1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 ·选择性必修第一册· 第1课时 用空间向量研究距离问题 学习目标 1 向量语言表述空间距离，理解运用向量运算求解空间距离的原理， 培养数学抽象、逻辑推理素养. 能应用空间向量法解决距离问题，培养数学运算素养. 理解空间向量解决立体几何中的问题的“三步曲”. 2 3 01 情境导入 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 引入新知 这一节课老师为同学们准备了一个“惊喜礼物”，礼物放在讲台上，获得礼物的规则如下： 以墙角为原点，建立如图所示空间直角坐标，只要能求出礼物所在点到黑板上沿直线、或者到窗户所在面的距离，就能获得此礼物. 要想成功获得此礼物， 需要用到本节课的知识 02 新课探究 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 新课探究 立体几何中有哪些距离问题？ 思考 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两平行平面的距离 新课探究 我们知道距离问题：两点间的距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类距离问题，重新归纳以上距离问题. 思考 点到直线的距离 两平行线间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两平行平面间的距离 新课探究 给定一条直线l和直线l外一点P，如何利用向量方法求点P到直线l的距离？ A P Q l 探究1 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.设（称为参考向量） 思考1：与有何关系？ 是在直线上的投影向量， 且 思考2：. . 思考3：若点在直线上的位置发生变化，的向量表达式是否改变？ 不会发生改变 新课探究 A P Q l 点到直线的距离公式的向量形式: 给定一条直线l和直线l外一点P， 点P到直线l的距离为： 总结 新课探究 思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离. 新课探究 (1)建系：建立空间直角坐标系； (2)求单位向量：求直线的单位方向向量； (3)求参考向量：直线上任取一点，求参考向量； (4)求距离：代入点到直线距离公式： 求点到直线的距离具体求法步骤: 方法 A P Q 和数量积的定义 牛刀小试 解析 求单位向量 求参考向量 代入点到直线距离公式： 和数量积的定义 解析 牛刀小试 和数量积的定义 牛刀小试 解析 新课探究 类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？ Q P l n α A 探究3 已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点， 易知，是直线的方向向量，所求距离即为 点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 因此 新课探究 点到平面的距离公式的向量形式: 总结 新课探究 用空间向量求点到平面的距离的步骤: 图1.4-17 第一步 第二步 第三步 第四步 新课探究 图1.4-17 转化 转化 探究4 新课探究 图1.4-17 图1.4-16 点到直线的距离公式和点到平面的距离公式区别在哪里? 为什么会有这样的区别? 思考 新课探究 空间距离的向量求解小结 点线距、线线距 点面距、线面距、面面距 图1.4-17 图1.4-16 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 和数量积的定义 牛刀小试 解析 03 应用新知 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 应用新知 例1 分析 根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 应用新知 例1 解析 第一步：建系 第二步：求点和方向向量 应用新知 例1 解析 求方向向量单位向量和参考向量 代入点到直线距离公式 应用新知 例1 解析 证平行，线面距离转化为点面距离 应用新知 例1 解析 图1.4-18 求平面法向量 应用新知 例1 图1.4-18 解析 ， 求参考向量 代入公式求距离 方法规律 空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 应用新知 结合例1,回顾用空间向量解决距离问题的过程,你能总结用向量方法解决立体几何问题的基本步骤吗? 方法 方法规律 应用新知 方法规律 应用新知 04 重要题型 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 重要题型专练 题型一 求空间两点间的距离问题 例题 重要题型专练 题型一 求空间两点间的距离问题 解析 重要题型专练 题型一 求空间两点间的距离问题 解析 方法总结 应用新知 重要题型专练 解析 题型二 求空间点到直线的距离问题（含直线到直线距离） 重要题型专练 解析 题型二 求空间点到直线的距离问题（含直线到直线距离） 重要题型专练 解析 题型二 求空间点到直线的距离问题（含直线到直线距离） 方法规律 重要题型专练 重要题型专练 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 例题 重要题型专练 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 解析 重要题型专练 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 解析 x y z 重要题型专练 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 解析 x y z 应用新知 解析 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 应用新知 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 解析 应用新知 解析 题型三 空间向量法求点到平面的距离（含直线到平面、平面间的距离） 方法总结 应用新知 05 真题感知 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 和数量积的定义 真题感知 解析 06 课堂笔记 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 课堂笔记 A P Q l 1、点到直线的距离公式的向量形式: 给定一条直线l和直线l外一点，过点作直线的垂线，垂足为，则点P到直线l的距离为： 课堂笔记 两条平行直线之间的距离转化为_____________的距离. 2、两平行直线的距离: 点到直线 课堂笔记 3、点到平面的距离公式的向量形式: 课堂笔记 转化 转化 4、直线到平面的距离与两平行平面间的距离: 直线到平面的距离与两平行平面间的距离均可转化为_____________的距离. 点到平面 07 小结及课后作业 1.4.2用空间向量研究距离、 角度问题 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第35页练习第1、3题； 教科书第40页习题第6、7题； 教科书第44页习题第13题. 课后作业答案 教科书第35页练习第1题 解析 解析 课后作业答案 教科书第35页练习第3题 课后作业答案 教科书第40页习题1.4第6题 解析 解析 课后作业答案 教科书第40页习题1.4第7题 课后作业答案 教科书第40页习题1.4第7题 解析 解析 课后作业答案 教科书第44页习题1.4第13题 课后作业答案 教科书第44页习题1.4第13题 解析 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 其中，为直线的单位方向向量，. 直线的单位方向向量为，直线上的定点，直线上取一点， 进而根据点到直线的距离公式有：即 为两条平行线l与m间的距离. 练1：空间内有三点，，，则点到直线的距离为 ． 由题意，,则与同方向的单位向量为， 又, 则点到直线的距离为. 在长方体中，， 依题意，，， 则与同方向的单位向量为 所以点B到直线的距离. 练2：如图所示，在空间直角坐标系中有长方体3，则点到直线的距离为 .    易知，直线F到直线的距离等价于点到的距离. 如图所示：建立空间直角坐标系，则，，， 则，， 所以与同方向的单位向量为 所以点到的距离 ，即为所所求. 练3：正方体的棱长为4，E、F是、的中点，则直线F到直线的距离是 ．   如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 点到平面的距离为： 求平面的法向量; 选择“参考向量”; 确定“参考向量”向法向量的的投影向量; 求投影向量的模长,得到 如何求平行于平面的直线到平面的距离? 两个平行平面之间的距离呢? 在点到直线的距离公式中，投影向量垂直于垂线段; 在点到平面的距离公式中，投影向量与垂线段重合. 这是由给定图形的几何特征所决定的. ． 练4：若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． ， 点到平面的距离 故选：A. 练5：若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而， 所以平行平面、间的距离. 练6：如图，正方体的棱长为2，点为的中点． 求到平面的距离． 以为原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令， 所以平面所的法向量为， 所以， ∵，∴， ，， ∴平面，                  由， 所以到平面的距离为. 所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 练6：如图，正方体的棱长为2，点为的中点． 求到平面的距离． 练7：设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 同理可得，平面的法向量, 因为，所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 所以点到平面的距离 ． 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离． 以为原点，，，所在直线分别为轴、 轴、轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离． (1)取，，则，． 所以，点到直线的距离为． 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离． (2) ，，， 因为，所以，所以平面． 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离． 在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离． 设平面的法向量为，则， 所以，即，取，则，． 所以，是平面的一个法向量． 如图1.4-18，在棱长为1的正方体中，为线段 的中点，为线段的中点．（1）求点到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 所以点到平面的距离为 ． 即直线到平面的距离． 又因为 点到直线的距离的求法 (1) 求单位向量：在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) 求参考向量：计算直线上点与已知点对应的向量; (3) 求投影向量：计算在直线上上的投影向量; (4) 求距离：由公式求出距离. 求点到平面的距离步骤 (1) 建系：结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系； (2) 求参考向量：在坐标系中求出到平面内任一点对应的向量； (3) 求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解 方程组，求出法向量； (4) 求距离：代入求点到平面的距离公式计算出答案. 已知长方体中，，点是的中点， 点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）设点是线段上的动点，求线段的最小值． （1）根据图中建立的空间直角坐标系，易知点的坐标分别为 ． （2）由空间两点间的距离公式，可得： ， ． （3）在平面上，依题意可设点的坐标为，其中．则 ． 因为，所以当时，线段取得最小值， 为，即．故的最小值为． 计算两点间的距离的两种方法 (1) 向量求模法(基底法) 利用，通过向量运算求；或求两点间的距离，一般用求解． (2) 距离公式法(坐标法) 若，则，此 法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． （1），，． 设，， 则，， ∴点到直线的距离为． （2），，，． ∴点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，．设， ，，∴直线与的距离为． 点到直线的距离的求法 (1) 在直线上取一点,同时确定直线的单位方向向量; (2) 计算直线上点与已知点对应的向量; (3) 计算在直线上上的投影向量; (4) 由公式求出距离. 1、如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结．因为，， 所以为等腰直角三角形，且，． 由知，．由， ，所以，平面；． 如图，以O为原点，建立直角坐标系， 设，，，， ，， ，． 设平面的一个法向量， 则，令，则， 所以，点C到平面的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点．求直线到平面的距离． 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点．求直线到平面的距离． 设平面的法向量为， 又，，， 取，则，，， ，平面，平面， 到面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单法向量，， ∴直线到平面的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点．求直线到平面的距离． 向量法求点到平面的距离的常用方法 向量法：设平面的一个法向量为，是内任意点， 则点到的距离为. 1．（24-25高二上·广东深圳·期末） 已知，，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 2．（24-25高二上·广东潮州·期末） 正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B．1 C． D． 建立空间直角坐标系，如右图， 则，，， 所以，， 所以点到直线的距离. 建设平面的一个法向量为， 则，令，可得，；所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期中） 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 如图建立空间直角坐标系，则，，所以 , 设平面的法向量为，则 ，令，则， 4．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D. 4．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 5．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习） 已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 因为，则， 所以，因为平面，平面， 平面，平面， 所以 平面， 平面， 又，平面， 所以平面 平面， 5．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习） 已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 5．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习） 已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 其中，为直线的单位方向向量，. __________________________________ 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面的一点. 点到平面的距离为： 在棱长为1的正方体中，点A到平面的距离等于_______； 直线DC到平面的距离等于_____；平面到平面的距离等于______． 在棱长为的正方体中，面， 所以即为点A到平面的距离，故点A到平面的距离为， 因为，面，面，所以面， 所以即为直线DC到平面的距离，故直线DC到 平面的距离为，又平面平面， 所以平面到平面的距离为 如图，在棱长为1的正方体中，求平面与平面的距离． 如图所示建立空间直角坐标系，， ,设平面的法向量为 ， 则，不妨令，则， 所以， 所以平面与平面间的距离 如图，在棱长为1的正方体中，O为平面的中心， E为BC的中点，求点O到直线的距离． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， ，所以. 所以点到直线的距离为 如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点， 连接DE．（1）计算DE的长；（2）求点O到平面ABC的距离． （1）因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体， ， 而且， 所以， 即，所以DE的长为． 如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点， 连接DE．（1）计算DE的长；（2）求点O到平面ABC的距离． （2）因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影 为的中心，的外接圆半径为， 所以点O到平面ABC的距离为： ． 如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点 到平面的距离． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为，. 如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点 到平面的距离． 由令， 则，即. 设点到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. $$