1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1.4 空间向量及其运算 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 （第1课时） 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 理解点到直线、点到平面的距离公式及其推导 能用向量语言表述点到直线、点到平面的距离及相互平行的直线、相互平行的平面间的距离,提升逻辑推理的核心素养. 能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离问题及相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 旧知回顾 1. 什么是向量的向量的数量积？ 2. 如何求向量在向量方向上的投影向量？ 新知导入 空间中有哪些距离问题？ 空间中的距离 两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离 点到平面的距离、线到平面的距离、两平行平面间的距离 我们该如何用空间向量解决这些距离？ 接下来我们一起探究这些距离公式及推导! 空间向量的模 若直线l的法向量为 ，则点P到直线l的距离为 设 ，则向量 在直线l上的投影向量 如图，向量 在直线l上的投影向量为 ，则△APQ是直角三角形，因为A，P都是定点，所以 与 的夹角∠PAQ都是确定的. 于是可求 再利用勾股定理，可求出点P到直线l的距离PQ. 新知探究 问题1 已知直线l 的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离? • • 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 新知探究 问题2 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 对于两条平行直线l、m, 可在其中一条直线l上任取一点P, 则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 若直线l、m的法向量为 ，则平行直线l、m的距离为 两条平行直线之间的距离为 问题3 如图，已知平面α外一点P，如何用空间向量求点P到平面α的距离d？ α P • 已知平面α的一个法向量为 A • 点 A是平面α内的一个定点,点P是平面α外一点 Q 过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q， 连结QA、PA 平面外一点到平面的距离等于连接此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值. 新知探究 新知探究 问题4 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ l 直线和平面间的距离： 如果一条直线l与一个平面α平行, 可在直线l上任取一点P, 将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 两个平行平面之间的距离 如果两个平面α, β互相平行, 在其中一个平面α内任取一点P, 可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. d d A A 新知生成 直线和平面间的距离 两个平行平面之间的距离 点到平面的距离 两个平行直线之间的距离 点到直线的距离 • • l d A 空间中的距离 两点间的距离 典例分析 例1 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 解： 典例分析 例1 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 解： 归纳小结 用向量法求平面α一个点P 到平面α的距离的步骤： (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d． (1) 求出该平面α的一个法向量 ； α A Q P d (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； 归纳小结 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 课后练习 课本练习 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 点A到平面B1C的距离等于_____； 直线DC到平面AB1的距离等于_______ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于_______. 1 1 1 B A A1 B1 C1 D1 C D x y z 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F M 几何法 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (2) 求直线FC1到直线AE的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.(3) 求点A1到平面AB1E的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 课后练习 课本练习 3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D 点到直线的距离 题型一 题型探究 【例1】已知在长方体<m></m>中，<m></m>，<m></m>，<m></m>，求点<</m>到直 线<m></m>的距离. [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系. <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .取 <m></m> ， <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， ∴点 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离为 <m></m> . 点到直线的距离 题型一 题型探究 提分笔记 向量法求点到直线 的距离的步骤 （1）依据图形先求出直线的单位方向向量 ; （2）在直线上任取一点可选择特殊、便于计算的点,令 ; （3）利用点到直线的距离 求解. 直线到直线的距离 题型二 题型探究 【例2】 如图,在长方体中, 为棱的中点, 为棱的中点,求直线与直线 间的距离. [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 , 所以, , 所以直线的一个单位方向向量 , 则直线 与直线CE间的距离 . 直线到直线的距离 题型二 题型探究 提分笔记 利用向量法求两条平行直线间的距离可转换为求直线外一点到直 线的距离.方法如下: （1）先求出其中一条直线l的单位方向向量 ; （2）在两条平行线上分别取点,得到 ; （3）利用点到直线的距离 求解. 点到平面的距离 题型三 题型探究 【例3】在棱长为2的正方体 中,求点到平面 的距离. [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,则 , 所以 , 设平面的法向量为 , 则 令,则 , 所以点到平面的距离 . 点到平面的距离 题型三 题型探究 提分笔记 求点 到平面的距离的步骤 （1）建系,结合图形特点建立空间直角坐标系; （2）求向量,在空间直角坐标系中求出点与平面内任一定点 对应的向量 和平面的法向量; （3）代入点到平面的距离公式求解. 直线到平面、平面到平面的距离 题型四 题型探究 【例4】 如图，在直三棱柱 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> 是棱 <m></m> 的中点，且 <m></m> . (1)求证： <m></m> 平面 <m></m> ； 证明：（1）以 <m></m> 为原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在的直线分别为 <m></m> 轴， <m></m> 轴， <m></m> 轴建立空间直角坐标系，如图， 则 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ， 所以 <m></m> , <m></m> , <m></m> ， 设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， 直线到平面、平面到平面的距离 题型四 题型探究 【例4】 如图，在直三棱柱 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> 是棱 <m></m> 的中点，且 <m></m> . 则 <m></m> 即 <m></m> 令 <m></m> ，则 <m><m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以 <m><m></m> ， 因为 <m></m> 平面 <m></m> ，所以 <m></m> 平面 <m></m> . (1)求证： <m></m> 平面 <m></m> ； 直线到平面、平面到平面的距离 题型四 题型探究 【例4】 如图，在直三棱柱 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> 是棱 <m></m> 的中点，且 <m></m> . (2)求直线 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离. [解析] （2）由（1）知 <m></m> 平面 <m></m> ， 所以直线<m></m>上任一点到平面<m></m>的距离都相等， 易知 <m></m> ， 设直线 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离为 <m></m> ，则 <m></m> ， 所以直线 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离为 <m></m> . 直线到平面、平面到平面的距离 题型四 题型探究 【例5】已知在棱长为4的正方体 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 分别为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的中点，求平面 <m></m> 与平面 <m></m> 间的距离. [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系 <m></m> . 则 <m></m><m></m><m></m>.,<m></m>,<m></m><m></m><m></m>. m</m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>， <m> </m>，<m></m> ， <m></m>，<m></m>，又<m></m>， <m></m>， ∴平面 <m></m> 平面 <m></m>， ∴点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离等于平面 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离， 设 <m></m> 是平面 <m></m> 的法向量， 则 <m></m> 解得 <m></m> 令 <m></m>则 <m></m><m></m>,得<m></m>.又 <m></m> ， ∴平面 <m></m> 与平面 <m></m> 间的距离为 <m></m> . 直线到平面、平面到平面的距离 题型四 题型探究 提分笔记 向量法求直线到平面的距离、两个平行平面间的距离通常可以转化为求点到平面的距离.方法如下： （1）如果直线 <m></m> 与平面 <m></m> 平行，那么可在直线 <m></m> 上任取一点 <m></m> ，将直线 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离转化为点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离. （2）如果两个平面 <m></m> , <m></m> 平行，那么可在其中一个平面 <m></m> 内任取一点 <m></m> ，将两个平行平面之间的距离转化为点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离. 课堂达标 1.已知直线过点 ,它的一个单位方向向量为,则点到直 线 的距离为___. [解析] 因为, 所以, 又直线 的一个单位方向向量为, 所以点到直线 的距离 课堂达标 2.已知向量为平面 的一个法向量,点在内,则点到平面 的距离为 ____ . [解析] 因为, 所以, 所以点到平面 的距离为 . 课堂达标 3.已知平面,平面的一个法向量为,平面 内一点C的坐标为, 直线上的点的坐标为,则直线到平面 的距离为 _ __ . [解析] 因为平面, 所以直线到平面的距离可转化为点 到平面的距离, 易知,所以点到平面的距离为 , 即直线到平面的距离为 . 课堂达标 4. 在长方体 <m></m>中，m</m>，<m></m>，<m></m>，在平面<m</m>内，过 <m></m> 作直线 <m></m> ，求直线<m></m>到直线<m></m> 的距离. [解析] 由已知得 <m></m> ， <m></m> , <m></m> , ∴直线 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离即<m></m>到直线<m></m>的距离，连接<m></m>. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， </m> 到直线 <m></m> 的距离 <m></m> , 即直线 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离为 <m></m> . 课堂小结 1. 点到直线的距离 2. 点到平面的距离 • • l d A 感谢聆听! $$