浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一上学期数学周末练4

杭州学军中学2025学年第一学期高一上数学周末练4 班级_________姓名_________ 一、单选题 1．命题“对任意，都有”的否定为（    ） A．对任意，都有 B．存在，使得 C．存在，使得 D．不存在，使得 【答案】B 2．已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必安条件 【答案】B 4．已知集合，若，则实数a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 5．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 6．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 7．已知函数满足，若，则（    ） A．128 B．4096 C．8192 D．16384 【答案】D 8．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域可以是空集 B．函数图像与y轴最多有一个交点 C．函数的单调递增区间是 D．若，则定义域、值域分别是， 【答案】BD 10．已知函数（）有两个零点和m，若对任意的实数，存在实数，使得，则实数m的值可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 11．下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．已知，，且，则的最小值为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若，，则的最小值为 【答案】ABD 三、填空题 12．已知不等式的解集是，其中，则不等式的解集是 . 【答案】 13．若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是 . 【答案】 14．函数，若存在正实数，其中且，使得，则的最大值是 . 【答案】8 四、解答题 15．若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围． 【详解】解：关于的不等式的解集是 ⟹恒成立. ①当时，则时，此时恒成立，符合题意． 则时，此时不恒成立，不符合题意． ②当时，即二次项系数小于，故不恒成立，不符合题意． ③当时，即时， 此时恒成立，符合题意． 综上所述, 16．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． (1)求函数的解析式； (2)若，，求： ①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数． 【详解】（1）由得，对称轴为， 设， ∴，得， ∴． （2）①，，对称轴， ⅰ当即时，在单调递增， ， ⅱ即时，在单调递减，在单调递增， ∴， ⅲ当即时，在单调递减， ， 综上： ②画出函数的图象图下图所示：    利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：    方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知： 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解. 17．第19届亚洲运动会预计将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州奥体博览城将成为杭州2023年亚运会的主场馆.主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为30年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是5万元，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式:（，为常数）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元. 30年的总维修费用为30万元.记为30年的总费用. （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用30年的总维修费用） (1)求的表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值. 【详解】（1）依题意，当，，即，可得， 故， 所以， 即的表达式为； （2） ， 当且仅当，即当时取得最小值， 所以隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元. 18．对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） (2)如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值. 【详解】（1），在上单调递增，由得或1， 函数的值域是，存在优美区间是， 是增函数，若存在优美区间，则， 而方程组无解，不合题意，所以不存在优美区间； （2），因为， 所以在和上都是增函数， 因此优美区间或， 因为函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. 所以，所以有两个同号的不等实根， ，， ，，或， ，同号，满足题意，又， ， 因为或，所以当，即时，． 19．定义域为的函数满足：，且对于任意实数，恒有，当时，. （1）求的值，并证明当时，； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由已知，对于任意实数，恒有， 令，，可得，所以. 因为当时，，所以，故. 令，设，则，， 因为，，所以. （2）设，则，， ， 由（1）知，，所以，即， 所以函数在上为减函数. （3）由得 所以 即， 上式等价于对任意恒成立， 因为，所以 所以对任意恒成立， 设，（时取等）， 所以， 解得或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第一学期高一上数学周末练4 班级_________姓名_________ 一、单选题 1．命题“对任意，都有”的否定为（  ） A．对任意，都有 B．存在，使得 C．存在，使得 D．不存在，使得 2．已知函数，则函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必安条件 4．已知集合，若，则实数a等于（  ） A．或3 B．0或 C．3 D． 5．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（  ） A．或 B． C． D． 6．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，若，则（  ） A．128 B．4096 C．8192 D．16384 8．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（  ） A．函数的定义域可以是空集 B．函数图像与y轴最多有一个交点 C．函数的单调递增区间是 D．若，则定义域、值域分别是， 10．已知函数（）有两个零点和m，若对任意的实数，存在实数，使得，则实数m的值可能是（  ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（  ） A．若，则的最小值为 B．已知，，且，则的最小值为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若，，则的最小值为 三、填空题 12．已知不等式的解集是，其中，则不等式的解集是 . 13．若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是 . 14．函数，若存在正实数，其中且，使得，则的最大值是 . 四、解答题 15．若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围． 16．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． (1)求函数的解析式； (2)若，，求： ①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数． 17．第19届亚洲运动会预计将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州奥体博览城将成为杭州2023年亚运会的主场馆.主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为30年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是5万元，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式:（，为常数）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元. 30年的总维修费用为30万元.记为30年的总费用. （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用30年的总维修费用） (1)求的表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值. 18．对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） (2)如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值. 19．定义域为的函数满足：，且对于任意实数，恒有，当时，. （1）求的值，并证明当时，； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $