专题07 抛物线（12大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题07 抛物线（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 抛物线的标准方程】 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【知识清单2 抛物线的简单几何性质】 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【知识清单3 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【知识清单4 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于，两点，则 |AB|=或 |AB|= (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为，，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【知识清单5 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 题型1 抛物线的定义的理解 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由抛物线方程求焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义条件可转化为点到准线的距离为，由此可求结论. 【解答过程】由抛物线可得焦点，准线方程为， 因为点到焦点的距离是， 由抛物线的定义，可得点到准线的距离为， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 2．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用抛物线定义即可求解. 【解答过程】设，根据抛物线定义可知，， 又点到焦点的距离与到轴的距离之差为1， 则，解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·江西九江·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【解答过程】根据抛物线的定义，可知，解得. 故选：B． 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 . 【答案】 【解题思路】首先求出焦点坐标，依题意点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，从而得到，即可得解. 【解答过程】抛物线焦点为， 点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离， 点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离， ，解得； 故答案为：. 5．（24-25高二上·福建福州·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为 . 【答案】2 【解题思路】由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得可得答案. 【解答过程】因为为抛物线的焦点，所以， 设，由抛物线的性质得：，故到的距离为2. 故答案为：2． 题型2 求抛物线的轨迹方程 6．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【解答过程】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 7．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解题思路】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【解答过程】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D. 8．（24-25高二上·福建龙岩·期末）二次函数图象的顶点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【解题思路】根据二次函数写出顶点坐标，即可得轨迹方程，判断轨迹图形即可. 【解答过程】由，则顶点坐标为， 所以顶点的轨迹是，为抛物线. 故选：C. 9．（24-25高二上·安徽·期末）若点到点的距离比它到定直线的距离小1，则点满足的方程为 . 【答案】 【解题思路】根据抛物线的定义可得动点的轨迹方程． 【解答过程】点到点的距离比它到直线的距离少1， 所以点到点的距离与到直线的距离相等， 所以其轨迹为抛物线，焦点为，准线为， 所以方程为， 故答案为：． 10．（24-25高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】(1) (2)16 【解题思路】（1）根据点点距离公式即可求解， （2）根据点差法求解直线的斜率，即可由焦点弦公式即可求解. 【解答过程】（1）设，则． 由，可得， 整理得的方程为． （2）设， 因为线段的中点为，所以， 则，则． 所以， 则直线的方程为，显然直线经过点． 由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以． 题型3 抛物线中距离的最值问题 11．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【解答过程】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值. 由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 12．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 【答案】B 【解题思路】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值. 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 13．（24-25高二上·安徽·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的定义、余弦定理得，再应用基本不等式求最值. 【解答过程】由抛物线的定义知，，，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A. 14．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，结合图形可知，当、、三点共线时，即当时，取最小值，即可得解. 【解答过程】易知抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义可得，则， 结合图形可知，当三点共线时，即当时，取最小值， 且最小值为，因此，的最小值为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 【答案】 【解题思路】作点关于的对称点，确定，根据计算得到答案. 【解答过程】如图所示，作点关于的对称点，连接，设点，不妨设， ，直线方程为，，， 即，由， 当且仅当三点共线时取等号， 又 ， 故的最小值为． 题型4   求抛物线的焦点及准线 16．（24-25高二上·浙江杭州·期末）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】写出抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标. 【解答过程】由题设，抛物线的标准方程为，则焦点坐标为. 故选：C. 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【解答过程】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 18．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】写出准线方程，由题意建立等式，求得准线，从而得到焦点坐标. 【解答过程】由题已知点到抛物线：的准线的距离为5,则抛物线准线方程为，则焦点为， 故选：A． 19．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为 ． 【答案】. 【解题思路】由抛物线标准方程直接得解. 【解答过程】由题抛物线标准方程为，所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【解题思路】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线方程. （2）首先求出和直线的方程，然后求出点的纵坐标，最后根据面积公式求出的面积即可. 【解答过程】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 题型5 求抛物线的标准方程 21．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得. 【解答过程】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 22．（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解. 【解答过程】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为． 故选：D. 23．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【解答过程】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 24．（24-25高二上·湖南张家界·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 【答案】 【解题思路】根据抛物线方程与准线的关系，列式求解. 【解答过程】设抛物线的标准方程为 ，由题意可知，， 得，所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 25．（24-25高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据题意求出的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程； （2）根据双曲线的焦点位置可直接得出双曲线的标准方程； （3）对抛物线的焦点位置进行分类讨论，设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数的值，即可得出抛物线的标准方程. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 又因为椭圆的焦点在轴上，因此，所求椭圆的标准方程为. （2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程为. （3）若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 此时，抛物线的标准方程为； 若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程为，解得， 此时，抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为或. 题型6 抛物线的焦半径公式 26．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，利用求出，再由抛物线焦半径公式可得答案. 【解答过程】由题意可得，设， ， 因为， 所以，整理 得，又，所以， 解得，（负值舍去）， 所以 故选：A. 27．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解答过程】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 28．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知抛物线的焦点是，若拋物线上的点到的距离为4，则点到轴的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】设点，由抛物线的焦半径公式得，则到轴的距离可求． 【解答过程】设点，准线方程为，由抛物线定义可得，得， 所以点到轴的距离为2. 故选：A. 29．（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 【答案】2 【解题思路】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【解答过程】因为为抛物线上一点，， 所以，解得. 故答案为：2. 30．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则 . 【答案】 【解题思路】由抛物线方程和其上两点坐标，可推出，利用焦半径公式即可求得答案. 【解答过程】由抛物线，，是上两点， 得，结合，得， 又，则， 故， 故答案为：. 题型7 实际问题中的抛物线 31．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时， ，所以水面宽度为． 故选：B. 32．（24-25高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【解答过程】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 33．（24-25高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，先求抛物线方程，然后求解即可. 【解答过程】以拱形顶点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则， 设抛物线方程为， 则有，解得，得抛物线方程为， 令，则，得， 所以，当水面上升后，水面宽为m. 故选：C. 34．（24-25高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 【答案】 【解题思路】先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论. 【解答过程】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 设抛物线方程为，由图易知抛物线过点， 所以，得到，故抛物线方程为， 又行车道AB总宽度，将代入，得到， 所以限制高度为， 故答案为：. 35．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1) (2)能 (3)3 【解题思路】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【解答过程】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 题型8 直线与抛物线的位置关系 36．（24-25高二上·广东·期末）已知为抛物线的焦点，为第一象限内位于上的两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】合理作出图形，找到直线的倾斜角，在直角三角形内求解其正切值即可. 【解答过程】设抛物线准线为，过两点分别作，垂足分别为， 作于点，如图所示： 由抛物线定义得， 故，而在直角三角形中，， 由题意得直线的倾斜角为，且设斜率为， 由斜率的几何意义得， 即直线的斜率为，故A正确. 故选：A. 37．（24-25高二上·辽宁大连·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由可得，解方程组即可求解. 【解答过程】由题知，直线的斜率必存在，故设直线方程为：. 联立方程组，消去并整理得. ， 设，，则，. ，，即. 由韦达定理得. 联立方程组，解得或. . 故选：A. 38．（24-25高二上·重庆·期末）如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用两点斜率公式、直线垂直的性质与直线的点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示列式即可得解. 【解答过程】设， 由于，故,故， 直线， 联立，消去，得， 故， 由于，则，因此， 故， 因此，解得 故选：A. 39．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，且，于点，点的坐标为，则 ． 【答案】 【解题思路】求出直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用得到，即，解得. 【解答过程】，由垂直关系可知， 设直线方程为，即， 与联立得， 设，则， 则 ， 因为，所以，即，解得. 故答案为：. 40．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点. (1)求抛物线的方程与焦点坐标； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据抛物线过点代入方程求出，即可得到抛物线方程，及焦点坐标； （2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解. 【解答过程】（1）因为点在抛物线上， 所以，解得，所以抛物线方程为，焦点为 （2）设，联立 得， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 则， ，即， 解得或， 又当时，直线过原点，不符合题意，故舍去； 所以实数的值为. 题型9 抛物线的弦长与焦点弦问题 41．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【解答过程】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 42．（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【解题思路】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【解答过程】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A. 43．（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直线和抛物线联立，设，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案. 【解答过程】由题意，抛物线的焦点， 直线和抛物线联立，可得. 设，可得， 由抛物线的定义可得， 因为，可得与， 得到，所以方程为. 故选：C. 44．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 【答案】 【解题思路】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得. 【解答过程】直线过点，又抛物线的焦点坐标为， 所以，解得，所以抛物线，设，， 由，消去可得，显然， 所以，则. 故答案为：. 45．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 【答案】(1) (2)16 【解题思路】（1）将代入抛物线方程即可求解； （2）直线方程与抛物线方程联立，方法一：利用弦长公式或两点间距离结合韦达定理可求；方法二：利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【解答过程】（1）因为抛物线过点， 所以，解得， 所以抛物线方程为. （2）设， 联立消去可得，. 由一元二次方程根与系数的关系得，. 方法一： . 方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点， 如图，设，过两点分别向准线作垂线，垂足为. 由抛物线的定义可知，. 于是. 由方法一可得， 于是. 题型10 抛物线中的面积问题 46．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意设直线的方程为，与抛物线方程联立并应用韦达定理，求解即可. 【解答过程】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为， 设， 联立，得，， 由韦达定理得， 又，所以，所以， 解得或，所以， 所以. 故选：A. 47．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【解答过程】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程，将代入, 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得，. 则. 将，代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为、位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得，. 当时，；当时， 所以，. . 所以. 故选：B. 48．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，其中B，C两点在x轴上方.若，则四边形面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线CD的方程为，将该直线CD的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、关于的表达式，利用基本不等式求出答案. 【解答过程】设直线CD的方程为，设点、， 联立，可得，所以， 所以， 同理可得， 所以，四边形的面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形面积的最小值为， 故选：D. 49．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为 . 【答案】1 【解题思路】设直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理结合弦长公式求得，再求出到直线的距离后，由面积公式计算． 【解答过程】由题意，直线方程为，设， 由得， 所以， 又， 所以，解得（负值舍去），即直线方程为， 所以到直线的距离为， ， 故答案为：1. 50．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【解题思路】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【解答过程】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为：. 题型11 抛物线中的参数范围及最值 51．（24-25高二上·贵州黔西·期末）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据题意设，进而根据点到直线的距离并结合二次函数最值求解即可. 【解答过程】根据题意设， 所以点到直线的距离为：， 当且仅当时等号成立，此时， 所以点到直线的最短距离为. 故选：B. 52．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】如图，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解. 【解答过程】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 故选：A． 53．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值. 【解答过程】将代入中得，，解得，故， 设，由题意得， 其中，， 故，即， 故，即， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， ，则， 故，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 故点A到直线BC的距离最大值. 为取等号，，因为，以，满足, 故选：C. 54．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）先得到，由抛物线定义得到方程，求出，设，则，作出辅助线，得到，从而得到方程，求出答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，得到两根之和，两根之积，由得，求出，转化为对有解，而，所以，求出解集，因为，所以. 【解答过程】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 55．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为坐标原点，点，，是抛物线上不同的三点，其中，点在第一象限，直线与平行，直线与交于点，直线与直线交于点． (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）将点坐标代入方程求出值即得. （2）根据给定条件，设直线，抛物线方程联立，利用韦达定理，结合方程组法求出点纵坐标即可. （3）利用弦长公式列式求出的函数关系，借助基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）由在抛物线上，得，解得， 所以抛物线的准线方程为. （2）直线的斜率，设直线，， 由消去，得，则，， 直线方程为，直线方程为，即， 由，得点纵坐标，即点， 同理得直线方程为，直线方程为，点， 所以直线方程为.    （3）由（2）知，， 令，而，要最小，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 题型12 抛物线中的定点、定值、定直线 56．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出的方程，，的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去，根据韦达定理求得，的表达式，进而根据推断出，求得，即可求出结果. 【解答过程】设直线的方程为代入抛物线，消去得， 设，，则，，， 所以 ， 所以，故直线过定点. 故选：B. 57．（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 【答案】(1) (2)过定点 【解题思路】（1）联立直线方程与抛物线方程，求出，再代入抛物线方程即可求解； （2）设则，求出直线的方程，可得其与抛物线的交点的坐标，表示出直线的方程，结合点在抛物线上化简方程，即可求出直线所过定点坐标. 【解答过程】（1）由题意得，解得， ，解得， 抛物线方程； （2）设，则， 直线的方程为， 与，联立得， ， 直线的方程为， ，所以 直线的方程化简得， 直线过定点. 58．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M． (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程： (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程； （2）运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到的定值． 【解答过程】（1）由题意知，设直线的方程为， 由  得：，所以 所以，所以，故抛物线的方程为； （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则： 所以： ，即 所以： 59．（24-25高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【解题思路】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【解答过程】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 60．（24-25高二上·甘肃·期末）已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值； (3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3)直线过定点 【解题思路】（1）利用点在抛物线上，直接代入即可得解； （2）根据题意，联立直线与抛物线方程求得，同理求得，再利用两点斜率公式即可得解； （3）根据题意，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，进而求得，，再利用向量垂直的坐标表示求得的关系式，从而利用直线过定点的求法即可得解. 【解答过程】（1）因为点是抛物线上的一点， 所以，解得，所以的方程为； （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由，得， 则， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为； （3）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 设，， 由，得， 所以，，， 所以， ， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以或，即或， 若，则，， 则，过定点，与点重合，不符合题意； 若，则，， 则，过定点， 综上，直线过定点. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 抛物线的标准方程】 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【知识清单2 抛物线的简单几何性质】 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【知识清单3 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【知识清单4 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于，两点，则 |AB|=或 |AB|= (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为，，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【知识清单5 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 题型1 抛物线的定义的理解 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·江西九江·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 . 5．（24-25高二上·福建福州·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为 . 题型2 求抛物线的轨迹方程 6．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．（24-25高二上·福建龙岩·期末）二次函数图象的顶点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 9．（24-25高二上·安徽·期末）若点到点的距离比它到定直线的距离小1，则点满足的方程为 . 10．（24-25高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 题型3 抛物线中距离的最值问题 11．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 13．（24-25高二上·安徽·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ． 15．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 题型4   求抛物线的焦点及准线 16．（24-25高二上·浙江杭州·期末）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为 ． 20．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 题型5 求抛物线的标准方程 21．（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·湖南张家界·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 25．（24-25高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 题型6 抛物线的焦半径公式 26．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，且，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知抛物线的焦点是，若拋物线上的点到的距离为4，则点到轴的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 30．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则 . 题型7 实际问题中的抛物线 31．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 32．（24-25高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 33．（24-25高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m． 35．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 题型8 直线与抛物线的位置关系 36．（24-25高二上·广东·期末）已知为抛物线的焦点，为第一象限内位于上的两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 37．（24-25高二上·辽宁大连·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·重庆·期末）如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，且，于点，点的坐标为，则 ． 40．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点. (1)求抛物线的方程与焦点坐标； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 题型9 抛物线的弦长与焦点弦问题 41．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 42．（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 43．（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 45．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 题型10 抛物线中的面积问题 46．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 48．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，其中B，C两点在x轴上方.若，则四边形面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为 . 50．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 题型11 抛物线中的参数范围及最值 51．（24-25高二上·贵州黔西·期末）在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（    ） A．1 B． C． D．2 52．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 53．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 55．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为坐标原点，点，，是抛物线上不同的三点，其中，点在第一象限，直线与平行，直线与交于点，直线与直线交于点． (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的最小值． 题型12 抛物线中的定点、定值、定直线 56．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 58．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M． (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程： (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值． 59．（24-25高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 60．（24-25高二上·甘肃·期末）已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值； (3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $