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D E 课后练习 课本练习 2. 如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M, N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN, CM所成角的余弦值. A C D B N M E 课后习题 课本练习 x y z A B C A1 B1 C1 D1 D F E K G H L 课后习题 课本练习 x y z A B C A1 B1 C1 D1 D F E K G H L 课后习题 课本练习 x y z A B C A1 B1 C1 D1 D F E K G H L 立体几何中的最值与范围问题 题型一 题型探究 【例1】如图,在直三棱柱中, , 已知分 别为的中点,分别为 上的动点(不包括端点)，若,求线段 长度的取值范围. [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系, 则, , 设 , 故, , 因为 , 所以,则 , 由可得 ,又 , 立体几何中的最值与范围问题 题型一 题型探究 故 , 故当时,取得最小值 , 又当时, , 但无法取到0,则 无法取到1. 综上,线段长度的取值范围为 . 【例1】如图,在直三棱柱中, , 已知分 别为的中点,分别为 上的动点(不包括端点)，若,求线段 长度的取值范围. 立体几何中的最值与范围问题 题型一 题型探究 解题感悟 解决立体几何中有关线段、角、距离、面积、体积的最值问题时,可从几何特征入手,充分利用图形的几何性质去解决.若从几何性质不便入手,则可利用空间向量找出问题中的代数关系,建立目标函数,利用代数方法求目标函数的最值. 立体几何中的探索性问题 题型二 题型探究 【例2】 如图,在四棱锥中,平面 , 四边形是菱形, 是棱 上的动点,且,是否存在实数,使得平面 与平面夹角 的余弦值是?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. [解析] 取棱的中点,连接,易证 两两垂直, 故以为原 点,,,的方向分别为轴,轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系. 设,则 , 故 , 所以 , 设平面的法向量为 , 则 立体几何中的探索性问题 题型二 题型探究 【例2】 如图,在四棱锥中,平面 , 四边形是菱形, 是棱 上的动点,且,是否存在实数,使得平面 与平面夹角 的余弦值是?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由. 令,得 . 易知平面的一个法向量为 , 设平面与平面的夹角为 , 则 , 整理得 , 解得或舍去 故存在实数,使得平面与平面 夹角的余弦值是 . 立体几何中的探索性问题 题型二 题型探究 解题感悟 解决立体几何中的探索性问题的步骤:一般根据探索性问题的设问,首先假设存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论,那么就肯定假设;如果得到的结论与条件矛盾,那么就否定假设. 立体几何中的翻折问题 题型三 题型探究 【例3】如图,已知在长方形中,,为 的中点,将沿 折起,使得平面平面 . (1)求证: 证明:由题意得, 则, 故 , 由平面平面,平面平面 平面 , 得平面, 又平面,所以 立体几何中的翻折问题 题型三 题型探究 【例3】如图,已知在长方形中,,为 的中点,将沿 折起,使得平面平面 . (2)若是线段的中点,求平面与平面 夹角的余弦值. [解析] 分别取的中点,连接 ,则 , 由(1)得平面, 由 ,得, 显然直线两两垂直,以 为原点,直线分别 为轴,轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 ,, , , 立体几何中的翻折问题 题型三 题型探究 【例3】如图,已知在长方形中,,为 的中点,将沿 折起,使得平面平面 . (2)若是线段的中点,求平面与平面 夹角的余弦值. 由(1)知平面,则平面的一个法向量为 , 设平面的法向量为 , 则 取,得 , 因此 , 所以平面与平面的夹角的余弦值为 . 解题感悟 立体几何中的翻折问题 题型三 题型探究 平面图形翻折成立体图形有以下规律： 确定翻折前后变与不变的关系 位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 确定翻折后关键点的位置 关键点是指翻折过程中运动变化的点.要清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，从而进行有关的证明与计算 课堂小结 向量方法解决立体几何问题的基本步骤 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法． 感谢聆听! $$