精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试题

奇台县2025学年秋季学期九年级数学第一次学情调研试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分） 一、选择题（本大题共9题，每小题4分，共36分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故选：3． 3. 方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 1，， B. 1，5，2 C. ，5， D. 0，， 【答案】C 【解析】 【详解】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，5，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确记忆相关知识点是解题关键．注意：找各项的系数时，带着前面的符号． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 5. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 6. 抛物线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象，解题的关键是理解二次函数各项系数代表的意义和性质． 先根据二次项系数判断开口方向，再根据顶点坐标进行判断即可求解． 【详解】解：∵二次项系数， ∴开口向上， 又∵抛物线的顶点坐标公式为， ∴的顶点坐标为， ∴C项的图象符合题意，故正确， 故选：C． 7. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则6个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 则根据题意，可列方程为， 故选：D． 8. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 9. 下列选项中，能描述函数与图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当a＞0时，由抛物线y=ax2开口方向及直线y=ax+b经过的象限可排除A、C选项；当a＜0时，由抛物线y=ax2开口方向及直线y=ax+b经过的象限可排除B选项．此题得解． 【详解】解：∵ab＜0， 当a＞0时，b＜0，抛物线y=ax2开口向上，直线y=ax+b经过一、三、四象限，故A不符合题意，D符合题意； 当a＜0时，b＞0，抛物线y=ax2开口向下，直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B、C不符合题意； 即D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系，分a＞0及a＜0两种情况寻找两函数图像是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 二次函数的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握二次函数图象平移的规律：上加下减． 根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，对原函数进行平移操作，从而得到平移后的函数解析式． 【详解】解：已知原二次函数为，将其图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为． 故答案为：． 11. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解得． 12. 若是方程的一个解，则代数式的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，将代入，得到，再将作为整体代入即可． 【详解】解：是方程的一个解， ， ， ， 故答案为：12． 13. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为__________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程，同时要注意方程的解是否满足实际问题的情境．设这次聚会的同学共人，则每人需和除自己外的个人握手，而两个人之间仅握手一次，因而共握手次，然后列方程求解即可． 【详解】解：设这次聚会的同学共有人， 由题意得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，， ， ，即这次参加聚会的人数为． 故答案为：． 14. 已知、是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．根据题意得出代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 15. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法，准确解方程． （1）利用提公因式法求解即可； （2）先移项再利用提公因式法求解即可； （3）利用十字相乘法求解即可； （4）先移项再利用开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得； 【小问3详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得． 17. 二次函数的图像与直线交于点． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像； （3）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； （4）若该抛物线上两点的横坐标满足，则 　．（比较大小）． 【答案】（1）， （2） 解：如图所示 ； （3）0， （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的相关知识，包括函数图像上点的坐标特征、二次函数的解析式、图像、对称轴、顶点坐标以及函数的单调性，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质并能灵活运用． （1）利用点在直线上的性质求出的值，再将点代入二次函数求出的值； （2）根据求出的值确定二次函数解析式，然后通过列表、描点、连线画出图像； （3）根据二次函数的性质直接得出对称轴和顶点坐标； （4）根据二次函数的单调性比较和的大小． 【小问1详解】 解：因为点在直线上， 将代入直线解析式可得：， 又因为点在二次函数上， 将代入可得：，即，解得． 答：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：对称轴公式为，代入可得对称轴为， 当时，，所以顶点坐标是， 故答案为：0，； 【小问4详解】 解：二次函数的图像开口向下，对称轴是轴，在对称轴右侧（时），随的增大而减小， 因为，所以． 故答案为：． 18. 如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 【答案】（1） 解：该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当时，方程左边，右边， ∴左边=右边， ∴是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）最小值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，配方法解一元二次方程的应用， （1）将代入方程看左右两边是否相等即可得到答案； （2）将代入得到字母关系，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 19. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了个人 （2）经过三轮传染后共有个人会患流感 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，熟练掌握传播问题解法是解决问题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则开始是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中求得每轮传染中平均一个人传染人数，直接计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则开始时是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； 【小问2详解】 解：经过第二轮传染后共计81人，则第三轮传染人， 经过三轮传染后，会患流感人数为人， 答：经过三轮传染后共有个人会患流感． 20. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为 （2）当商品降价5元时，商品获利1950元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：360件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润1950列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价m元时，商品获利1950元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商品获利1950元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 21. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为，宽为； （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【小问1详解】 解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． 【小问2详解】 略 22. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2） （3）11或13 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 【小问3详解】 ①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“______倍根方程”； （2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）； （4）由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数） 【答案】（1）四 （2） （3） （4）1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“n倍根方程”的定义． （1）先解方程，再根据“n倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据三倍根方程的定义以及根与系数的关系列方程组解答即可； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案； （4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案； 【小问1详解】 解：， ， 解得和， ∵， ∴一元二次方程是“四倍根方程”； 故答案为：四； 【小问2详解】 解：由题意可设：与是方程的解， ∴， 解得：， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：∵关于x的方程是“n倍根方程”， ∴可设与是方程的解， ∴， 消去得：， 【小问4详解】 解：由参考公式：（x、y均为正数）可得， ∴， 故答案为：1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奇台县2025学年秋季学期九年级数学第一次学情调研试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分） 一、选择题（本大题共9题，每小题4分，共36分．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 1，， B. 1，5，2 C. ，5， D. 0，， 4. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 5. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 6. 抛物线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A. B. C. D. 9. 下列选项中，能描述函数与图像的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 二次函数的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为_________． 11. 方程的解是_______． 12. 若是方程的一个解，则代数式的值为_____． 13. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为__________人． 14. 已知、是方程的两个实数根，则的值是______． 15. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； 17. 二次函数的图像与直线交于点． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像； （3）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； （4）若该抛物线上两点的横坐标满足，则 　．（比较大小）． 18. 如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 19. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 20. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 21. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“______倍根方程”； （2）若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）； （4）由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $