专题01 直线与圆及圆锥曲线（椭圆双曲线抛物线）（5大考点25题）（期中真题汇编，湖北专用）高二数学下学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01直线与圆及圆锥曲线（椭圆双曲线抛物线） ☆5大高频考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 考点05轨迹问题 目目 考点01 直线与圆 1.(24-25高二下，湖北楚天协作体期中)已知点A(2,4)关于直线1对称的点为B(-1,2),则直线1的方程为() A.4x-6y+15=0B.6x+4y+15=0C.6x+4y-15=0D.4x-6y-15=0 2.(24-25高二下湖北楚天协作体期中已知圆0：x2+y2=9和圆C:(x-4)2+(y+3)2=54,则两圆的公共 弦长为 3.(24-25高二下，湖北宜昌部分示范高中期中)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0与直线1：y=kc+2相交于点A, B,且∠ACB=120,则k的值为 4.2425高二下潮北楚天协作体期中)点P是曲线y:-5:+5x2+1上任意一点，则点P处切线领斜角 3 的取值范围为() A. B.[c.[后 n.[0x 5.(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)与己知直线x-2y-8=0平行的直线是曲线 f(x)=cosx(x∈[π，2π])的切线，当切线与已知直线距离最大时，切点的横坐标为() A.In B. 4π 6 3 c号 D. 6.(24-25高二下湖北楚天协作体期中)（多选)己知直线：x+y-4=0,圆C:(x-1)+(y-4)=9,则 下列命题正确的有() A.直线1过定点(0,4) B.若直线1过C点，则t=0 C.存在实数t,使得直线1与圆C相切 1/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.若直线1与圆C相交于A,B两点，则A,B两点间的最短距离为4√2 目目 考点02 椭圆 7.(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)当实数变化时，方程 x2 =1表示的曲线不可能是() 6-m'm-2 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 8.(24-25高二下溯北楚天协作体期中)若焦点在y轴上的椭圆 + 1 =1的离心率为3则m的值为（） 162m A.S B.9 C. D.12 9.(Q425高二下湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)（多选）已知椭圆C的离心幸为2y2 3 焦点为F-2√2,0，F22√2,0，左右顶点分别为E,F,P为椭圆C上的动点，则() A.|P+|PF=6 B.PFe[2,4] C.当P与E,F不重合时，kEk=-} 9 D.设P在x轴上的射影为H,且P0=-2P万，则点Q的轨迹方程是x2+y2=9 10.2425武二下湖无宜昌部分示范商中期已知椭国C:若+茶=a>60的右织点为F,右顶点为 P,离心率为，且点Q1写》 在椭圆C上. (1)求出椭圆C的标准方程； (2)若直线I与椭圆C交于A,B两点，直线PA,PB分别与y轴交于M,N两点，且MF⊥NF，,试探究直线l是 否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由 11.(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中己知A-2,0), B1 3 两点在捐圆C号+若-1山，直线/安稀 圆C于P,Q两点(P,Q均不与A点重合)，过A作直线1的垂线，垂足为H. 2/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线AP,AQ的斜率分别为k,k2,当k+k=1时， ①求证：直线I恒过定点，并求出定点坐标： ②求OH的最小值 目目 考点03 双曲线 12.(24-25高二下湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”期中)已知反比例函数y=1的图像是双曲线， 则这个双曲线的焦距长为 13.(2425高二下湖北楚天协作体期中)若双曲线的两渐近线的夹角为买，实轴长为6且焦点在x轴上，则 该双曲线的标准方程为() A.=1 B.y=1或y =1 93 93 39 c.￡--l D. 927 =1或x2y2 =1 93 927 14.(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)设0为原点，双曲线Ω的方程是 日尔-】(a>0,b>0),离心率e=5,直线x+2y-m=0与双曲线2的两条新近线分别交于4B, x2 y2 与圆x2+y2=a2相切于点N.若4M=MB,OM=V85,则直线0M的斜率为，双曲线2的实轴长为 15.(24-25高二下湖北宜昌部分示范高中·期中如图，在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆 x2.y2 :云+存=1a>4>0)与双曲线C, x2y2 C ab =1(a2>0,b,>0)有相同的焦点F、F,双曲线C,的两条渐 近线分别交椭圆C于A、C和B、D四点，若多边形ABF,CDF为正六边形，则椭圆C与双曲线C,的离心率 之和为() 3/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.√5+2 B.2 C.V5+1 D.25 商三下测北云学名校联程期已双曲线C名P=1a>0,的左右顶点分别为九A,落 双曲线上第一象限内的动点，设∠PAB=a,∠PBA=B,当a=√2时，tan a tan B=一；当 a+列=号，则a 17.(24-25高二下湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中) (多洁)设双菌线C芳若-a0b>0的东、有点分别为、5，点P在风曲费C的右支上，且不 与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是() A.若a=2,=V5,则双曲线C的两条渐近线的方程是y=士25 x 3 B.若点P的坐标为2,4V2),则双曲线C的离心率大于3 C.若PF⊥PF,,则△FPF的面积等于b D.若双曲线C为等轴双曲线，且到PF=3PF,则cos∠EPS=3 1 18.(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)设等轴双曲线C的焦点在x轴上，焦 距为2√2，点Q(an+1,an)（neN)在曲线C上 (1)求双曲线C的标准方程 (2)若a=1,证明数列{a}是等差数列. 1 (3)在(2)的条件下，若数列a}为正项数列，求数列 的前n项和Sn an +anti 目目 考点04 抛物线 19.(24-25高二下·湖北云学名校联盟期中)已知抛物线C:y2=4x的准线为1，直线'：V3x+y+9√3=0，动 点M在C上运动，记点M到直线I与1的距离分别为d,d2,则d,+d2的最小值为() A.2V5 B.3√5 C.45 D.5√5 20.(24-25高二下湖北楚天协作体期中)已知以F(2,0)为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C 的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点，设直线PA,PB的斜率分 4/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 别是k和k2 (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程 (2)求证：kk2为定值 (3)求△PAB面积的最小值 21.(24-25高二下湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中) 如图所示，已知抛物线T:y2=4x的焦点为F,直线1过点P(-4,0) B A (1)若直线1与抛物线Γ相切于点Q,求线段QF的长度； (2)若直线I与抛物线Γ相交于A,B两点，且PB=2PA,直线AF与抛物线Γ交于另一点C,连接BC,记 BC中点为M,直线PM交AC于点G,求CMG的面积 目目 考点05 轨迹问题 22.(24-25高二下湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中 四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=6O°，SA⊥平面ABCD,P为底面ABCD内 的一个动点，若PB.P=0,则动点P在() A.直线上 B.圆上 C.抛物线上 D.椭圆上 23.(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”.期中)历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲 线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点0距离 圆锥顶点M长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有() 5/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 0 A.M点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为√ B.点O为该曲线的一个焦点 一该曲线上任意两点之间的最大距离为 D.该曲线的离心率为 3 24.(2425高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知平面上动点Q(x,y)的坐标满足 1 x=t- y*2=8+ teR,t≠0 (1)求点Q(x,y)的轨迹方程Γ (2)设点P为直线x+y+2=0上的任意一点，过点P作曲线Γ的两条切线PA,PB (i)证明：直线AB过定点D (i)设O为原点，△0AB,△PAB的面积分别为S,S2,令S,=S2,当点P在x轴下方时，求2的最大 值 25.(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”期中)“相对运动的本质是观察者所处的参考系 不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落 的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的， 故可以此为依据，计算物体的降落时间其实，数学中研究动点运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动” 的观点 (1)在平面直角坐标系x0y中，圆0：x2+y2=4上有动点P(x,y),己知定点A为1,0).在研究“∠0PA最大值 问题时， (i)如果借助两直线的夹角公式tan0= ky -kz (其中k,k2为已知两直线的斜率，kk2≠-1,0为两直线的夹 1+kk3 角，0∈0， ),试求出用P点横坐标x表示tanZOPA的函数f(x),并求出其最大值及取得最大值时P点 2 6/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 的坐标： (i)如果运用“相对运动”的观点，视O,P点位置不变，A点为动点，试分析L0PA何时取得最大值，并给 出其最大值： (2)在平面直角坐标系x0y中，有一动椭圆下始终保持与x轴正半轴、y轴正半轴相切，已知椭圆下的长轴长 为4，短轴长为2，试求出该椭圆中心点P的轨迹方程. 7/7 专题01 直线与圆及圆锥曲线（椭圆双曲线抛物线） 5大高频考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 考点05轨迹问题 ( 考点01 直线与圆 ) 1．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 2．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知圆和圆，则两圆的公共弦长为__________. 【答案】 【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 3．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)若圆与直线相交于点A，B，且，则k的值为______． 【答案】 【分析】由圆的方程得出圆心与半径，根据已知及点到直线的距离公式列出方程求解即可． 【详解】由得，，圆心，半径， 所以，又， 所以圆心到直线的距离为，解得， 故答案为：． 4．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为， 故选：B 5．(24-25高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)与已知直线平行的直线是曲线的切线，当切线与已知直线距离最大时，切点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，借助点到直线距离判断即可. 【详解】设切点坐标为，求导得， 依题意，，即，解得或， 则切点坐标为或，切线与直线的距离即切点到该直线距离， 当切点为时，， 当切点为时，， 由，即点到直线的距离最大. 故选：D 6．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)（多选）已知直线，圆，则下列命题正确的有（   ） A．直线l过定点 B．若直线l过C点，则 C．存在实数t，使得直线l与圆C相切 D．若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为 【答案】AB 【分析】对于A，根据直线方程特点易得；对于B，将点代入，计算即得；对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程，由方程的根的情况判断；对于D，根据直线过圆内的定点，即可判断当且仅当时弦长最短，同时结合图象可判断此时直线的斜率不存在，从而排除. 【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，直线l过点，则有，则，故B正确； 对于C，由圆心到直线的距离，可得， 显然的值不存在，故C错误； 对于D，由垂径定理，要使弦长最短，需使圆心到直线的距离最长， 而直线l过定点，当且仅当时， ，此时，， 但是，此时轴，直线的斜率不存在，显然不合题意，故D错误. 故选：AB. ( 考点02 椭圆 ) 7．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)当实数变化时，方程表示的曲线不可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据题意由圆锥曲线的定义逐一判断即可. 【详解】当，即时，方程表示的曲线为圆； 当，，，即时，方程表示的曲线为椭圆； 当，即时，方程表示的曲线为双曲线； 方程无论如何不会出现一次项，故不能表示抛物线. 故选：D. 8．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】B 【分析】由离心率的定义即可求解. 【详解】由题意可知：， 所以， 解得：， 故选：B 9．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)（多选）已知椭圆的离心率为，焦点为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点，则（    ） A． B． C．当与，不重合时， D．设在轴上的射影为，且，则点的轨迹方程是 【答案】ACD 【分析】由题意确定椭圆方程，结合椭圆的性质及向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】由题意知：，由，可得， 所以椭圆的方程为，所以，A正确；，B错误； 设，，，则，C正确； 设，则， 由，可得：， 解得：， 则，所以，即，D正确. 故选：ACD. 10．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为，且点在椭圆上． (1)求出椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，且，试探究直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)直线过定点． 【分析】（1）利用给定的离心率和椭圆经过的点求出基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）联立方程组结合韦达定理得到，再利用得到，最后分类讨论求解定点即可. 【详解】（1）因为离心率为，所以， 因为点在椭圆上，所以， 因为，所以解得， 则椭圆C的标准方程为. （2）①若直线斜率不存在，根据对称性可知为等腰直角三角形， 得到，此时， 则直线，与椭圆方程联立， 解得，故直线过椭圆左焦点，即， ②若直线斜率存在，如图，设， 联立方程组，消去得， 由韦达定理可知， 由已知得，且设， 可以求出直线方程为， 令，得到，， 故，又因为， 故， 代入韦达定理得， 求得，即，得到或， 当时，直线过，此时三点重合，不符合题意； 当时，直线方程为，此时直线AB过定点 综上所述：直线过定点． 11．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②1 【分析】（1）将，两点代入椭圆方程解出的值即可； （2）①解法一：设直线，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，解出的关系即可求解；解法二：设，，利用在椭圆上可得， ，作差结合化简即可求解；②由可得点在以为直径的圆上，利用圆的性质求解即可； 【详解】（1）由题意可得， 所以椭圆的标准方程为：． （2）解法一：①由条件，可知直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程组：， 其中（▲）， 所以，， 由条件，即， 由于直线不过点，故， 化简可得， 所以 ， 代入（▲）式，，此时直线恒过定点． ②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，    所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件． 故的最小值为． 解法二：①设，，由条件，即（★）， 由点在椭圆上，则有， 即①，同理可得② ， ①②可得： 代入（★）式可得：， 即， 变形可得．所以直线恒过定点． ②解法同一. ( 考点03 双曲线 ) 12．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)已知反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的焦距长为__________. 【答案】4 【分析】利用等轴双曲线的离心率为，结合实轴长可算出焦距. 【详解】由反比例函数曲线是等轴双曲线，可知其离心率为， 再由函数与焦点所在的直线的交点坐标为， 这两点间的距离为实轴长，即，所以， 再由， 故双曲线的焦距长为， 故答案为：. 13．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线的对称性，求出渐近线的倾斜角，建立方程求解即得. 【详解】因两渐近线的夹角为，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或，即得或，解得或. 故选：D. 14．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设为原点，双曲线的方程是（，），离心率 .  直线与双曲线的两条渐近线分别交于，与圆相切于点.若，，则直线的斜率为_____，双曲线的实轴长为_____. 【答案】 14 【分析】利用点差法，可求直线的斜率，在中，利用勾股定理可求的值. 【详解】如图： 设点，，渐近线方程为， 则，，相减得， ，所以. 设与轴交于，，， 则，， ， 在直角中，，，， 所以，解得，实轴长为14. 故答案为：；14 15．(24-25高二下·湖北宜昌部分示范高中·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的几何性质及离心率的定义即可求解． 【详解】∵多边形为正六边形，设边长为， ∴， ， 故选：C． 16．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上第一象限内的动点，设，当时，_____；当时，则_________. 【答案】 / 【分析】利用点在双曲线上得到等量关系，利用斜率公式得到定值求解第一空；利用正弦定理，面积公式，和角正切公式，结合第一问结论化简计算得出第二空. 【详解】 （1）当时，双曲线方程为：由于点在双曲线上，设点， ，． ． （2）在中，由正弦定理： ，， ， ， 由（1）可得：， . 故答案为： ；． 17．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)（多选）设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且不与双曲线的顶点重合，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 C．若，则的面积等于 D．若双曲线为等轴双曲线，且，则 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解A，根据点在双曲线上，结合离心率的计算即可求解B，根据焦点三角形的性质结合双曲线定义即可求解C，根据余弦定理即可求解D. 【详解】对于A：双曲线的渐近线方程为， 当，时，双曲线的渐近线方程是，故A错误； 对于B：因为点在上，则，得， 所以双曲线的离心率，故B正确； 对于C：因为，若，则， 即，即， 得，所以，故C正确； 对于D：若为等轴双曲线，则，从而， 若，结合，则，， 在中，由余弦定理，得，故D正确， 故选：BCD. 18．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)若，证明数列是等差数列. (3)在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线的定义及方程列式计算求出即可得出双曲线方程； （2）根据等差数列定义证明即可； （3）应用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意可设双曲线的标准方程为（，）， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）因为点（）在曲线上，所以 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）可知， 由于，所以 所以 所以 ( 考点04 抛物线 ) 19．(24-25高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义得到，从而，结合图形，可知当三点共线，且在中间时，取得最小值，利用点到直线的距离计算即得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知． 如图，设于点，则， 由图可知，当三点共线，且在中间时，取得最小值． 由抛物线，得， 所以的最小值即点到直线的距离，为． 故选：D ．    20．(24-25高二下·湖北楚天协作体·期中)已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程. (2)求证：为定值. (3)求面积的最小值. 【答案】(1)标准方程为，准线方程为 (2)证明见解析 (3)16 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线AB的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，再利用弦长公式和两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴， ∴抛物线C的标准方程为，准线方程为； （2）证明：设点P的坐标为，， 由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为k，则切线的方程为， 联立方程组，消去x，得， ∴得（*）， 又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 联立方程组整理得，， ∴，， ∵，∴， 整理得， 代入有， ∴，∴且， ∴AB：，故直线AB过定点. ∴，， ∴， 点P到直线AB的距离为， ∴， 因为函数在单调递增，而， ∴当时，， 所以面积的最小值为. 21．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点. (1)若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； (2)若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可. （2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立方程组，得到， 因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得， 此时，代入抛物线中得， 由抛物线定义得． （2）由题意得直线的方程为， 如图，设，，连接， 联立方程组，得到，由，则． 因为，且，， 所以，解得， 当时，，，所以直线， 联立方程，得到，则， 因为，所以为的中点，又为的中点，直线交于点， 所以点为的重心，所以 ， 同理当时，，综上可得． ( 考点05 轨迹问题 ) 22．(24-25高二下·湖北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）·期中)四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（   ） A．直线上 B．圆上 C．抛物线上 D．椭圆上 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律及线面垂直的性质得到，即可得解. 【详解】由， 因为平面，平面，所以，即， 所以， 又底面是边长为的菱形，，为底面内的一个动点， 所以在以为直径的圆上. 故选：B 23．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（    ） A．点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为 B．点为该曲线的一个焦点 C．该曲线上任意两点之间的最大距离为 D．该曲线的离心率为 【答案】ACD 【分析】利用圆锥结合解直角三角形，可得椭圆的相关参数，通过椭圆方程来研究焦距和离心率，从而判断各选项. 【详解】根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足点为. 平面交椭圆曲线的另一交点为，由对称性知为该椭圆的长轴端点. 在直角三角形中，由， 则有，， ，， 所以点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是，故A正确； 该曲线上任意两点之间的最大距离是，故C正确； 再过作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径， 在这个圆面内作垂直于平面，交椭圆于点，则， 如图2，在截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系， 则，过作垂直于轴，交椭圆于点，则， 设椭圆方程为，将代入得：， 最后可得， 由于，所以不是椭圆的焦点，故B错误； 即椭圆离心率为，故D正确； 故选：ACD. 24．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知平面上动点的坐标满足，，. (1)求点的轨迹方程. (2)设点为直线上的任意一点，过点作曲线的两条切线，. （ⅰ）证明：直线过定点. （ⅱ）设为原点，，的面积分别为，，令，当点在轴下方时，求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）方程联立，消去即可求解； （2）（ⅰ）设，，，通过求导，确定切线方程进而可求解；（ⅱ）由三角形面积公式得到进而可求解. 【详解】（1）因为，，所以，， 由得，，所以， 即点的轨迹方程为（） （2）   （ⅰ）设，，，， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得， 同理曲线在点处的切线方程为 由于是两切线的交点，所以 所以直线的方程为， 整理得，令得 所以直线过定点. （ⅱ）由（ⅰ）知直线的方程为， 当点在轴下方时，. 因为 因为，，所以 令（）， 则 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最大值为. 25．(24-25高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”·期中)“相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点. (1)在平面直角坐标系中，圆上有动点，已知定点为.在研究“最大值”问题时， （i）如果借助两直线的夹角公式（其中为已知两直线的斜率，为两直线的夹角，），试求出用点横坐标表示的函数，并求出其最大值及取得最大值时点的坐标； （ii）如果运用“相对运动”的观点，视点位置不变，点为动点，试分析何时取得最大值，并给出其最大值； (2)在平面直角坐标系中，有一动椭圆始终保持与轴正半轴、轴正半轴相切，已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，试求出该椭圆中心点的轨迹方程. 【答案】(1)（i），最大值，； （ii）当所在直线与该圆相切时，最大， (2) 【分析】（1）（i）利用两直线夹角公式表示，化简换元利用二次函数性质求最大值. （ii）用相对运动观点分析几何条件，找到当所在直线与该圆相切时，最大，即可得解. （2）将椭圆放在新坐标系中，写出椭圆方程，利用椭圆与坐标轴相切得，进而得到原坐标轴所在两直线斜率的关系，进而得到椭圆中心点的轨迹方程. 【详解】（1）（i）如图1，由 可知， 所以    又且， 则， 设， 则， 故当且仅当即时，有最大值，此时点为； （ii）如图2，视点固定，点为动点时，可等同于原坐标轴绕旋转， 故点在半径为1的圆上运动， 当所在直线与该圆相切时，最大，此时， 即，与（i）中结果一致. （2）如图3，用“相对运动”的思想，可以视是定点，且为新的坐标原点，    让椭圆长轴落在新轴，短轴落在新轴，易知椭圆方程为， 此时点（原坐标原点）为与该椭圆相切的两条相互垂直切线的交点， 设为，当斜率均存在时，设两斜率为， 故的方程为， 与联立消有：， 其， 化简有：， 上式整理为关于的二次三项式：， 同理， 故为关于的方程的两不等实根， 于是，则； 当分别平行坐标轴时，易知可取，也满足. 综上可知，在新坐标系下，点始终与点距离为定值， 还原至原坐标系，点也始终距离点为定值， 但由于点始终在第一象限， 则点所在轨迹方程为，表示一段椭圆弧. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $