第3章 二次根式（复习讲义）数学湘教版2024八年级上册

第三章 二次根式（复习讲义） 一、基础目标：夯实核心概念与基本运算 1. 能复述二次根式的定义与基本性质，识别关键特征：能准确说出“形如（≥0）的式子叫做二次根式”，并能结合例子判断一个式子是否为二次根式；能复述二次根式的两个核心性质并通过具体数值验证其正确性；能识别二次根式有意义的条件（被开方数≥0）解决简单的问题。 2. 会推导并应用最简二次根式与同类二次根式的判断标准：能通过例题总结最简二次根式的两个条件：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；能独立将复杂二次根式化为最简形式；能判断化简后的二次根式是否为同类二次根式，并能完成同类二次根式的合并。 3. 能熟练进行二次根式的乘除运算，掌握基本法则：能记住并应用二次根式的乘法法则和除法法则，完成简单的乘除运算；能运用法则进行逆向运算，简化复杂根式的计算。 二、进阶目标：深化性质应用与运算技巧 1. 能灵活运用二次根式的性质进行化简，解决含隐含条件的问题：能运用的性质化简含字母的根式；能结合二次根式有意义的条件（被开方数≥0）和分式有意义的条件（分母≠0），解决复合问题（如“求使有意义的的取值范围”），并能用数轴表示解集。 2. 会运用乘法公式与运算律简化二次根式运算：能识别二次根式运算中的乘法公式，并应用于化简；能运用分配律、结合律简化混合运算，提高运算效率。 3. 能进行二次根式的混合运算，遵循运算顺序：能按照“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的顺序，完成二次根式的混合运算；能运用简便方法（如分母有理化）计算，减少计算量。 三、扩展目标：拓展思维与应用能力 1. 能解决含参数的二次根式问题，进行分类讨论：能分析含参数的二次根式的取值范围，根据参数的不同取值进行分类讨论；能解决含参数的方程或不等式。 2. 能运用二次根式解决实际问题，建立数学模型：能从实际问题（如几何图形的边长计算、物理中的速度/加速度计算）中提取信息，列出含有二次根式的表达式（如用勾股定理计算直角三角形的斜边长度）；能对实际问题中的二次根式结果进行解释，体会数学与生活的联系。 3. 能探索二次根式的规律，进行创新思维：能通过观察一组二次根式的规律，总结出一般结论；能运用规律解决简单问题，培养归纳推理能力。 知识点 重点归纳总结 常见易错点 二次根式的定义 被开方数必须是非负数（），否则二次根式无意义 . ① 二次根式的辨别只看原式，不看化简后的结果，如也是二次根式； ② 认为中的取值范围是（忽略了等于2的情况） 二次根式的性质 ① 双重非负性：； ② 转化性：； ③ 回归性：； ④ 积的算术平方根的性质： . ① 若，需同时满足和，而非仅解其中一个方程； ② 化简时，需要考虑的符号； ③ 无意义 最简二次根式 ① 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ② 被开方数不含分母 . 将被开方数分解因数/因式，将能开得尽方的部分提到根号外，注意绝对值，如而不是 同类二次根式 ① 先化简成最简二次根式； ② 被开方数相同的二次根式 . 需先化简再判断，避免直接看原式的被开方数 二次根式的运算 ① 加减法：化成最简二次根式，再合并同类二次根式； ② 乘法法则： ； ③ 除法法则： ； ④ 混合运算：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的 . ① 忽略了运算顺序，如（错误，应先乘后加）； ② 未用完全平方公式展开，如（错误） 分母有理化 ① 对于分母是的形式，需乘以（平方差公式）； ② 对于分母是的形式，需乘以（平方差公式）； ③ 对于分母是的形式，需乘以. 分母有理化不彻底，如需乘以，得到 题型一 二次根式的概念 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【变式1-2】有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式： ． 题型二 二次根式有意义的条件 【例1】二次根式有意义，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）使式子有意义的的取值范围是 ． 【变式1-3】（2025·四川成都·模拟预测）当 时，在实数范围内有意义． 【例2】要使有意义，能取的最小整数值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若等式成立，则x的取值可以是 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）已知，则y的值是 ． 题型三 最简二次根式的判断 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列式子中是最简二次根式的是（） A． B． C． D． 【变式1-1】下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 题型四 二次根式的值及化简 【例1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【变式1-2】当时，二次根式的值为 ． 【例2】下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】化简： (1)； (2)； (3)． 【例3】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）化简二次根式结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】化简： ． 【例4】若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】实数在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如下图所示．化简：． 题型五 利用二次根式的性质求字母的值或取值范围 【例1】已知，则的值为（） A． B． C．2024 D．2025 【变式1-1】若实数x、y满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D．0或 【变式1-2】（24-25八年级下·山东日照·期中）若是实数，且，那么的值为 ． 【变式1-3】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【例2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，则的取值范围是（    ）． A． B．且 C． D．可以取一切实数． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【变式2-2】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 题型六 由二次根式的值求参数 【例1】已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【变式1-1】如果，那么下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若成立，则x的值是 ． 题型七 由二次根式是整数求字母的值 【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【变式1-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 . 题型八 同类二次根式 【例1】（24-25八年级下·上海·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列二次根式：①；②；③；④．其中与是同类二次根式的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【变式1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【例2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列二次根式化简后，与化简后的被开方数相同的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河北唐山·三模）下列各数中，与的差为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列各式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【例3】若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【变式3-1】最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式3-2】最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【变式3-3】已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 题型九 分母有理化 【例1】在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 【变式1-1】化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 题型十 二次根式的大小比较 【例1】已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【变式1-1】已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】比较大小关系： ， ． 【变式1-3】（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 题型十一 二次根式的运算 【例1】下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列等式中，能够成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】按下列步骤计算： = = 【变式1-3】计算： (1)． (2)． 【例2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算 ． 【变式2-2】已知算式成立，则“□”处的数为 ． 【变式2-3】（2025·广东深圳·模拟预测）计算：． 【例3】（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·山西朔州·模拟预测）计算： ． 【变式3-2】计算 (1)； (2)． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算： (1) ； (2)． 题型十二 二次根式的化简求值 【例1】（2025·宁夏中卫·二模）化简求值：，其中． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【变式1-2】（23-24八年级下·河南周口·期末）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【变式1-3】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简． (2)若．求：①求的值． ②直接写出代数式的值________，________． 【例2】（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 【变式2-1】（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为 ． 【变式2-2】已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式2-3】（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 题型十三 二次根式的实际应用 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·福建莆田·期末）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为 【变式1-2】已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【变式1-3】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（kg）×高度（m），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 题型十四 二次根式中新定义类问题 【例1】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）定义运算“☆”的运算法则为，则 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是 ． 【变式1-2】定义两种新运算，规定：，，其中、为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【变式1-3】定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 题型十五 二次根式中规律性问题 【例1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察数表： 第1行：，2，，； 第2行：，，，4； …… 根据数表排列的规律，第13行从左向右第2个数是 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·云南文山·期中）观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·山东东营·期中）观察下列各式： ； ； ； ； ……． 你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来 ． 【变式1-3】观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 基础巩固通关测 1．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列式子中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 5．（24-25八年级下·吉林·期末）已知，则代数式的值为 ． 6．（2025·青海西宁·三模）如果代数式有意义，那么x取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 8．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 9．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算 (1)． (2)已知，求的值． 10．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简： 11．阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 12．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 能力提升进阶练 1．小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 6．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 7．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）若，则的最大值是 ． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如，则 ． 9．（1）计算： （2）计算： （3）解方程：． （4）先化简，再求值：，其中． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，，，且，求T的值． 12．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 二次根式（复习讲义） 一、基础目标：夯实核心概念与基本运算 1. 能复述二次根式的定义与基本性质，识别关键特征：能准确说出“形如（≥0）的式子叫做二次根式”，并能结合例子判断一个式子是否为二次根式；能复述二次根式的两个核心性质并通过具体数值验证其正确性；能识别二次根式有意义的条件（被开方数≥0）解决简单的问题。 2. 会推导并应用最简二次根式与同类二次根式的判断标准：能通过例题总结最简二次根式的两个条件：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；能独立将复杂二次根式化为最简形式；能判断化简后的二次根式是否为同类二次根式，并能完成同类二次根式的合并。 3. 能熟练进行二次根式的乘除运算，掌握基本法则：能记住并应用二次根式的乘法法则和除法法则，完成简单的乘除运算；能运用法则进行逆向运算，简化复杂根式的计算。 二、进阶目标：深化性质应用与运算技巧 1. 能灵活运用二次根式的性质进行化简，解决含隐含条件的问题：能运用的性质化简含字母的根式；能结合二次根式有意义的条件（被开方数≥0）和分式有意义的条件（分母≠0），解决复合问题（如“求使有意义的的取值范围”），并能用数轴表示解集。 2. 会运用乘法公式与运算律简化二次根式运算：能识别二次根式运算中的乘法公式，并应用于化简；能运用分配律、结合律简化混合运算，提高运算效率。 3. 能进行二次根式的混合运算，遵循运算顺序：能按照“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的顺序，完成二次根式的混合运算；能运用简便方法（如分母有理化）计算，减少计算量。 三、扩展目标：拓展思维与应用能力 1. 能解决含参数的二次根式问题，进行分类讨论：能分析含参数的二次根式的取值范围，根据参数的不同取值进行分类讨论；能解决含参数的方程或不等式。 2. 能运用二次根式解决实际问题，建立数学模型：能从实际问题（如几何图形的边长计算、物理中的速度/加速度计算）中提取信息，列出含有二次根式的表达式（如用勾股定理计算直角三角形的斜边长度）；能对实际问题中的二次根式结果进行解释，体会数学与生活的联系。 3. 能探索二次根式的规律，进行创新思维：能通过观察一组二次根式的规律，总结出一般结论；能运用规律解决简单问题，培养归纳推理能力。 知识点 重点归纳总结 常见易错点 二次根式的定义 被开方数必须是非负数（），否则二次根式无意义 . ① 二次根式的辨别只看形式，不看化简后的结果，如也是二次根式； ② 认为中的取值范围是（忽略了等于2的情况） 二次根式的性质 ① 双重非负性：； ② 转化性：； ③ 回归性：； ④ 积的算术平方根的性质： . ① 若，需同时满足和，而非仅解其中一个方程； ② 化简时，需要考虑的符号； ③ 无意义 最简二次根式 ① 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ② 被开方数不含分母 . 将被开方数分解因数/因式，将能开得尽方的部分提到根号外，注意绝对值，如而不是 同类二次根式 ① 先化简成最简二次根式； ② 被开方数相同的二次根式 . 需先化简再判断，避免直接看原式的被开方数 二次根式的运算 ① 加减法：化成最简二次根式，再合并同类二次根式； ② 乘法法则： ； ③ 除法法则： ； ④ 混合运算：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的 . ① 忽略了运算顺序，如（错误，应先乘后加）； ② 未用完全平方公式展开，如（错误） 分母有理化 ① 对于分母是的形式，需乘以（平方差公式）； ② 对于分母是的形式，需乘以（平方差公式）； ③ 对于分母是的形式，需乘以. 分母有理化不彻底，如需乘以，得到 题型一 二次根式的概念 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据形如的式子，叫二次根式，逐一判断得到答案即可； 【详解】解：首先排除B 和D，而的根指数是3，故选项A错误， 故选：C． 【变式1-1】下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 【变式1-2】有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 【变式1-3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式： ． 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型二 二次根式有意义的条件 【例1】二次根式有意义，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，可得，验证各选项即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， A．，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意； 故选：． 【变式1-1】（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得： 在数轴上表示为： 故选：D． 【变式1-2】（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）使式子有意义的的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于的一元一次不等式组，解一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：且， 故答案为：且． 【变式1-3】（2025·四川成都·模拟预测）当 时，在实数范围内有意义． 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，分式有意义的条件为分母不等于零，可得，解不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得． 故答案为：． 【例2】要使有意义，能取的最小整数值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，不等式的解法，根据二次根式有意义的条件可得，进一步求解即可. 【详解】解：根据题意可知，当时，二次根式有意义，即． 能取的最小整数值为． 故选A． 【变式2-1】若成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质得，解不等式组即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得， 故选：A． 【变式2-2】若等式成立，则x的取值可以是 ． 【分析】本题考查了含变量的指数方程的求解，主要涉及对底数和指数的分类讨论，并结合了二次根式的定义域和零指数幂的性质。讨论：当得到；当得到，当，，然后分别解关于的方程即可． 【详解】解：， 当时，，满足题意； 当时，， 解得：， 经检验为原方程的解； 当时，， 解得：，此时，不合题意； 综上所述，的值为0或27． 故答案为：0或27． 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）已知，则y的值是 ． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：4． 题型三 最简二次根式的判断 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列式子中是最简二次根式的是（） A． B． C． D． 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，该选项不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，该选项不是最简二次根式，不符合题意； D．，该选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选B． 【变式1-1】下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、是不能再化简的二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：∵都是最简二次根式，而，，， ∴均不是最简二次根式， 故答案为：0或1或3或4或5或7或9． 题型四 二次根式的值及化简 【例1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 【变式1-2】当时，二次根式的值为 ． 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 【例2】下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，根据二次根式的性质逐项化简求解判断即可 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，不正确，不符合题意； C、，不正确，不符合题意； D、，不正确，不符合题意； 故选：A 【变式2-1】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 根据二次根式的性质直接化简，逐项分析即可． 【详解】解：．，原计算错误，不符合题意； ．，原计算错误，不符合题意； ．，原计算错误，不符合题意； ．，原计算正确，符合题意； 故选：． 【变式2-2】化简： (1)； (2)； (3)． 【分析】题目主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【例3】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）化简二次根式结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：成立， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式3-2】已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 【变式3-3】化简： ． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式； 先根据二次根式有意义的条件求出，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可知， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，绝对值化简，再合并同类项即可； 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：． 【变式4-1】实数在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的性质，整式的加减，绝对值的意义，解题关键是根据数轴得出字母的范围． 先根据数轴得出字母的范围，再化简计算即可． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可得，，， 又， 所以， 故选：B． 【变式4-2】已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如下图所示．化简：． 【分析】本题考查了利用数轴确定式子的符号、二次根式的性质及绝对值的意义，根据数轴确定，，的符号是解题关键． 先利用数轴得出，，的符号，再利用二次根式的性质化简得出答案即可． 【详解】解：由数轴，得， 所以， 所以 ． 题型五 利用二次根式的性质求字母的值或取值范围 【例1】已知，则的值为（） A． B． C．2024 D．2025 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算．本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得； 解得． ． 把代入得 ， 解得． ∴． 故选：B． 【变式1-1】若实数x、y满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D．0或 【分析】本题考查了二次根式及绝对值的非负性，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性是解决本题的关键． 根据二次根式及绝对值的非负性，即可求得x、y的值，据此即可求得． 【详解】解：实数x、y满足， ，， 且， 解得且， 当，时，， 当，时，， 故的值为0或， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级下·山东日照·期中）若是实数，且，那么的值为 ． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简．根据二次根式有意义的条件，可得，，再代入计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 此时， ∴． 故答案为： 【变式1-3】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，算术平方根的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得隐含条件，得到，然后根据二次根式化简知识，即可求解； （2）先根据题意得到，再根据，求得或，然后即可求解； 【详解】（1）解：隐含条件，解得，所以， ∴原式． （2）解：∵，若，则，显然不成立，故． ∴，解得． ∵， ∴或． 当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 综上所述，的值为或． 【例2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若，则的取值范围是（    ）． A． B．且 C． D．可以取一切实数． 【分析】本题考查了二次根式的性质（）以及绝对值的性质（绝对值等于其本身的数是非负数），解题的关键是利用二次根式和绝对值的性质，分析等式成立的条件，从而确定的取值范围． 先依据二次根式性质将转化为，再根据绝对值等于自身时被绝对值的数是非负的，列出关于的不等式求解． 【详解】， ，解得， 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，分，，三种情况，根据二次根式的性质分类讨论即可． 【详解】解：当时， 原式， 当时， 原式， 当时， 原式． 故选：D． 【变式2-2】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，在解答此类问题时要注意进行分类讨论． （1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值． 【详解】（1）解：当时， 原式； （2）解：原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； （3）解：∵， ∴原式=， 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 题型六 由二次根式的值求参数 【例1】已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 【变式1-1】如果，那么下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质可得，求出a的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得：． 故选：C 【变式1-2】若成立，则x的值是 ． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求立方根．根据二次根式的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4 题型七 由二次根式是整数求字母的值 【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 【变式1-1】已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 . 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，关键是掌握．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：， ∵是正整数，是整数， ∴是完全平方数， ∴n的最小值是7. 故答案是：7． 题型八 同类二次根式 【例1】（24-25八年级下·上海·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C．，与的被开方数相同，是同类二次根式，故此选项符合题意； D．，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列二次根式：①；②；③；④．其中与是同类二次根式的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【分析】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识．将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④． 故选：C． 【变式1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义； 先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：，， 与是同类二次根式的是， 故答案为：． 【例2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，与不能合并，不合题意； B．，与不能合并，不合题意； C．，与能合并，符合题意； D．，与不能合并，不合题意； 故选C． 【变式2-1】下列二次根式化简后，与化简后的被开方数相同的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念以及二次根式的性质是解题的关键． 由题意根据二次根式的性质把各个二次根式化简，进而根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解： A、，与的被开方数不相同； B、，与的被开方数不相同； C、，与的被开方数不相同； D、，与的被开方数相同； 故选：D． 【变式2-2】（2025·河北唐山·三模）下列各数中，与的差为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的加减法，实数，根据二次根式的加减法、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】下列各式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义(几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式)是解此题的关键．先将各选项化简为最简二次根式后，若被开方数相同则可合并，否则不能． 【详解】解：， A：，能与合并； B：，能与合并； C：，能与合并； D：，不能与合并； 故选：D． 【例3】若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先把每个选项中的m的值代入，根据二次根式的性质进行化简，如果和是同类二次根式就可以合并，否则不能合并． 【详解】解：A、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、当时，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； D、当时，，与是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，解决此题的关键是掌握同类二次根式的定义即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 根据最简二次根式，以及同类二次根式的定义，列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故选A． 【变式3-2】最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【分析】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可．熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：． 【变式3-3】已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式，先化简，再结合同类二次根式的定义进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵为最简二次根式，且能够与合并， ∴ ∴， 故答案为：4 题型九 分母有理化 【例1】在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵， ∴，故甲的结果正确； ，故乙的结果正确； ，故丙的结果正确； 故选：A 【变式1-1】化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【详解】解： ． 故选A． 【变式1-2】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简 ． 【分析】根据提供的解题方法，解答即可． 本题考查了分母有理化，利用平方差公式正确找到有理化因式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化为最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． （1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，根据完全平方公式将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解：， ， ∴ ． 题型十 二次根式的大小比较 【例1】已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 【变式1-1】已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 【变式1-2】比较大小关系： ， ． 【分析】本题考查的是根据二次根式运算及分母有理化比较无理数的大小，根据二次根式的乘方及分母有理化计算比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，． 【变式1-3】（23-24八年级上·广东梅州·期中）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 题型十一 二次根式的运算 【例1】下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】下列等式中，能够成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法法则进行判断即可． 【详解】解：A. ，原等式不成立； B. ，原等式不成立； C. ，等式成立； D. 不能运算，原等式不成立； 故选：C． 【变式1-2】按下列步骤计算： = = 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：，． 【变式1-3】计算： (1)． (2)． 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【例2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次根式的加减，根据二次根式加减法法则进行计算后再判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，故此选项符合题意； B、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能计算，原选项计算错误，故此选项不符合题意； D、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】计算 ． 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-2】已知算式成立，则“□”处的数为 ． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则. 等号左边去括号并合并同类二次根式，根据等式的性质得到未知量的值. 【详解】解：设“□”处的数字为,则原式可化为： “□”处的数字为. 故答案为：． 【变式2-3】（2025·广东深圳·模拟预测）计算：． 【例3】（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 【变式3-1】（2025·山西朔州·模拟预测）计算： ． 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式计算得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-2】计算 (1)； (2)． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法，然后进行加减运算即可； （2）先计算乘法，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2） ，     ． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算： (1) ； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可； （2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二 二次根式的化简求值 【例1】（2025·宁夏中卫·二模）化简求值：，其中． 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，从而化简式子，最后将的值代入化简后的式子求值． 本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、除法运算、因式分解以及二次根式的化简．熟练掌握分式的运算法则、因式分解的方法以及二次根式的化简方法是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴原式 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式1-2】（23-24八年级下·河南周口·期末）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式1-3】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简． (2)若．求：①求的值． ②直接写出代数式的值________，________． 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，解题的关键是变形各式后利用来求解． （1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将a分母有理化得，移项并平方得到，对①，②的式子进行变形后代入求值． 【详解】（1）解：原式， ； （2）①∵， ∴， ， ， ， ； ②， ， ， ∵， ∴原式； ∵， ， ∴原式． 故答案为：1，3． 【例2】（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简，再分、同正或同负两种情况作答． 【详解】解：， 、同号， 原式， 当时，原式； 当时，原式； 故原式． 【变式2-1】（24-25八年级下·广西·期中）已知，则的值为 ． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 【变式2-2】已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 【变式2-3】（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 题型十三 二次根式的实际应用 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键．根据风筝的面积为，得到，再根据题中公式即可解答． 【详解】解：四边形的面积 ； ∴， 根据题意可得：， ∴用来做对角线的竹条至少要长． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·福建莆田·期末）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【详解】解：由的三边长分别为4，5，7， 得． ∴三角形的面积． 故答案为：． 【变式1-2】已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则． （1）根据长方形面积公式列式解答即可； （2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可； （3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为： （厘米）； （2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米， ∴正方形的边长为厘米， ∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为： （厘米）， 宽为：（厘米）， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为： （平方厘米）； （3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米， ∵，，，， ∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示： ∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条， ∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多． 【变式1-3】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（kg）×高度（m），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）依据题意，根据公式，代入计算即可． （2）依据题意，先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量高度，计算能量即可； （3）依据题意，根据（2）的结果即可判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∴． （3）解：由题意，结合（2）， ∴对人构成伤害． 故严禁高空抛物． 题型十四 二次根式中新定义类问题 【例1】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）定义运算“☆”的运算法则为，则 ． 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意列式后利用二次根式的性质即可求得答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶ ． 【变式1-1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是 ． 【分析】本题考查求平方根、二次根式的乘法，理解题干中的运算定义是解答的关键．根据题干中运算定义得到，进而得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，由得 ∴ 解得 故答案为： 【变式1-2】定义两种新运算，规定：，，其中、为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 【分析】本题考查了代数式求值，整式混合运算，完全平方式的非负性，难度不大． （1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果； （2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴“如意数”c为非负数． 题型十五 二次根式中规律性问题 【例1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察数表： 第1行：，2，，； 第2行：，，，4； …… 根据数表排列的规律，第13行从左向右第2个数是 ． 【分析】本题考查数字规律探究，解题的关键是通过观察前面两行的数值，得到数字的规律．根据数表推断出每行的数的个数为4个，每个数分别是的算术平方根，据此得到第n行从左向右第二个数为即可求解． 【详解】解：由数表可知： 第1行：，，，； 第2行：，，，； 第3行：，，，； …… 因此，第1行从左向右第二个数为， 第2行从左向右第二个数为， 第3行从左向右第二个数为， …… 第n行从左向右第二个数为， 所以第13行从左向右第二个数为， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·云南文山·期中）观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查数字变化的规律，二次根式的乘法运算，能根据所给的二次根式，找出被开方数的变化规律是解题的关键．先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 第个式子是． 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·山东东营·期中）观察下列各式： ； ； ； ； ……． 你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来 ． 【分析】本题考查二次根式的化简．根据各式计算得到结果，得出规律写出即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 以此类推，， 故答案为：． 【变式1-3】观察下列各式： ； ； ． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________； (3)利用上述规律计算：． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）（2）根据已知等式的规律可得结论； （3），在根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 基础巩固通关测 1．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列式子中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：①被开方数的因数不含完全平方数；②分母不含根号．逐一分析选项即可． 【详解】A．被开方数含有分母，不是最简二次根式； B．被开方数5无平方因数，且无分母根号，符合最简条件； C．被开方数4是完全平方数，可化简为2，不是最简； D．被开方数为小数，需进一步有理化，不是最简． 故选B． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选：D． 3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知，则（   ） A．2025 B． C． D．5050 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：由和的被开方数非负性，得， 解得：， 将代入原方程，得， ， 将和代入，得， 故选：B． 5．（24-25八年级下·吉林·期末）已知，则代数式的值为 ． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， 当时，原式， 故答案为：． 6．（2025·青海西宁·三模）如果代数式有意义，那么x取值范围是 ． 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且． 故答案为：且． 7．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为；；；…， 所以第n个等式可表示为 当时， 第4个等式为 由上述规律可知， 原式 故答案为：， 9．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算 (1)． (2)已知，求的值． 【分析】本题考查的是二次根式的化简及混合运算，平方差公式，求代数式的值，掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则是解题的关键． （1）先把各个二次根式进行化简，再进行二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式即可； （2）先算出的值，再利用平方差公式算出的值，最后用完全平方公式把即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 10．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简： 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，解题的关键是掌握相关知识．由数轴可知：，，得到，，，再根据二次根式和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ，，， ， ， ， ， ． 11．阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可； （2）①根据有理化因式得到，，即可比较大小； ②仿照题意根据分母有理化的方法得到，再把所求式子裂项求解即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， ， 故答案为：，； （2）解：①，， ，， ， ， ， 故答案为：； ②∵ ， ． （3）解： ， ， ， ， ，， ． 12．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【详解】（1）由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 能力提升进阶练 1．小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】本题考查了无理数以及二次根式的混合运算，先分别计算卡片A，B，C上的算式，再根据无理数的定义判断其中的两个无理数，再根据二次根式的性质以及运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A，C上的数是无理数，卡片B上的数是有理数， ． 故选：A． 2．若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解不等式组，由题意可得，然后解不等式组并在数轴上表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的取值范围在数轴上表示为， 故选：． 3．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的化简．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴ ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可． 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 5．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）若，则的最大值是 ． 【分析】根据题意，得，设，得，继而得到，故得到，配方，利用非负性解答即可． 本题考查了二次根式的定义，换元，配方，非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 设，则， 故， 故， 而， 故， 故当时，此时，y取最大值，且为． 故答案为：． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如，则 ． 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的混合运算，根据新定义运算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 9．（1）计算： （2）计算： （3）解方程：． （4）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握相关运算法则，解分式方程的步骤，正确的计算是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （3）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （4）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3） 去分母，得：， 解得：； 当时，， 故是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解； （4）原式 ； 当时，原式． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答． （2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（米）． 答：该长方形闲置区域的周长为米 （2）解： （平方米）． ∴其余的面积为平方米， （元）． 答：购买红毯大约需要花费1350.7元． 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，，，且，求T的值． 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是； 故答案为： （2）解：猜想：， 证明： ； （3）解：当，时， 12．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （2）先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子化简求解即可； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2），， ． ． ． ， ， ， 解得：； （3）， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$