精品解析：天津市第三中学2025-2026学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

天津市第三中学2025~2026学年度第一学期 高二年级阶段性检测试卷数学 （2025.10） 试卷命题人：高颖 试卷审核人：高二数学集备组 一、单选题（共8题，每题3分，共24分） 1. 直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角． 【详解】可化为：， ∴直线斜率为，设直线的倾斜角α，则， ∵，∴． 故选：D． 2. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆的标准方程,先判断出焦点位置并求得.再根据椭圆中的关系即可求得焦点坐标. 详解】椭圆 所以为焦点在轴上,且 由椭圆中 可得 因而 所以焦点坐标为, 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及简单性质,椭圆中的关系及焦点坐标求法,属于基础题. 3. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，，进而求得可得答案. 【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为， 所以，所求椭圆的焦点坐标为，即， 因为，所求椭圆的短半轴长为， 所以， 所以，， 所以，所求椭圆的方程为：. 故选：A 4. 已知直线和圆相交于两点.若，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理和勾股定理求出圆的半径即可. 【详解】由题意得，圆心坐标为，圆心到直线的距离为， 由于，故半径. 故选：. 5. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线平行，列方程求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为直线与平行， 所以，且， 解得， 所以直线，， 所以，， 所以与间的距离为， 故选：B 6. 直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（ ） A. 相交、相切或相离 B. 相交或相切 C. 相交 D. 相切 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：求出直线过的定点，确定定点在圆内部，确定直线与圆相交； 方法二：求出圆的圆心和半径，从而利用点到直线距离公式确定圆心到直线距离，与半径比较得到直线与圆相交. 【详解】方法一:直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0， 该直线恒过定点(1，2). 因为， 所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部， 所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交. 方法二:圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3. 圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝， 所以直线与圆相交. 故选：C 7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥， ∠=，则C的离心率为 A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m， 故离心率e＝选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8. 曲线与曲线的交点个数是（ ） A. 0 B. 4 C. 2 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和圆的图象数形结合得出交点个数. 【详解】曲线是的下半圆，曲线是， 画出图象如下 数形结合得出曲线与曲线的交点个数是2个. 故选：C. 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 已知和两点，则以线段AB为直径的圆的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据中点坐标公式求出圆心坐标，再根据两点间的距离公式求出半径，最后根据圆的标准方程形式写出圆的方程即可. 【详解】已知,且以线段AB为直径的圆，可知圆心为的中点， 故圆心坐标为，即圆心为，半径， 故圆的标准方程为， 故答案为：. 10. 已知AB是圆C：的一条弦，是弦AB的中点，则直线AB的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出圆C的圆心，由垂径定理可得直线CM与直线AB垂直，求出直线CM的斜率，即可得直线AB的斜率，由此即可得到本题答案. 【详解】根据题意，圆C：，即，其圆心C为， 是弦AB的中点，则直线CM与直线AB垂直， 又由，则， 则直线AB的方程为，即， 故答案为： 【点睛】本题主要考查直线与圆的综合问题，涉及到垂径定理的应用以及圆的一般方程转化为标准方程. 11. 经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是___. 【答案】3x+6y-2=0 【解析】 【分析】先求得两直线的交点，再设所求的直线方程x+2y+m=0，将交点坐标代入求解. 【详解】由2x+3y-7=0与7x+15y+1=0联立，解得（12，）， 设所求直线为x+2y+m=0，则12+2×（）+m=0， 解得m=， 故所求直线方程为：3x+6y-2=0， 故答案为：3x+6y-2=0 12. 过点作圆的切线，则切线方程是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】对斜率是否存在进行分类讨论，利用待定系数法，根据切线的性质进行求解. 【详解】当切线的斜率存在时，设切线方程为， 即， 又圆的圆心为，半径， 所以，解得， 所以切线的方程为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为， 与圆相切，满足题意，所以切线的方程为. 故答案为：或. 13. 已知椭圆，直线交椭圆于、两点，则线段的中点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】先把椭圆和直线方程联立，化为关于一元二次方程，在根据根与系数的关系求出中点的横坐标，进而代入直线求出纵坐标即可. 【详解】椭圆，直线交椭圆于、两点, 联立可得， 设，则， 故线段的中点的横坐标是，且中点在直线上，代入可得的中点的纵坐标为， 故答案为： . 14. 经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，数形结合求解即可. 【详解】解：因为，，， 所以， 因为直线与线段总有公共点， 所以，如图，根据图形可知，或，即或， 所以，直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（共52分） 15. 已知的顶点，求：（1）边上的中线所在的直线方程（2）边上的高所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)求得AB的中点M,可得直线CM的两点式方程,化为一般式即可;(2)由斜率公式可得直线AC的斜率,由垂直关系可得直线BH的斜率,可得直线的点斜式方程,化为一般式可得. 【详解】（1）,， 中点，又 直线的方程为，即 （2）直线的斜率为2， 直线的斜率为， 边上的高所在的直线方程为，即 【点睛】本题考查直线的两段式方程、点斜式方程与一般式方程，考查了直线垂直关系的应用,属基础题. 16. 圆经过三点：，，. （1）求圆的方程. （2）求圆与圆:的公共弦的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设圆为：，代入点坐标求出，即可求出圆的方程.；（2）联立，求出交点坐标，即可求出公共弦的长. 【详解】（1）设圆为：， 代入，，， 有， ∴圆的方程为. （2）联立， 即， 解得：交点为，， 故弦长. 17. 在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）斜率为的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点，求弦的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可求椭圆的方程. （2）联立直线方程和椭圆方程，利用公式可求弦长. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，则，而，则， 故，故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 椭圆的右焦点坐标为，则直线， 由，故， 设，故. 18. 已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，过点作直线于椭圆交于，两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）若．求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由的周长可得，结合焦点坐标可得椭圆方程； （2）分别讨论直线斜率不存在时与斜率存在时的方程，结合根与系数关系可得直线方程. 【小问1详解】 因为的周长为， 则，， 又，且，得， 则椭圆方程: 【小问2详解】 设，， 当垂直于轴时，直线的方程， 此时，， 此时，， ， 所以不成立，不符合题意； 当不垂直于轴时，设直线的方程为， 联立直线与椭圆方程，得，， ，，， ，， 因为，所以，则， 即，解得， 直线的方程为. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第三中学2025~2026学年度第一学期 高二年级阶段性检测试卷数学 （2025.10） 试卷命题人：高颖 试卷审核人：高二数学集备组 一、单选题（共8题，每题3分，共24分） 1. 直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和圆相交于两点.若，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. D. 5 5. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0位置关系为（ ） A 相交、相切或相离 B. 相交或相切 C. 相交 D. 相切 7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥， ∠=，则C的离心率为 A. B. C. D. 8. 曲线与曲线的交点个数是（ ） A. 0 B. 4 C. 2 D. 0或2 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 已知和两点，则以线段AB为直径的圆的方程是______. 10. 已知AB是圆C：的一条弦，是弦AB的中点，则直线AB的方程为______. 11. 经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是___. 12. 过点作圆的切线，则切线方程是_____________． 13. 已知椭圆，直线交椭圆于、两点，则线段的中点坐标是______. 14. 经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______. 三、解答题（共52分） 15. 已知的顶点，求：（1）边上的中线所在的直线方程（2）边上的高所在的直线方程. 16. 圆经过三点：，，. （1）求圆方程. （2）求圆与圆:的公共弦的长. 17. 在平面直角坐标系中，椭圆左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）斜率为直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点，求弦的长． 18. 已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，过点作直线于椭圆交于，两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）若．求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $