精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

宁朔中学2025-2026（一）高三数学月考测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B，再由集合的交运算求解集合即可. 【详解】由题设，且，则. 故选：B 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 4. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数以及指数函数的单调性，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】因为，即， ，即， ，即， 所以. 故选：B 5. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断的奇偶性，排除A、B；再取特殊值，排除C，即可得到正确答案. 【详解】定义域为R. ∵， ∴为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B； 对于CD，令，解得：，即有三个零点，如图示， 取，有， ∵，∴. 排除C； 故选：D 【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图像． 6. 已知，若，则的最小值为（   ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式计算可得结果. 【详解】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 7. 已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性列不等式，解不等式可得到x的取值范围是. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，，当时，当时， 又因为是定义域为R的奇函数，所以在上单调递增， 所以，当时，当时， 再根据是定义域为R的奇函数，可以得到， 综上所述，当时，，当时，； 因为，所以，或， 解得. 故选：D 8. 已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得出，再根据的单调性以及极值即可得出. 【详解】由，得， 因为是的一个极值点，所以， 所以，，， 在上有得或，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因， 由函数在上有且仅有一个零点， 则，，解得， 所以实数b的取值范围为． 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，多选和错选得0分） 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】举反例即可判断AB；作差法即可判断CD． 【详解】对于A，当，，故A为假命题； 对于B，若，则，故B为假命题； 对于C，若且，则， 所以，故C为真命题； 对于D，， 所以，故D为真命题； 故选：AB． 10. 已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，根据等比数列的通项公式的计算，求得，进而求得通项公式和的值，再由，，结合选项，即可求解. 【详解】因为，可得，即，解得或， 又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确； 数列的通项公式为，所以B正确； 则，所以C不正确； 由，则，，所以，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 有1个极小值点 C. 当时， D. 在和上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】根据偶函数性质以及当的解析式来求时的解析式，即可判断C选项，求导代入即可判断A选项，先分析时的单调性，再根据偶函数关于y轴对称得出时的单调性，即可判断BD选项. 【详解】当时，，， 由于是定义在上的偶函数，所以， ，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 根据偶函数图像关于y轴对称，可得时，单调递减， 当时，单调递增， 所以有两个极小值点， 故A选项正确，B选项错误，C选项错误，D选项正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，且，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量垂直和向量数量积的坐标公式进行计算即可. 【详解】因为，所以，. 因为，所以，即. 所以，解得. 故答案为：3. 13. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】是定义在上且周期为2的偶函数，可得， 所以. 故答案为： 14. 已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】y＝f(x)－x恰有3个不同的零点等价于与 h(x)＝有三个不同交点，数形结合进行求解. 【详解】由得：， 可得f(x)－x＝a＋，所以y＝f(x)－x有三个零点等价于 有三个不同交点. 令h(x)＝， 画出y＝h(x)的图象如图所示，将水平直线y＝a从上向下平移，当a＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求单调区间及极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答. （2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值与最小值作答. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 16. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以 ，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. 【小问2详解】 略 17. 新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． （1）求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； （2）若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 210 225 240 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即得； （2）根据题意写出消费金额所有可能的值，分别计算对应的概率的值，列出分布列，用公式计算数学期望即可. 【小问1详解】 每位消费者从7折、7.5折、8折的奖券各2张中任意抽取2张奖券，有种方法， 而“抽到的2张奖券的折扣相同”的情况有3种，故其概率为：； 【小问2详解】 依题意，消费金额的可能的值有：210， 225和 240共三个. ， ， . 则的分布列为： 210 225 240 故数学期望. 18. 某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得免费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况 第天 1 2 3 4 5 6 7 预约量（万张） 9.03 9 8.58 8.7 8.76 8.74 8.79 经计算得：． （1）求关于的线性回归方程及第5天的残差：（精确到0.001） （2）为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 其它方式购票人数 80 合计 100 ①完成以上列联表： ②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 【答案】（1），残差为 （2）①列联表如下： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 50 120 其它方式购票人数 30 50 80 合计 100 100 200 ②需要，理由如下： 零假设认定游客通过APP预约游览与其年龄无关， 则， 根据小概率事件原理，可知零假设不成立，故认定游客通过APP预约游览与其年龄有关， 需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传． 【解析】 【分析】（1）根据表中数据和公式求出的值，进而得到线性回归方程，从而可求出第5天的残差. （2）①根据数据的和差进行填表即可.②作出零假设，根据公式求出卡方值，进而可判断零假设是否成立. 【小问1详解】 ， 故， ， 故关于的线性回归方程为. 所以第5天的残差为 【小问2详解】 ①列联表如下： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 50 120 其它方式购票人数 30 50 80 合计 100 100 200 ②需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传，理由略. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 当时，的减区间为，无增区间， 当时，的增区间为，减区间为； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论研究导数区间符号，进而确定单调区间； （3）问题化为在，成立，利用导数分别求出两函数在给定区间内的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 当时，得， 则曲线在点处的切线斜率为且， 所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由题设且， 当时在上单调递减； 当时，令， 当时在区间上单调递减， 当时在上单调递增， 综上， 当时，的减区间为，无增区间， 当时，的增区间为，减区间为； 【小问3详解】 由题设，对于，，使得， 所以在，成立， 由（2）知，当时，则在上单调递增，则， 由，，则在上单调递增，则， 只需. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁朔中学2025-2026（一）高三数学月考测试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若 则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则的最小值为（   ） A. B. C. 4 D. 7. 已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，多选和错选得0分） 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 10. 已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 有1个极小值点 C. 当时， D. 在和上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，且，则___________． 13. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则___________． 14. 已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求单调区间及极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 16. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 17. 新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． （1）求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； （2）若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望． 18. 某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得免费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况 第天 1 2 3 4 5 6 7 预约量（万张） 9.03 9 8.58 8.7 8.76 8.74 8.79 经计算得：． （1）求关于的线性回归方程及第5天的残差：（精确到0.001） （2）为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 其它方式购票人数 80 合计 100 ①完成以上列联表： ②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $