专题04 椭圆13大题型（期中复习课件）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦高二椭圆专题，涵盖定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆位置关系等核心知识点，通过“学情分析—必备知识—重难点题型—分层验收”的学习支架，串联定义推导、方程应用到位置关系判断的脉络，帮助学生系统构建知识体系。 其亮点是以数学抽象、数学运算和直观想象素养为核心，必备知识部分用集合语言表述定义、推导标准方程培养抽象能力，题型部分通过根的判别式判断位置关系等例题提升运算与推理能力，分层验收满足不同学生需求。学生能夯实基础突破难点，教师可直接用于复习教学提高效率。

专题04椭圆（期中复习讲义） 高二数学上学期 期中复习大串讲 人教A版选修一 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的定义 理解并掌握椭圆的定义,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 椭圆及其标准方程 掌握椭圆的标准方程及其推导过程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题或者大题第（1）问，计算能力是关键 椭圆的简单几何性质 1、掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系,培养数学抽象的核心素养. 2、尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，常出现在小题，特别是离心率的求法是高频考点 核心考点 复习目标 考情规律 直线与椭圆的位置关系 掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系,培养直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在大题 椭圆的弦长公式、中点弦问题 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 重难必考点，利用韦达定理、点差法突破弦长公式以及面积问题、中点弦问题 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 椭圆的定义 知识点01 1、椭圆的定义 椭圆的定义 知识点01 2、定义的集合语言表述 椭圆的标准方程 知识点02 1、椭圆标准方程的推导 椭圆的标准方程 知识点02 1、椭圆标准方程的推导 椭圆的标准方程 知识点02 1、椭圆标准方程的推导 椭圆的标准方程 知识点02 2、椭圆的标准方程对比 椭圆的标准方程 知识点02 3、椭圆标准方程的求解 点与椭圆的位置关系 知识点03 椭圆的焦点三角形 知识点04 椭圆的简单几何性质 知识点05 椭圆的简单几何性质 知识点05 椭圆的简单几何性质 知识点05 椭圆的简单几何性质 知识点05 直线与椭圆的位置关系 知识点06 直线与椭圆的位置关系 知识点06 直线与椭圆的位置关系 知识点06 中点弦问题与点差法 知识点07 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 椭圆的定义及其辨析 题型一 解｜题｜技｜巧 【例1】 D 【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案. 故选：D. 【例2】 A 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 故选：A. 判断方程是否表示椭圆 题型二 解｜题｜技｜巧 【例1】 B 【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可. 故选：B. 【例2】 D 【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解. 故选：D. 点与椭圆的位置关系 题型三 解｜题｜技｜巧 点与椭圆的位置关系 题型三 解｜题｜技｜巧 【例1】 B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 故选：B. 【例1】 B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 故选：B. 【例3】 【例4】 椭圆的标准方程 题型四 解｜题｜技｜巧 【例1】 A 【分析】根据椭圆上的点及椭圆的长短轴关系即可求得椭圆方程. 故选：A. 【例2】 B 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 故选：B. 椭圆中的焦点三角形问题 题型五 解｜题｜技｜巧 【例1】 C 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 故选：C. 【例2】 A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 故选：A. 椭圆的轨迹方程求法 题型六 解｜题｜技｜巧 【例1】 B 【分析】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程. 故选：B. 【例2】 A 【分析】利用动点转移可求m的轨迹方程. 故选：A. 【例3】 【分析】本题根据中垂线的性质可得点 的轨迹是椭圆 【例4】 椭圆中的距离最值问题 题型七 解｜题｜技｜巧 【例1】 D 【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点 到左焦点 的距离最小值. 故选：D. 【例2】 C 【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可. 故选：C. 【例3】 11 椭圆的简单几何性质 题型八 解｜题｜技｜巧 【例1】 D 故选：D. 【例2】 B 故选：B. 椭圆的离心率问题 题型九 解｜题｜技｜巧 椭圆的离心率问题 题型九 解｜题｜技｜巧 【例1】 B 故选：B. 【例2】 A 故选：A. 直线与椭圆的位置关系（含弦长和相切） 题型十 解｜题｜技｜巧 直线与椭圆的位置关系（含弦长和相切） 题型十 解｜题｜技｜巧 【例1】 A 故选：A. 【例2】 【例2】 B 故选：B. 【例3】 【例4】 椭圆中的面积问题 题型十一 解｜题｜技｜巧 椭圆中的面积问题 题型十一 解｜题｜技｜巧 椭圆中的面积问题 题型十一 解｜题｜技｜巧 【例1】 【例2】 椭圆中的中点弦问题 题型十二 解｜题｜技｜巧 【例1】 D 故选：D. 【例2】 C 故选：C. 椭圆中的定值、定点问题 题型十三 解｜题｜技｜巧 【例1】 【例2】 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） A B B D D A A D C B C 期中重难突破练（测试时间：10分钟） B A D 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 集合. （1）怎样建立适当的直角坐标系？图1 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数． 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为，，所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得，整理得 再平方并整理得，两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 【常用结论】 ①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； ②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 注：离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 ①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： ②椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 证明：设，，则椭圆 两式相减得 ． （1）对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. ②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件. （2）椭圆定义的两个应用 ①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),则动点M的轨迹是椭圆. ②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a. （24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 由于椭圆，故椭圆长半轴长为， 故， （24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（     ）. A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 1、根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小. 2、由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围). （1）求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2=b2+c2求出c,即可写出焦点坐标. （2）已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程+=1,当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆. （23-24高二上·云南昆明·月考）方程表示椭圆的充要条件是（   ）. A． B．或 C． D． 若表示椭圆， 则，解得或. （25-26高二上·江苏南通·月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 椭圆方程， 上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 根据椭圆的标准方程判断点P(x0,y0)与椭圆[以+=1(a>b>0)为例]的位置关系有两种方法 （1）直接利用下面的结论: ①点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1; ②点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1; ③点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1. （2）先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论: ①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内; ②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上; ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外. （23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 由于，所以在内， 若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 由点在椭圆的内部，可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， （24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． （24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． 2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； 3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． （23-24高二上·河南开封·期中）已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 由题可知，所以， 且椭圆C的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为. （24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 焦点三角形的求解思路 1、关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； 2、在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． （24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. （25-26高二上·四川·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 （1）设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． （24-25高二上·重庆·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 由两点间距离公式知的几何意义是点到与的距离之和为，， 点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为， 则，，，，，点轨迹方程为：. （24-25高二上·江苏泰州·月考）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 设，则，因在曲线上， 故即， （2025高二·全国·专题练习）已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为 ． 连接，因为圆，所以圆心为，半径， 由垂直平分线的性质可知，则，而，故点的轨迹是焦点为，的椭圆，且，即，则，因此，点的轨迹方程为． （24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 由已知得，圆半径为9，圆半径为1，设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内，由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内，故，所以，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，则，所以，所以曲线的方程为. 解决椭圆最值问题的最常见思路 1、与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件； 2、与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． （24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ）. A．8 B．5 C．3 D．2 由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. （24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 椭圆， 故， 故，当且仅当时，等号成立. （23-24高二上·天津滨海新·期中）已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为 . 【分析】通过解析式求出椭圆的的值，做出图像后知道圆与椭圆的位置关系，由椭圆的定义可知为定值，所以当三点共线时最大，求出最大值. 如图：由椭圆可知，， 在椭圆中， 又因为圆心为，所以当三点共线时（如图），最大， 此时， （1）由椭圆方程讨论其几何性质的步骤: ①化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个坐标轴上; ②由标准形式求出a,b,c,写出其几何性质. （2）椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系: ①椭圆的焦点决定椭圆的位置; ②椭圆的范围决定椭圆的大小; ③椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; ④对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点. （25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】根据椭圆方程求得椭圆的焦点在轴上，且，即可求得焦点坐标. 由可知椭圆的焦点在轴上，且，， 则，故椭圆焦点的坐标为，． （25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．2或4 【分析】根据题意，分焦点在轴与轴两种情况进行求解. 由的短轴长为4，得，即，则． 若，则，显然矛盾； 若，则． 1、求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下: （1）若已知a,c,可直接代入e=求得. （2）若已知a,b,则使用e=求解. （3）若已知b,c,则求a,再利用（1）或（2）求解. （4）若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围). 2、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． （24-25高二上·湖南衡阳·月考）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【分析】由椭圆离心率的公式计算. 椭圆满足， 则该椭圆的离心率. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 由得， 又， 所以，，得， 所以． 1、判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 2、求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. （23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围． 直线代入椭圆方程消去y得：； ∵直线与椭圆有公共点，方程有解，∴； 解得，即m的取值范围为. （2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 设直线的方程为，由，得，由，得，则，所以 （2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. ，当时取到最大值，此时直线的方程为． （24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是 . 【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解. 直线，即，直线恒过定点， 直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又，故． 已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为 ． 【分析】设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，再由切线过点的坐标可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标． 解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0，设切线的方程为：，，由于过点可得：，①联立直线与椭圆的方程，整理可得：，则，可得②， 由①②可得：，，所以切线方程为：； 可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得， 即切点，所以直线的方程为：，切点的坐标． 1、三角形面积问题 直线方程： 2、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 3、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. （24-25高二上·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程；（2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. （1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得，所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. （25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【分析】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. （1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 解决椭圆中点弦问题的三种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. （3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为a(x,y),则另一个交点为b(2x0-x,2y0-y),则两式作差即得所求直线方程. 已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 设，，，则，，， 所以，所以，将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：，所以，则， （24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用点差法求解即可. 设斜率为1的平行直线为与椭圆交于两点,设，线段中点为,∴，∵两点在椭圆上， ∴且，两式相减得，即，∴，∴，即， 故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为. 解决与椭圆有关的定点、定值问题常利用设而不求的思想,将相关各量设出,然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来,最后说明要求解的量与变量的取值无关即可.解决此类问题时,偶尔需要先根据题意观察定点,这类特殊位置一般在特殊点处取得. （24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【分析】（1）代入点坐标计算可得，可得椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得的表达式并化简可得结论. （1）因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示：联立，消去得到， 易知，可得；且， ，故是定值. （24-25高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【分析】（1）根据题意列出斜率的等式化简为椭圆的一般方程， （2）（ⅰ）先求出直线AP方程，再联立直线和椭圆的方程解出点坐标,求出弦长结合三角形面积公式求解即可，（ⅱ）结合对称性，若直线l过定点，则定点必在y轴上，猜测出定点的坐标为，然后证明即可. （1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 1．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 椭圆，则，又是椭圆上的一点， 所以. 2．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 表示平面内到点，的距离之和为的动点的轨迹，由于，所以点的轨迹是椭圆. 3．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得， 所以m的取值范围是. 4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 由题意得，，所以，． 5．（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 6．（24-25高二上·四川眉山·月考）若椭圆的焦点在轴上，则实数的范围是（  ） A． B． C． D． 由题设，可得. 7．（24-25高二上·广西北海·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 由题意易得，则， 因为椭圆的离心率为，所以， 则， 故的标准方程为， 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 9．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 设，由题知，，所以， 又，所以，将其代入1，解得， 所以， 1．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 因为为线段的垂直平分线，根据对称性，，， 所以的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到的周长为． 2．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 依题意，设椭圆的方程为，由在上，得， 显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而， 又，于是，，因此，解得， 所以椭圆 的标准方程是. 3．已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为（    ） A． B． C．8 D．64 如图，左右顶点的坐标分别为，设椭圆上任意一点坐标为，且P不与A、B重合， 则，又在椭圆上，故，所以，则，所以同理可得∴直线这6条直线的斜率乘积 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 如图：设，则，，.因为，所以.又，所以.所以，，.又.所以.所以.所以. 5．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 设，则，所以，又， 所以，又，所以， 所以，，，， 所以， 5．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ． 所以，所以， 所以，所以，又三角形的面积为， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以椭圆的方程为． 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆焦点在轴，离心率为，且过点，直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆经过定点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值． （1）由题意，设椭圆方程为由于椭圆离心率为，且过点， 则，解得，故椭圆的标准方程为：； （2）联立，可得， 设，则当时有， 若以为直径的圆经过定点，所以， 由，得， 将代入可得， 代入韦达定理可得： 化简可得，因，得，则直线，故直线过定点， 则 ，令，则，当时，取得最大值. 7．（25-26高二上·广西南宁·月考）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． （1）设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以， 且， 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍），所以直线过定点． 8．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. （1）由题意可得解得故椭圆的方程为． （2）证明：由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 由消去后整理得， 直线与椭圆交于两点， . 设点，的坐标分别为，， 则，， ，， 整理得， ，又， ， 点，都在第一象限， ，即， 故直线的斜率为定值． $