精品解析：黑龙江省大庆市靓湖集团三部联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

大庆市靓湖学校九年级第一次堂测 数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的值等于（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 3. 在中，为直角，，，那么以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，是的直径，弦于点E，若，则弦的长是（　　） A. B. C. 6 D. 8 7. 一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（　　） A. 3 B. 8 C. D. 2 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则其中结论错误的有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，是的直径，，，则的度数是______． 12. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是_______． 13. 如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则______． 14. 如图所示，中，弦交直径于点，，，且，则______． 15. 如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是________． 16. 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为______． 17. 如图，为的直径，为中长度为定值的弦，．作于E，连接，，．下列四个结论中：①O到的距离为定值；②；③当时，或；④为定值．正确的是 ___．（填所有正确的序号） 三、解答题：（本题共10小题，共66分） 18. 计算：． 19. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 20. 如图，在中，是BC边上的高，，，． （1）求线段的长度： （2）求的值． 21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 22. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． 图1 （1）求的度数； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 24. 我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： （1）若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； （2）若角的终边与直线重合，求的值； （3）若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 25. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； （3）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 26. 如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：AC·CD＝PC·BC； (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； (3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S． 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校九年级第一次堂测 数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案. 【详解】解：cos60°＝， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数值的求解，准确计算是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 3. 在中，为直角，，，那么以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案．本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：∵在中，为直角，，， ∴ 如图： 那么，则A符合题意； 则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：A 4. 一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键。已知对称轴为，设二次函数的解析式为，将图像中两点代入即可解得解析式. 【详解】解：由题可知，对称轴为直线， 设二次函数解析式为． 将两点代入， 得， 解得． 故这个二次函数的解析式为． 故选：D. 5. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 6. 如图，是的直径，弦于点E，若，则弦的长是（　　） A. B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 7. 一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】A．由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； C．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 故选： B． 8. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 9. 将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（　　） A. 3 B. 8 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE= AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长． 【详解】 连接CA、CD, 根据折叠的性质,知弧CD所对的圆周角等于∠CBD, 又∵弧AC所对的圆周角是∠CBA, ∵∠CBD=∠CBA, ∴AC=CD(相等的圆周角所对的弦相等) , ∴△CAD是等腰三角形, 过C作CE⊥AB于E. ∵AD=4，则AE=DE=2, ∴BE=BD+DE=7, 在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得： =BE⋅AB=7×9=63, 故BC=. 故选：A. 【点睛】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则其中结论错误的有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：由图象可知：，，， ，故错误，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故错误，符合题意； ，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知：， 当时，， 故正确，不合题意； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于时， 在轴下方的抛物线上存在点，使得， 即， ， ， ， ， 解得：，故错误，符合题意； 易知抛物线与轴的另外一个交点坐标为， ， 若方程， 即方程的两根为，， 则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故错误，符合题意； 故选：． 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，是的直径，，，则的度数是______． 【答案】##71度 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，利用邻补角求角度；可求，从而可求，根据同弧或等弧所对的圆心角相等，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义即可求出∠ABC的正弦值． 【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E， 则BD=AD=3，CD=1，如图所示． ， ∵AC•BD=AB•CE，即×2×3=×3•CE， ∴CE=， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE，BC的长度是解题的关键． 13. 如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题重点考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，通过平行四边形性质将圆心角与圆周角关联并建立方程是解题的关键． 利用圆内接四边形的性质和圆周角定理列方程求解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示，中，弦交直径于点，，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用垂径定理和勾股定理，含30度的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过圆心O作于E，连接，先证明，，再求出，，得到，继而求出，根据勾股定理，求出，则，即可解得． 【详解】解：过圆心O作于E，连接，如图 ∴，． ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，易证，从而可求出，，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，设， 在与中， ， ， ，， ，tan∠ADB＝＝， 设AB＝a，则AD＝2a， ∴BD＝a， ∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD， ∴AE＝CF＝a， ∴BE＝FD＝a， ∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a， ∴tan∠DEC＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 16. 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，全等三角形的性质与判定，连接，由正方形的性质可得，证明，得到，则可推出当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长， ∵图②中，图象上最低点的坐标为， ∴； ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴正方形的边长为2， 故答案为：2． 17. 如图，为的直径，为中长度为定值的弦，．作于E，连接，，．下列四个结论中：①O到的距离为定值；②；③当时，或；④为定值．正确的是 ___．（填所有正确的序号） 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】对于①：过O点作，由垂径定理即可求解；对于②：举反例，当A、B、E三点共线时，即时，此时；对于③由时，为等腰直角三角形，得到，进而得到，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解；对于④：由已知得到，进而得到，由为定弦即可求解，对于③④两类要注意分类讨论和的位置关系即可． 【详解】解：对于①：过O点做于H点，如下图所示： 由垂径定理可知：，由于为⊙O中长度为定值的弦， ∴为定值，且圆O确定后其半径也为定值， ∴必为定值，故①正确； 对于②：当A、B、E三点共线时，即：时，此时， 故②错误； 对于③：当时，连接，， （i）如下图， ∵， ∴， ∴， ∴； （ii）如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或，故③正确； 对于④：连接，，如下图所示， ∵为的直径， ∴， ∴， 又， ∴， 由同弧所对的圆周角相等可知，， ∴ ， ∵为定值， ∴为定值， ∴为定值， 当图形变为③（ii）中的情况时， 显然， ∴不一定为定值，故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角等于圆心角的一半、垂径定理、等腰直角三角形的性质等，熟练掌握圆周角定理及其推论以及利用分类讨论的思想是解决本类题的关键． 三、解答题：（本题共10小题，共66分） 18. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 19. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【解析】 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 20. 如图，在中，是BC边上的高，，，． （1）求线段的长度： （2）求的值． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】（1）根据sinB=求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD； （2）利用三角函数的定义，求出cos∠C的值即可． 【详解】解：（1）∵AD是BC上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∵sinB=，AD=12， ∴AB=15， ∴BD=， ∵BC=14， ∴DC=BC-BD=14-9=5； （2）由（1）知，CD=5，AD=12， ∴AC=， ∴cosC=． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键． 21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 【答案】6.64米 【解析】 【分析】通过垂径定理求出AD，再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD的值，从而得到点C到弦AB所在直线的距离. 【详解】解：如图：连接CO并延长，交AB于点D， ∵OD⊥AB，AB=6， ∴AD=AB=3， 在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°，cos∠OAD=， ∴AO=， ∵sin∠OAD=, ∴OD=AO·sin∠OAD=2.64， ∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米， 答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米. 【点睛】本题考查了垂径定理和三角函数的应用，通过垂径定理求出AD的值是解题关键. 22. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 又， 垂直平分， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数： （1）由直径所对的圆周角为90度，可证，进而可得垂直平分，即可证明； （2）连接，则，结合可得，进而可得，再由勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 由（1）得， ， ． 23. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． 图1 （1）求的度数； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 【答案】（1）∠ABC的度数为113.6； （2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内． 理由：延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90， ∴∠BMN，∠BMK， ∴∠NMH， 在Rt△NMH中， ， ∴(cm)， ∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)， ∵， ∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内． 【解析】 【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解； （2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得的长，比较即可判断． 【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形， ∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)， 在Rt△BMK中， ， ∴∠BMK， ∴∠MBK=90-=23.6， ∴∠ABC=23.6+90=113.6， 答：∠ABC的度数为113.6； （2）略 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 24. 我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： （1）若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； （2）若角的终边与直线重合，求的值； （3）若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可； （2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可； （3）根据角是钝角，且点是角终边上一点，得出点在第二象限，过点P作轴于点，根据三角函数定义得出，求出，得出，，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图1， ， 点在第四象限， ，， ， ，，， 、、中的正值是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合， 点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点． 如图2，点在第一象限，则，， ， ； 如图3，点在第三象限，则，， ， ； 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 解：如图4， 角是钝角，且点是角终边上一点， 点在第二象限， 作轴于点， ，且， ， 解得：， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、三角函数的定义，两点间距离公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 25. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； （3）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）17元 （3）；当时，日销售利润最大，最大利润1400元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质解决问题，解答时求出二次函数的解析式，是解题的关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 解得：或（不符合题意舍去）， 答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元． 【小问3详解】 解：根据题意得， ， ， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当时，日销售利润最大，最大利润1400元． 26. 如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：AC·CD＝PC·BC； (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； (3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S． 【答案】（1）略 （2） （3） 【解析】 【详解】解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°． 而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴． ∴AC·CD＝PC·BC； (2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E． ∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2． 又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝． 从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝ (3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC． ∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值； 而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝． 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为；的最大值为 （3）点M的坐标为：， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可； （3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交于点Q，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：根据折叠可知，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴或， 解得：或或， ∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在， ∴， ∴点M的坐标为，． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $