精品解析：河北省示范高中联盟2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

河北省2026届高三上学期10月考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数，即可根据几何意义求解. 【详解】,故对应的点为，位于第一象限， 故选：A 2. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得即可求解． 【详解】由题知或，； 则， 所以集合的真子集个数为1． 故选：A 3. 若直线是曲线的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，得到关于的表达式，然后根据定义域求出结果即可. 【详解】因为曲线，求导得， . 设切点横坐标为，因为直线是该曲线的切线， 所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：B. 4. 已知某圆台的高为6，上底面半径为2，下底面半径为10，则此圆台的表面积为（ ） A. 100 B. 104 C. 120 D. 224 【答案】D 【解析】 【分析】首先求圆台的母线，再代入圆台的表面积公式，即可求解. 【详解】圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， ， 所以圆台的表面积. 故选：D 5. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 22 B. 24 C. 28 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解. 【详解】由可得， 解得， 故， 故选：C 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将条件平方求的值，再将正切转化为正弦和余弦，即可求解. 【详解】由条件可知，，可得， . 故选：D 7. 已知函数在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原命题等价于在区间上恒成立，令，求导，分，，，四种情况讨论的单调性，进而可得结论. 【详解】函数在区间上恒成立， 等价于在区间上恒成立， 令，，则， ， 当时，在区间上恒成立， 则在区间上单调递减， 所以当时，，则当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 当时，，在区间上恒成立， 则区间上单调递减， 所以当时，，则当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，， 即，，不符合题意，舍去； 当时，，在区间上恒成立， 则在区间上单调递增， 所以时，，即在区间上恒成立，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 8. 空间内三条直线满足，，且，，记，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直关系和向量线性运算可求得，，结合向量数量积定义和角度关系可得；利用可求得，由可得结果. 【详解】， ，，，，， ，，，， ，， ， ，，，， ， ，即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，即可由周期公式求解A，代入验证即可求解BD,利用整体法，结合正弦函数的性质即可求解C. 【详解】， 故的最小正周期为，A正确， 为偶函数，故为偶函数，B正确， 当时，，由于在上不是单调递增的， 故在上不是单调递增的，C错误， 由于， ， 故的图象关于直线对称，D正确， 故选：ABD 10. 已知为等比数列的前项和，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是递减数列 D. 是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设出公比为，推出，由不等式性质得到，，得到A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，先得到，则，故；D选项，作差得到，所以，D正确. 【详解】A选项，设公比，则， 因为，所以，又，故， 因为，所以， 因为，所以，则，， 故，A正确； B选项，假设，，则，，，满足， 故，B错误； C选项，，则，故， 故是递减数列，C正确； D选项，相邻两项的差为， 由于，所以， 故，所以，为递增数列，D正确. 故选：ACD 11. 在中，，点满足，延长至点，使得.点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 当时，四点共圆 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】设，，，，，利用平面向量的基底进行运算，由平行线段的距离等价于一条线段上任意一点到另一条线段的距离，判断四点是否共圆，利用其中三点确定一圆，验证第四个点是否在圆上求解，过程中利用余弦定理和直角三角形的性质进行求解. 【详解】设，，，，， 因为，则,故， 设，则，, 因为, 则即, 从而 化简，即，因为， 故解得.故. 又，故即 从而， 化简得，即， ，所以，. 对于A选项，因为， , 故A选项正确 对于B选项，因为，故即， 点在线段上，点到线段距离为定值， 故, 中，,., 则,， 所以， 故B选项正确. 对于C选项，因为平面内三点确定一个圆， 因为，，，,所以为直角三角形， 故过的圆的圆心在线段的中点处， 若四点共圆，则圆与线段交点为，连接,, 可得, 又因为在中，，， 可得，故， 所以,为等边三角形，此时， 故C选项错误. 对于D选项，连接,当时 故，， 在中, ,, ,， 故， 又因为, 所以,所以, 故, 故D选项错误. 故选:AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则__________． 【答案】##-0.25 【解析】 【分析】由题知，再代入求解即可． 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数， 所以， 当时，， 则． 故答案为：． 13. 已知，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】，即， 当时等号成立， 所以的最大值是2. 故答案为：2 14. 已知函数的所有零点都小于或等于1，则的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数的零点不大于1，找到的关系，把表示成的函数，求导，分析函数单调性，求函数最小值即可. 【详解】三次函数一定有零点，设为，即， 所以， 所以. 所以 设，， 则. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 即（，时取等号） 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知（且）． （1）若在上的最大值与最小值之差为1，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数在上单调列式，可求实数的值. （2）分和两种情况，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【小问1详解】 因为（且）在上为单调函数， 且在上的最大值与最小值之差为1， 所以，解得或． 【小问2详解】 ①当时，函数在上单调递减， 故，解得，此时； ②当时，函数在上单调递增， 故，解得． 综上可得，实数的取值范围为. 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用数列与的关系式，转化为数列的递推关系式，再通过构造求数列的通项公式； （2）由（1）可知，分和两段，集合数列的特征，和数列的前项和，分别求数列的和. 【小问1详解】 由可得， 两式相减，得，即， 当时，，则． 当时，，即， 于是由递推关系得，得， 而，满足上式， 故数列的通项公式为． 【小问2详解】 由得， 当时，，则， 所以； 当时，，注意到， 故． 综上，． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形．已知，为线段上一点（包括端点）． （1）证明：； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是矩形，为的中点，所以，故平面，得到； （2）由面面垂直得到平面，故，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，设，求出平面的法向量，根据线面角的正弦值得到方程，求出答案. 【小问1详解】 证明：在平面内，过点作，垂足为，连接，如图， 由可知， 又，所以四边形是矩形， 所以，所以为的中点， 又是等边三角形，所以， 由，平面，平面可知平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，， 而平面平面，平面，平面平面， 故平面， 由平面可知， 故以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 故， 则， 设， 于是． 设平面的法向量为， 由，得， 令，故， 故， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，故或， 于是或． 18. 如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形． （1）若，求； （2）若线段（不含端点）上存在动点，满足，求长度的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中先用余弦定理求，再用正弦定理求. （2）设，找出的函数关系，观察法求函数值域即可. 【小问1详解】 由题意知． 在中，由余弦定理可得． 由正弦定理得，解得． 【小问2详解】 如图： 设， 在中，由余弦定理得 ， 由知． 由题意得关于的方程在时有解， 等价于关于的方程在时有解， 由知，，即长度的取值范围为． 19. 设，且数列是以为首项，为公比的等比数列． （1）当时，求的极值点个数； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意，总存在满足的实数，使时，． 【答案】（1）极值点个数为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式可化简得，求导后，结合零点存在定理可确定有唯一零点，结合单调性可得极值点个数； （2）将问题转化为在上恒成立，根据二次函数性质可知，由此可得的范围； （3）当时，当时，只需满足；令，根据导函数和零点存在定理可确定存在唯一的，使得，取即可说明；当时，只需满足，同理可证得，由此可得结论. 【小问1详解】 数列为等比数列，其中，公比， ，，，， 则； 令，则， 关于的二元二次方程的判别式， 当时，在上恒成立，即在上单调递增， 又，， 由函数零点存在定理得：在内存在唯一零点，且当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点，的极值点个数为． 【小问2详解】 对于任意，不等式恒成立， 即恒成立，等价于在上恒成立． ，其图象为开口向上的抛物线，且， 对任意实数恒成立． 故要使恒成立，只需， 又，，即的取值范围为． 【小问3详解】 ①当时，，当且仅当时取等号. 当时，结合（2）知，在上显然有恒成立， 故只需满足，即． 设，则， 由及得：恒成立， 单调递增．又，， 根据函数零点存在定理得：存在唯一的，使得． 取，则． 对任意，有．此时，且， 故，该情况得证． ②当时，，当且仅当时取等号． 只需满足，即． 设，则， 由及得：恒成立，单调递减． 同理，根据函数零点存在定理得，存在唯一的，使得． 取，则． 对任意，有． 此时，且， 故；该情况得证． 综上所述，对任意，总存在满足的实数，使时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2026届高三上学期10月考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若直线是曲线的切线，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 已知某圆台的高为6，上底面半径为2，下底面半径为10，则此圆台的表面积为（ ） A 100 B. 104 C. 120 D. 224 5. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 22 B. 24 C. 28 D. 36 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 空间内三条直线满足，，且，，记，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 10. 已知为等比数列的前项和，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是递减数列 D. 是递增数列 11. 在中，，点满足，延长至点，使得.点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 当时，四点共圆 D 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则__________． 13. 已知，则的最大值为__________． 14. 已知函数的所有零点都小于或等于1，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知（且）． （1）若在上的最大值与最小值之差为1，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形．已知，为线段上一点（包括端点）． （1）证明：； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形． （1）若，求； （2）若线段（不含端点）上存在动点，满足，求长度的取值范围． 19. 设，且数列是以为首项，为公比的等比数列． （1）当时，求的极值点个数； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意，总存在满足实数，使时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $