精品解析：江苏省扬州市新华中学2025-2026学年高一上学期自主练习一（10月月考）数学试题

高一数学自主练习一 一、单选题 1. 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ） A. 20人 B. 17人 C. 15人 D. 12人 4. 已知实数a，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，中有且只有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 11. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. D. 的最大值为1 三、填空题 12. 计算：______． 13. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 14. 若，，，则的最小值为_____. 四、解答题 15. 设全集是实数集，集合，集合. （1）求集合，集合； （2）求，. 16. 已知集合，集合. （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）若；求实数的取值范围； 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 19. 已知. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）设，.若对任意的，，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学自主练习一 一、单选题 1. 已知集合，则集合A的所有真子集的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题得， 命题“，”的否定为：，． 故选：D 3. 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ） A. 20人 B. 17人 C. 15人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 4. 已知实数a，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂的运算求解. 【详解】对A，，A错误； 对B，，B错误； 对C，，C正确； 对D，，D错误； 故选:C. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】显然，则，有，即 而，取，，则不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 设正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，，所以， 又，，所以， 所以， 当，即，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出为真命题时的范围，进一步可得答案． 【详解】由，得， ，， 则当时，取最小值2，所以， 命题，则，即， 若命题均为假命题，则且，即， ∴实数的取值范围为． 故选：B. 8. 已知集合，，中有且只有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，B，利用中有且只有一个整数解，能求出a的取值范围． 【详解】解：∵，解得或；由， ，即，解得； 所以集合或， ， 中有且只有一个整数解，∴．∴a的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD. 【详解】对于AC，取，满足，而，，AC错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：BD 10. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 11. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. D. 的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】借助消元法结合基本不等式计算可得A；因式分解后结合基本不等式计算可得B、C；举反例可得D. 【详解】由，则； 对A：由，则， 则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为，故A正确； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为，故B错误； 对C：由，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 但为正实数，不能取等，故，故C正确； 对D：由，取，则， 此时，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】． 故答案为：． 13. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 【答案】－3 【解析】 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 14. 若，，，则的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 设全集是实数集，集合，集合. （1）求集合，集合； （2）求，. 【答案】（1）， （2），或 【解析】 【分析】（1）根据相关不等式的解法求集合A，B； （2）根据（1）中的结果结合集合间的运算求解问题. 【小问1详解】 因为，解得，即集合； 又因为，可得 等价于，解得，即集合. 【小问2详解】 由（1）知：，， 可得，且或， 所以或. 16. 已知集合，集合. （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）若；求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由充分条件定义可得，根据集合的包含关系列不等式可求结论； （2）分和两种情况讨论，由条件结合交集的定义列不等式求的范围. 【小问1详解】 命题​，命题​，若是的充分条件，则有​， 且集合，集合， 所以​，解得：​， 所以实数的取值范围​． 【小问2详解】 因为，且集合​， 若，则，解得； 若，则或，解得无解或 综上所述：实数的取值范围​． 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题求解得答案； （2）将不等式转化为，分，，三种情况讨论求解. 【小问1详解】 因为的解集为， 若，得，符合题意； 若时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 【小问2详解】 由不等式，化简得， 即，其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 19. 已知. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）设，.若对任意的，，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）16 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可得，从而可求解； （2）由可得，从而可得，再利用基本不等式即可求解. （3）由（2）可得，从而可得，求得，再结合，分，，三种情况求出，从而再由，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 解得，当且仅当，即，时，取等号. 所以的最小值为16. 【小问2详解】 因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 所以的最小值为. 【小问3详解】 因为，，，所以，，且， 整理得. 所以， 当且仅当，即，时，取等号， 所以. 由题意，对任意的，，总存在，使得， 所以，则. 又，. ①若，即时，当时，，即，不合题意. ②若，即时，当时，， 解得或，所以. ③若，即时，当时，，解得，所以. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $