精品解析：四川省成都市成华区某校2025-2026学年高三上学期阶段性考试（一）数学试题

2025-2026学年度（上）阶段性考试（一） 高2023级 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若，，则（    ） A. B. C. D. 3. “”是“a > b > 0”的一个（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量、满足，，，则、的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的极大值点为 C. 的极小值为 D. 的最大值为 8. 设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（ ） A. 该组数据的极差为26 B. 该组数据的众数为18 C. 该组数据的分位数为19 D. 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 10. 下列命题正确的是（    ） A. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则 B. 不等式的解集为 C. 函数的单调递增区间是 D. 若，且，则的最小值等于8 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 有极大值为 B. 对于恒成立，则实数a的取值范围是 C. 当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D. 若关于x的方程有两个不等实根，则实数a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，，则__________. 13. 已知函数，则___________. 14. 已知函数的定义域为，在上单调递减，且对任意的，都有，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线C的方程； （2）过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求的值． 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 17. 交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． （1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ （2）根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）． （1）证明：； （2）若． （ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小； （ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围． 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，…，，在点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与x轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列，从图中可以看到，较接近r，较接近r，……，当n很大时，很小，我们就可以把的值作为r的近似值，即把作为函数的近似零点.现令. （1）当时，求的近似解，； （2）在（1）的条件下，求数列的前n项和； （3）当时，令，若时，有两个不同实数根，.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）阶段性考试（一） 高2023级 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算即可得到，再求出其模长即可得到结果. 【详解】因为，则，所以. 故选：B 2. 若，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数复合函数定义域求法求解集合N，然后根据集合的并集定义求解即可. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：D 3. “”是“a > b > 0”的一个（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用指数函数单调性结合充分条件及必要条件定义判断即可. 【详解】因为是单调增函数，且，所以， “”即，不能推出“a > b > 0”， “”可以推出“”； “”是“”的一个必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知向量、满足，，，则、的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出的值，即可得出、的夹角. 【详解】因为，，，所以， 故，所以，即、的夹角为. 故选：A. 5. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 6. 某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则列式计算得解. 【详解】依题意，，则， 再经过8年，即时，， 所以再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的. 故选：C 7. 已知函数，则（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的极大值点为 C. 的极小值为 D. 的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，最大值和极大值，即可求解. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，即； 当时，，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 又，由极值的定义可知，是的极大值点，极大值为， 所以选项A、C和D错误，选项B正确， 故选：B. 8. 设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需， 依题意，方程有6个不同的实数解， 令，则有两个不相等的实数根， 且，令， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（ ） A. 该组数据的极差为26 B. 该组数据的众数为18 C. 该组数据的分位数为19 D. 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 【答案】BD 【解析】 【分析】数据已经是排列的数据，因此直接根据极差、众数、百分位数、方差的概念计算判断即可． 【详解】对于A，该组数据的极差，故A错误， 对于B，该组数据的众数为出现频数最多的数据为18，故B正确， 对于C，该组数据的分位数为，取第6个，为20，故C错误， 对于D，若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D正确． 故选：BD． 10. 下列命题正确的是（    ） A. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则 B. 不等式的解集为 C. 函数的单调递增区间是 D. 若，且，则的最小值等于8 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用奇偶性，代值转换即可；对于B：解分式不等式即可；对于C：利用的定义域可判断；对于D：利用基本不等式可求得最值. 【详解】对于选项 A：由于  是奇函数，满足  对所有  成立， 因此，，故命题A正确； 对于选项 B：原不等式等价于：， 解得：.故命题B错误； 对于选项 C：首先，根号内表达式需非负：， 定义域为 . 而选项给出的  包含不在定义域的点，故命题C错误； 对于选项 D：由 ，代入得 ，所以 ， 问题化为：在 ，， 下，求  的最小值， ， ， 当且仅当时取等号. 故的最小值等于8.故命题D正确. 故选：AD 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 有极大值为 B. 对于恒成立，则实数a的取值范围是 C. 当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D. 若关于x的方程有两个不等实根，则实数a的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出极大值判断A；探讨最小值并建立不等式求出a的范围判断B；求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断C；变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出实数a的范围判断D． 【详解】对于A，，，求导得，当时，， 当时，，函数在处取得极大值为，A正确； 对于B，，当时，，当时，， 函数在递减，在上递增，， 由对于恒成立，得，解得，B正确； 对于C，，函数定义域为，求导得， 设切点坐标为，则在处，的切线方程为： ，则， 化简得，当时，，此方程无解； 当时，，此方程无解；当时，，满足要求， 因此方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条直线与相切，C错误； 对于D，由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则，即， 令函数，则即为， 函数在R上单调递增，则，即， 由A选项知，，函数在上单调递增，在上单调递减， ，当时，函数取值集合为，而， 因此在的取值集合为； 当时，令，， 函数在上单调递减，，则， 当时，，显然函数在取值集合为， 因此函数在的取值集合为，则有两个根， 必有，解得，所以a的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式及前项和公式列出关于首项与公差的方程组，解出与，再求出的值. 【详解】已知，，可得，即①； ，即②； 联立①②解得：，； 由等差数列的通项公式，可得，将，代入可得， 因为，，所以. 故答案为：. 13. 已知函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出的范围，结合函数解析式以及指数运算法则、对数恒等式可求得结果. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，在上单调递减，且对任意的，都有，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用特殊值法求，，利用奇偶函数概念研究的奇偶性，再利用单调性化简不等式，参变分离、构造新函数法，再利用导数的性质进行求解即可. 【详解】令，有，得， 令，得，则， 令，，有，得， 又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数， 因为在上单调递减，所以在上单调递增. 不等式可化为， 则有， 因为函数在上单调递增，所以， 又，所以，即， 设，则， 因为，故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以，所以或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：先判断出函数的奇偶性，进而判断函数的单调性，通过构造新函数利用导数的性质进行求解是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线C的方程； （2）过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线求解即可； （2）设直线，，，联立，由韦达定理得，再代入即可． 【小问1详解】 ∵点在抛物线C上， ∴，，解得（负值舍）， ∴抛物线C的方程为． 【小问2详解】 由题意得，直线l存在斜率，设直线，，， 联立，消去y可得，， ，由韦达定理得，， ∴． 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角即可求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出最大值，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，即，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，而， 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此 所以面积的最大值为. 17. 交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． （1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ （2）根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 认为旅客满意程度与车站编号有关联； （2）的分布列为 8 10 12 14 .【解析】 【分析】（1）根据题目所给数据补充表格即可，先零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，接着依据表格数据计算”的值，比较与的大小，再结合独立性检验的思想方法即可下结论得解； （2）先由题得的取值，接着依次计算每个取值相应的概率即可得的分布列，再根据均值公式即可直接计算求解的均值. 【小问1详解】 ）补充列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为旅客满意程度与车站编号有关联. 【小问2详解】 由题的可能取值为8，10，12，14， 则；； ；， 所以的分布列为 8 10 12 14 所以． 18. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）． （1）证明：； （2）若． （ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小； （ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1） 取中点为，连接， 因为， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）（ⅰ）直线PB与平面所成角为;（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）取中点为，由题意可得，再结合线面垂直的判定定理及性质定理即可证明； （2）（i）以为原点建立直角坐标系，求以及平面的法向量，利用即可；（ii）利用二面角的向量求法可得，令，则，可得，所以，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为为等腰三角形，，即，所以， 因为为等边三角形，所以， 故，，因，则，即， 又因，所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，F为线段PB的中点， 则，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 所以， 设直线PB与平面所成角为，则， 又，则， 所以直线PB与平面所成角为， （ii）设平面的法向量为， ， 则， 取，得， 设，所以， 所以， 则平面的法向量为， 则， 取，得， 所以 ， 令，则， 所以， 因为时，， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面角、二面角的向量求法，关键是需要建立空间直角坐标系，由（1）知平面，所以需证明，设， 以为基底来表示与，结合题意即可证明，可得两两互相垂直，从而以为原点，为基底，建立空间直角坐标系. 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，…，，在点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与x轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列，从图中可以看到，较接近r，较接近r，……，当n很大时，很小，我们就可以把的值作为r的近似值，即把作为函数的近似零点.现令. （1）当时，求的近似解，； （2）在（1）的条件下，求数列的前n项和； （3）当时，令，若时，有两个不同实数根，.求证：. 【答案】（1） （2） （3） 由题意可得，则， 令，得，当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以， 又当时，；当时，，且， 所以当时，有两个不同实数根， 又，所以确实有两个不同实数根，， 且，， 先证明右半部分：， 考虑在处的切线方程： 当时，，因为，所以与切线的交点的横坐标大于， 即，又，故； 再证明左半部分：， 观察不等式的结构，联想到一元二次方程的两根之差， 即构造方程来描述不等式的左边， 故尝试将放缩为二次函数，即将放缩成， 故令， 则，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，， 故当时，方程有两个不同的实数根，记为，且， ，又，故，所以， 因为，所以得到， 同理可得，所以， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出在和在处的切线方程，令，即可得； （2）由（1）可知存在递推关系，通过构造等比数列求出数列的通项， 再利用分部求和即可求出数列的前n项和； （3）先求出，先利用题中的切线法证明右半部分，再利用放缩法证明左半部分， 将放缩为二次函数，即将放缩成，再结合韦达定理即可证得结论. 【小问1详解】 由题意可得在处的切线方程为，令，得， 同理可得在处的切线方程为，令，得， 所以对于函数，， 故，； 【小问2详解】 由（1）可知存在递推关系， 构造等比数列， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 所以数列的前项和； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $