第3章二次根式 单元自主达标测试题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《第3章二次根式》单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D．且 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 4．实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（    ） A． B． C． D． 5．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 6．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 7．用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分，已知，是的小数部分，是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C．1 D． E． 8．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若是整数，则正整数的最小值是 ． 10．计算： ． 11．化简二次根式的结果为 ． 12．等腰三角形的两边长分别为和，则其周长为 ． 13．若，则的值为 ． 14．若，则化简 ． 15．不等式的解集是 ． 16．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1) (2) 18．计算： (1) ； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 21．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） (2)求矩形木板的面积； (3)木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 22．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式的解集，解题的关键是熟练掌握二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义得，， 解得， 根据分式有意义的条件得，， 即， ∴且， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键．根据最简二次根式的概念，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 化简二次根式为绝对值后再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意可得： 原式 ， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 6．A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，分母有理化等知识，先求出，由是的小数部分，是的小数部分，求得，，再代入即可得出结论． 【详解】解：∵，而， ∴． 又∵，而， ∴． ∴． 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 9．7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质化简，计算括号内的，再计算二次根式的乘法即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质即可化简，注意字母a取非正数． 【详解】解：∵， ∴； ∴； 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查二次根式的加法运算，分长的边为腰和长为的边为腰，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当长为的边为腰时，周长为； 当长为的边为腰时，周长为； 故答案为：或． 13． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入计算的值． 【详解】解：由题意得且， ∴． ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 15． 【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， ∵， ∴系数化为1，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，二次根式的除法运算，易错点是不等式的两边都除以一个数时，不注意这个数是正数还是负数. 16． 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 17．(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并即可求解； （2）先计算乘除，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可； （2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．． 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，先把除法化为乘法，再化简，然后运算减法，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 20． 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键． 根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：． 21．(1) (2) (3)4 【分析】本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）正方形的边长等于面积的算术平方根； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可； （3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ， 即矩形木板的面积为； （3）解： ，， 最多能截出的木条数量为：， 故答案为：4． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 23．(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化为最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． （1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，根据完全平方公式将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解： ， ， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $