精品解析：辽宁省东北大联考2025-2026学年高二上学期10月阶段检测数学试卷

2025—2026学年高二年级10月阶段检测 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章第二节． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 3. 若直线与直线平行，那么这两条直线之间距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量，向量与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系内作出直线与，则下列选项可能正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱台中，，若的最小值为，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 10. 已知正方体，则（ ） A B. C. D. 当为平面的法向量时 11. 在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（ ） A. 对任意不平行 B. 存在，使得垂直 C. 当夹角的余弦值为时， D. 不存在，使得的夹角在区间内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 坐标原点O到直线的距离为______． 13. 如图，在正三棱锥中，以BC的中点E为原点，直线EC，ED分别为x，y轴，过点E与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．若，则二面角的正切值为______，三棱锥的体积为______． 14. 已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l经过点． （1）若斜率为2，且，求； （2）若的一个方向向量的坐标为，且，求． 16. 已知空间三点． （1）若为原点，求异面直线与所成角的余弦值； （2）求以为邻边的平行四边形的面积． 17. 如图，四棱柱所有棱长均为1，点满足，设． （1）用表示； （2）若，求与的值． 18. 如图，在长方体中，点为的中点． （1）若，证明：； （2）若以点为坐标原点，方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，其中，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求点到平面的距离． 19. 已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B. （1）求a的值； （2）若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； （3）若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二年级10月阶段检测 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章第二节． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系列式求值. 【详解】因为直线的倾斜角为，且斜率为， 所以，解得． 故选：D 2. 在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面内点的特征列方程求得，然后利用空间距离公式求解即可. 【详解】因为点在平面内，所以，即， 所以． 故选：B. 3. 若直线与直线平行，那么这两条直线之间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 4. 已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量，向量与平面平行，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直，向量与平面平行，可得向量与向量垂直，利用数量积为0求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得． 故选：B. 5. 若经过点直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设的方程为，将点代入方程，求得，得到直线在坐标轴上的截距，进而求得三角形的面积. 【详解】由题意知，直线不过原点，设的方程为， 把点代入方程，可得，即，解得， 所以在轴上的截距分别为和， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故选：C. 6. 若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，设在基底下的坐标为，化简，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以， 设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B. 7. 在同一坐标系内作出直线与，则下列选项可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的截距符号特征，结合图象利用排除法判断各项即可. 【详解】由图中两直线都不与坐标轴垂直可知，所以两直线均不过原点，排除C； 中取得中取得，由，符号相反，可排除B； 对于D，直线即该直线斜率为，纵截距为 即该直线斜率为，纵截距为， 由图可知这两条直线的斜率和纵截距异号，则，即，矛盾，故可排除D. 故选：A. 8. 在正四棱台中，，若的最小值为，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，从而得到该棱台的高为，从点向平面作垂线，垂足为，即可求出，再由等面积法求出点到直线的距离. 【详解】设，则点在平面上， 故， 因为的最小值为，的最小值为， 所以该棱台的高为． 如图，连接，，则四边形是等腰梯形，，， 从点向平面作垂线，垂足为， 则最小时，点与点重合，点在上，且， 所以， 设点到直线的距离为，则， 所以． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 故选:AD. 10. 已知正方体，则（ ） A. B. C. D. 当为平面的法向量时 【答案】BD 【解析】 【分析】根据即可判断A错误；根据即可判断B正确；根据即可判断C错误；设正方体的边长为，以为原点，分别为轴建系，利用空间向量法即可判断D正确. 【详解】对选项A，因为，方向相反，所以，故A错误； 对选项B，因为平面，平面，所以， 所以，故B正确； 对选项C，易知为等边三角形，所以， 则，故C错误； 对选项D，设正方体的边长为，以为原点，分别为轴建系， 如图所示： 则， ， 设，则， 令，则，即. 则，故D正确. 故选：BD 11. 在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（ ） A. 对任意不平行 B. 存在，使得垂直 C. 当夹角的余弦值为时， D. 不存在，使得的夹角在区间内 【答案】ABD 【解析】 【分析】平面平行即法向量共线，利用向量共线坐标公式列式计算判断A；平面垂直即法向量垂直，利用向量垂直坐标公式列式计算判断B；利用向量夹角余弦值列式求解判断C；先利用向量夹角余弦值列式，然后利用基本不等式求解最值，最后利用余弦函数性质求解角的范围判断D. 【详解】由题意平面的一个法向量，的一个法向量， 因为，所以不平行，不平行，故A正确； ，当时，，故B正确； 设的夹角为，当时，平方化简得， 解得或，故C错误； 当时，，所以， 当时， ， 因为函数在上单调递减，所以，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 坐标原点O到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得． 故答案为： 13. 如图，在正三棱锥中，以BC的中点E为原点，直线EC，ED分别为x，y轴，过点E与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．若，则二面角的正切值为______，三棱锥的体积为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正三棱锥的性质，结合二面角及锥体体积求解. 【详解】在正三棱锥中，连接，过点作平面的垂线，垂足为， 则在上，且，则，，，，， 二面角大小等于二面角的平面角， ，由，得， 所以三棱锥的体积为. 故答案：3； 14. 已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】首先求出直线与坐标轴分别交于点，再根据若四边形两组对角互补则四边形有外接圆求解即可. 【详解】设为原点，直线与坐标轴分别交于点， 当时，记的交点为，直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，所以该四边形对角互补，有外接圆． 因为的斜率为，所以的斜率为，的方程为，即； 当与轴的交点为时，直线与两坐标轴围成一个四边形， 如图所示： 若该四边形有外接圆，则 ， 所以，此时的斜率为， 方程为，即，此时，符合题意． 综上得，直线的方程为或． 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l经过点． （1）若斜率为2，且，求； （2）若的一个方向向量的坐标为，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式，求得直线的斜率为，结合，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到直线的斜率为，结合 ，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为直线经过点，所以直线斜率为， 因为的斜率为2，且，所以，解得． 【小问2详解】 解：因为的一个方向向量的坐标为，所以的斜率为， 由（1）知直线的斜率为， 因为，所以，解得． 16. 已知空间三点． （1）若为原点，求异面直线与所成角的余弦值； （2）求以为邻边的平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）解法一：求得，得到在上的投影向量的模为， 进而求得点到直线的距离，结合面积公式，即可求解； 解法二：求得，利用向量夹角公式，求得， 得到，结合面积公式，即可求解； 解法三：求得， 结合面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 解：解法一：因为，所以， 所以在上的投影向量的模为， 所以点到直线的距离． 所以以，为邻边的平行四边形的面积为． 解法二：因为， 所以， 所以，，可得， 所以， 所以以为邻边的平行四边形的面积为． 解法三：因为，所以， 所以以为邻边的平行四边形的面积为 ． 17. 如图，四棱柱的所有棱长均为1，点满足，设． （1）用表示； （2）若，求与的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，化简得到，再由，求得，进而化简得到． （2）根据题意，分别求得和， 再由，求得，结合向量数量积的运算律，即可求解. 【小问1详解】 解：根据空间向量的线性运算法则，可得． 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为，所以， 可得，解得， 同理可得， 因为，可得， 所以， 则 ． 18. 如图，在长方体中，点为的中点． （1）若，证明：； （2）若以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，其中，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直判定定理，证得平面， 进而证得； （2）（ⅰ）设，由和，列出方程，求得的值，即可求解；（ⅱ）根据题意，求得平面的法向量和向量，结合向量的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 在长方体中，由平面，且平面， 所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 解：（ⅰ）设，则， 所以，可得， 所以，， 由，可得，所以. （ⅱ）设平面的法向量，则， 取，可得，则， 又因为， 所以点到平面的距离为． 19. 已知直线与x轴交于点A，把绕点A顺时针旋转得直线，与y轴交于点B. （1）求a的值； （2）若点A，B在直线的两侧，求b的取值范围； （3）若直线，关于直线l对称，求l的斜率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线，倾斜角的关系，利用两角和的正切公式列式求解即可. （2）先求出直线经过点和B时，b的值，然后利用点A，B在直线两侧列不等式求解即可. （3）求出的交点，设关于的对称点为，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角与的终边相同， 因为直线的斜率为，所以， ， 所以，所以． 【小问2详解】 由已知可得， 当直线经过点时，，即， 当直线经过点时，，即， 所以当点在直线的两侧时，． 【小问3详解】 直线关于直线对称，则的交点在上， 由已知可知，直线的斜率存在，设为，则的方程为， 因为在上，关于的对称点在上，设， 由得，即， 由的中点在上，得，即， 代入得，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $