精品解析：内蒙古包头市2025-2026学年高三上学期期中教学质量检测数学试题

2025—2026学年度第一学期高三年级期中教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. 若复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 要得到的图象，只需要将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 若且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（ ） A. B. C. D. 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 当时，单调递增 D. 轴是曲线的一条切线 11. 在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. C. 若，则 D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为公比不为1的等比数列的前项和，若，则公比__________. 13. 已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为________. 14. 在中，，为的中点，，与交于点，则________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 已知四棱锥平面． （1）证明：平面平面； （2）记平面平面，证明：； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在中，角的对边分别为，向量且. （1）若是边上的中线，，求三角形的面积. （2）若的平分线交边于点且，求的最小值. 18. 已知数列的前项积为，其中，数列的通项公式为. （1）求数列及的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：. 19. 已知函数，． （1）当时，求的值域； （2）若存在唯一的极值且为极小值，求的取值范围； （3）设，若存在使得对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高三年级期中教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，应用列举法写出集合，根据元素个数确定子集个数. 【详解】由，共有3个元素， 所以集合的子集的个数为. 故选：A 2. 若复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得，进而得出复数，最后利用复数乘法运算即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为 又点在直线上， 所以，解得， 所以复数， ， 故选：D. 3. 已知向量，满足与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示，列出方程，求解即可. 【详解】由题意知向量，满足与垂直， 故，，即得， 则，解得， 故选：A 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 5. 要得到的图象，只需要将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数化为，然后由正弦函数的图像平移可得答案. 【详解】 又 所以将的图像向左平移个单位长度，可得的图像 故选：A 6. 若且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设化目标式为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故选：D 7. 已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，结合同角三角之间的关系得出，，再利用等差数列的性质以及两角和差的正切公式即可计算. 【详解】由辅助角公式可知的最大值为，故， 因，则， 即，得， 则， 则， 因是等差数列的第5项，则， 则. 故选：A 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此ABC都可能，D不可能. 故选：D 二､多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知，数列是首项为9,公差为-3的等差数列，由此求得其通项公式和前n项和公式，并对选项逐一判断即可. 【详解】因为，所以，又所以数列是首项为9,公差为-3的等差数列. 记公差为d,则,所以,. 选项A：.所以选项A正确. 选项B：因为公差为-3，所以数列是递减数列.所以选项B错误. 选项C：当，即.所以选项C正确. 选项D：,所以在时单调递增，在时单调递减.因为,所以当或时，取得最大值，最大值为18.所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 当时，单调递增 D. 轴是曲线的一条切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可求得时的解析式，判断A；结合奇偶性求值可判断B；利用导数判断函数单调性判断C；数形结合判断D. 【详解】由题意知函数是定义域为的奇函数，当时，， 故当时，，则，A正确； 由于函数是定义域为的奇函数，故； 而，故，B错误； 当时，，则， 令，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 故当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，C错误； 由C的分析可知，在时取得极小值， 结合函数为奇函数可知在时取得极大值， 作出图象如图， 由此可知轴是曲线的一条切线，D正确， 故选：AD 11. 在斜三角形中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据诱导公式以及正弦定理，结合三角恒等变换以及二次函数性质，可得答案. 【详解】由正弦定理得且，则，C正确； 由三角形内角的性质知，得是锐角, 当时，，则，不合题意， 当，，解得，故A错误，B正确； 因为， ， 由，则，可得， 令，可得， 结合二次函数的性质，代入得最大值为，代入或0，得到（取不到）， 所以，故D错误. 故选：BC 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为公比不为1的等比数列的前项和，若，则公比__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用等比数列的通项公式、前n项和公式列方程求公比. 【详解】由题设，且， 所以，则， 所以，可得（舍）. 故答案为： 13. 已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】． 令，则， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又， 所以，即不等式的解集为． 故答案为： 14. 在中，，为的中点，，与交于点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）； （2）最大值和最小值分别为. 【解析】 【分析】（1）三角恒等变换化简解析式，再利用整体代换法求解对称中心； （2）先求整体角的范围，再利用正弦函数的单调性求最值. 【小问1详解】 由题意 所以， 由，得，此时 所以函数的对称中心为； 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 而函数在上递增，在上递减， 则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. 16. 已知四棱锥平面． （1）证明：平面平面； （2）记平面平面，证明：； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 平面，平面， ， 又， , 平面， 平面， 又平面， 平面平面. （2） ，平面，平面， //平面. 又平面平面，平面， . （3） 【解析】 【分析】（1）由平面得出，由，得出，结合平面，得出平面，又因为平面，利用面面垂直判定定理，得出平面平面. （2）根据线面平行判定定理，得出//平面，再结合线面平行的性质定理得出. （3）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 令，则. 平面中，， 设平面的法向量为， 则，令，则，故. 平面中，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故. 设平面与平面所成夹角为， 则. 17. 在中，角的对边分别为，向量且. （1）若是边上的中线，，求三角形的面积. （2）若的平分线交边于点且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解，利用平面向量运算三角形面积公式即可得解； （2）根据面积公式，面积相等法和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以，由正弦定理得，即， 且，则，可得， 因为，所以， 由题意得，则， 即有，且，解得：，所以， 故的面积为. 【小问2详解】 由为的角平分线，得. 又，即. 所以. 即， 当且仅当即时等号成立； 18. 已知数列的前项积为，其中，数列的通项公式为. （1）求数列及的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：. 【答案】（1），； （2）； （3） 由（1）得，，则数列单调递减，所以且， 所以，则， 所以， 故得证. 【解析】 【分析】（1）因为数列的前项积为，所以根据求得数列的通项公式，代入求数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法可求得数列的前项和； （3）利用不等式对进行适当放缩，再用裂项相消求和法求和，可证明不等式成立． 【小问1详解】 当时，； 当时，； 因为当时，也满足. 故数列的通项公式为. 因为， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，，则， 两边同乘以3，得： 两式相减得 所以数列的前项和. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）当时，求的值域； （2）若存在唯一的极值且为极小值，求的取值范围； （3）设，若存在使得对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数符号判断即可； （2）当时，分区间利用二阶导数讨论；当时，利用导数证明函数在内有极大值；综合（1）可得的取值范围； （3）解法一：利用隐零点方程消去，然后参变分离，构造函数，，利用导数求最小值可解；解法二：构造函数，利用导数，分类讨论的最小值即可得解. 【小问1详解】 当时，由，得， 又，，，所以， 故在单调递增． 又，， 故在上的值域为． 【小问2详解】 由（1）可知； 依题意得：； （ⅰ）若， ①时，，，此时， 故在无极值． ②当时，令，得． 由，，，则，从而在单调递增． 又，， 由零点存在性定理可知，存在，使得． 从而当，，当，． 在单调递减，在单调递增， 所以是在上唯一的极值且为极小值，故符合题意． （ⅱ）若，， 当时，则，从而在上单调递增，从而在上 没有极值点； 当，令，，， 则． 令， 则，故在单调递增， 所以，即，所以在单调递增． 因为，时，， 所以的值域为． 故当时，有唯一解， 且当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 此时在有唯一极大值点，不合题意，故舍去． 综上，． 【小问3详解】 解法一：由（2）可知，有且仅有一个极小值点， 故． 因为，所以， 由题意知，，可得， 即， 化简得，， 设，． 又 ． 因为，所以， 当时，，； 当时，，； 故在上单调递增，在上单调递减． 所以，此时，依题意，， 故的最大值是． 解法二：由得． 令， 则． 因为， 由（2）知，有且仅有一个极小值点，且． ①当时，．因为，所以． 又在上递减，在上递增．所以． 所以． ②当时，因为，所以． 又在上递减，所以． 此时． ③当时，因为，所以． 又在上递增．所以． 此时． 综上，当时，取得最大值， 依题意的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $