1.2 空间向量基本定理课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 复习导入 空间向量及其线性运算 空间向量 常见的空间向量 线性运算 共面向量 共线向量 定义、长度（模）、表示法 零向量、单位向量、相等向量、相反向量 加法、减法、数乘 . 向量与共面的充要条件： 存在唯一的有序实数对，使. 作者编号：32003 运算律 空间向量的数量积运算 夹角 数量积 (交换律)； (分配律). 垂直 模长 复习导入 作者编号：32003 【空间向量基本定理】 如果三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组( x，y，z)，使得 基底 单位正交基底 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 三个基向量 两两垂直且长度 都为1 基向量 表示 空间的基底有无数个 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 (1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底不唯一． (3)一个基底是一个集合，一个向量组， 一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. 要点辨析 (4)通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底. 对空间向量的基底 的理解： (2)由于 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以三个向量不共面，就隐含着它们都是非零向量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 方法： ①判断是否存在零向量 ②判断是否可以用另外的向量线性表示另一个向量 三个空间向量是否能构成一个基底 是否共面 如果向量中存在零向量，则不能作为基底 可以，则不能作为基底 假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组， 若有解，则共面，不能作为基底； 若无解，则不共面，能作为基底． 方法总结 新 课 讲 授 B 当 堂 小 测 归纳总结 判断一组向量能否作为空间的基底： 关键是要判断它们是否共面。 如果这组向量中存在零向量，则不能作为基底； 如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，也不能构成基底. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( ) A、 ， ， B、 C、 ， ， D、 ， ， B 解析： A、 ， ， 均与、 共面； B、 ， 均不与共面； C、 ， ， 均与共面； D、 + ，所以共面 随堂练习 作者编号：32100 作者编号：32100 O 新知归纳 由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量 , , ，使 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 作者编号：32100 作者编号：32100 用基底表示向量： (2)结合图形的几何性质，利用向量的加法、减法的 三角形法则和平行四边形法则； (1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量， 要逐步拆分，都用基向量表示； (3)只要基底选定，空间任意一个向量用基底表达的 形式是唯一的． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2. 例1 新 知 讲 解 （2） 例1 新 知 讲 解 变式1 如图，在三棱柱中，已知，，，M、N分别是， 的中点，试用表示向量，. 解： ； A B C A1 B1 C1 M N 当 堂 小 测 14 空间向量基本定理的应用 新 知 讲 解 15 变式2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5， ∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M、N 分别为 D1C1、C1B1 的中点． 求证 ：MN⊥AC1． 证：设=，，=，=， ∵＝- ，＝++， ∴·=(- )·(++)=2+·-2-·＝0， ∴MN⊥AC1. 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 当堂检测 变式3 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°. 求证：AB⊥AC1. 作者编号：32101 C A B D E F G 立体几何直线平行问题： 1.用基底表示所给的向量；2.用＝λ ⇔. 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 C A B D E F G 立体几何夹角问题： 1.用基底表示所给的向量；2.用求夹角. 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 空间向量基本定理的应用总结 新 知 讲 解 空间向量基本定理 基底 空间向量基本定理 单位正交基底 正交分解 不共面，则对，唯一有序实数组，使得 空间任意三个不共面的向量 反设共面，， 若有解，则共面，不能作为基底； 若无解，则不共面，能作为基底． 两两垂直，且长度都为1的基底 课 堂 总 结 C A B M N P O 训练1 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示 解： 学习目标 问题导学 牛刀小试 课题总结 新 知 讲 解 新 知 讲 解 1. 以下四个命题中正确的是(　　) A．基底{a，b，c}中可以有零向量 B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 C．△ABC为直角三角形的充要条件是eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝0 D．空间向量的基底只能有一组 解析：因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确； △ABC为直角三角形并不一定是eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝0， 可能是eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(BA,\s\up6(→))＝0，也可能是eq \o(CA,\s\up6(→))·eq \o(CB,\s\up6(→))＝0，故C不正确； 空间基底可以有无数多组，故D不正确． 解：（1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. 1.在平行六面体中，设，，， 分别是的中点. (1)用向量表示；(2)若，求实数x，y，z的值. 1.在平行六面体中，设，，， 分别是的中点. (1)用向量表示；(2)若，求实数x，y，z的值. 而，且不共面， 所以. ＝eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c) eq \o(AB1,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BB1,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b． 所以eq \o(EF,\s\up6(→))·eq \o(AB1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0． 则eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \o(EB1,\s\up6(→))＋eq \o(B1F,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BB1,\s\up6(→))＋eq \o(B1D1,\s\up6(→))) 所以eq \o(EF,\s\up6(→))⊥eq \o(AB1,\s\up6(→))，即EF⊥AB1． 例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1． 证明：设eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AA1,\s\up6(→))＝b，eq \o(AD,\s\up6(→))＝c， 证：设=a，=b，=c， 则=b+c. 所以=a·(b+c)=a·b+a·c. 因为AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°， 所以a·b=0，a·c=0， 得=0，故AB⊥AC1. （1）证明：设， 所以， ． 所以．所以． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． (1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0． (2)若证明线线平行，只需证明两向量共线． (3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)． 训练2：如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°． (1)求AC1的长； (2)求BD1与AC所成角的余弦值． 解：(1)设eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2)． |eq \o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(eq \f(1,2) + eq \f(1,2) + eq \f(1,2))＝6， 所以|eq \o(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC1的长为eq \r(6)． (2)eq \o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以|eq \o(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)， eq \o(BD1,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1． 所以cos〈eq \o(BD1,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(6),6)． 所以AC与BD1所成角的余弦值为eq \f(\r(6),6)． 训练2：如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°． (1)求AC1的长； (2)求BD1与AC所成角的余弦值． $