1.2 空间向量基本定理 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过教室墙角不共面向量的情境导入，衔接共线、共面向量及平面向量基本定理，从平面到空间构建知识脉络，为学生搭建递进式学习支架。 其亮点在于以从特殊（两两垂直向量）到一般（任意不共面向量）的探究过程发展数学思维，结合四面体、平行六面体等实例培养数学语言表达，情境导入助力数学眼光形成。练习变式分层设计，课堂小结提炼基向量表示方法，既帮助学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

1.2 空间向量基本定理 学习目标 1.掌握空间向量基本定理.2.了解空间向量正交分解的含义.3.会用空间向量基本定理解决有关问题. 共线向量定理: 共面向量定理: 复习回顾: 平面向量基本定理： 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量能否表示空间中任意的向量呢？ 情境导学 情境导入 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示(平面向量基本定理). 类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量 来表示呢? 如图示, 设 是空间中三个两两垂直的向量, 且表示它们的有向线段有公共起点O. 对于任意一个空间向量 , 设 为 在 所确定的平面上的投影向量. 因此，如果 是空间三个两两垂直的向量, 那么对任意一个空间向量 , 存在唯一的有序实数组(x, y, z), 使得 O Q P 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量 代替两两垂直的向量 你能得出类似的结论吗? 空间向量基本定理： 定理 如果三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使得 (1) 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底; (3) 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念. 其中 叫做空间的一个基底， 叫做基向量. 说明: 对于基底 ，除了应知道 不共面，还应明确: (2) 由于 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 ; 单位正交基底： 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 使 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来. 进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便. O B A 1. 已知向量 是空间的一个基底，从 中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底? － － － － － － － － － － － － 练习 2. 已知O, A, B, C为空间的四个点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点O, A, B, C是否共面? － － － － － － － － － － － － 练习 例1 如图示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示 C O B A M N P 解： B A N C O M Q P 变式： B A N C O M Q P 3.如图，已知平行六面体OABC-O′A′B′C′. 点G是侧面BB′C′C的中心，且 (1) 是否构成空间的一个基底? (2) 如果 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量: A C O B C′ O′ B′ A′ G － － － － － － － － － － － － 练习（课本第12页） 课后作业： 教材第15页习题1.2 第 1、2、3、4 例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AB=4, AD=4, AA1=5, ∠DAB=60°, ∠BAA1= 60°, ∠DAA1=60°, M, N分别为D1C1, C1B1的中点. 求证：MN⊥AC1. A C D B C1 D1 B1 A1 N M 例3 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E － － － － － － － － － － － － 练习（课本第14页） 2. 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB = 2，AD = 2，AA' = 3，∠BAD =∠BAA' = ∠DAA' = 60°. 求BC'与CA'所成角的余弦值. A C D B C′ D′ B′ A′ 3. 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连接AO. 求证：AO⊥CD'. B D C A′ B′ C′ D′ A O － － － － － － － － － － － － 练习 课本第15页第6题 如图，平行六面体ABCD-BCD = CD=, 求证： l (l) - 1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求. 2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求. 22 课后作业： 教材第15页习题1.2 第 5、7、8 反思：本节课第一课时例1讲完，变式时间有点紧。第二课时时间宽裕，可以给学生展示的机会，从课后作业来看，准确率不高，所以要尽可能留时间让学生班演习题，暴露问题。 $