精品解析：江西省宜春中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

2027届宜春中学高二上学期第二次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为5 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的运算公式、共轭复数的定义，结合复数虚部定义、复数在复平面对应点的位置逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项说法不正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：因为复数的虚部为，所以本选项说法不正确； D：因为复数在复平面内对应的点的坐标为，它位于第四象限， 所以本选项说法正确， 故选：D 2. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 3. 已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】联立，可得，所以与的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为， 代入得，所以， 所以直线的方程为，满足题设. 故选：A 4. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两边平方展开后化简得到关于的方程，解方程即可. 【详解】由两边平方得，，所以． ， 故选：C． 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用诱导公式将进行转化，然后再利用两角和的正弦公式进行化简求值. 【详解】根据诱导公式， 原式， 可化为， 进一步得， 则. 故选：C. 6. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（ ）. A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】因为向量，，共面， 所以有， 于是有， 故选：B 7. 已知点为直线上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，，对于A，根据基本不等式可得即可判断；对于B，利用换元法可得；对于C，根据换元法得，再利用配方可得最值；对于D，由“1”的妙用求解即可. 【详解】由题知，即，且， 对于A，，当，即时取等， 所以ab的最大值为2，故A错误； 对于B，，又，所以，故B错误； 对于C，， 当时取等，所以的最小值为，故C正确； 对于D，， 当时，即时取等，所以的最小值为，故D错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】代入化简计算可判断A；根据正弦函数的对称性即可判断B；根据左右平移的原则即可判断C；代入计算，可判断D. 【详解】对于A，，故 A 正确； 对于B，因为 ， 所以函数的图象关于点中心对称 ，故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 直线关于直线对称的直线为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的性质、两条直线垂直的性质，结合直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】A：因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率等于，因此本选项说法不正确； B：当直线与直线互相垂直时， 则有，或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，因此本选项说法正确； C：在中，令，得，即，如图所示： 根据对称性可知：， 所以直线的方程为，因此本选项说法正确； D：如图所示： 因为， 所以直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是，因此本选项说法正确， 故选：BCD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用面面平行的判定推理平面平面，然后利用直线与平面相交判断A；利用定义法作出线面角，并在直角三角形中求出线面角的正弦判断B；把三角形与三角形置于同一平面内，利用余弦定理求出线段长判断C；先利用线面垂直的判定推理平面，取棱的中点利用面面平行的判定推理得平面平面，进而平面，从而求出点的轨迹为正六边形，求解周长即可判断D． 【详解】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确； 对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确； 对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图， 取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 若直线与平行，则与的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再计算两平行线间的距离. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，所以，又， 所以与的距离. 故答案为： 12. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】根据向量加法三角形法则得到，， 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 故答案为：. 13. 已知扇形半径为1，，弧上的动点满足，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由题设，构建如下图所示的直角坐标系，且，， 若，则，，，， 由，得， 即， 解得，， ， 因为，所以， 所以，当时，，当时，， 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. （1）已知的三个顶点分别为，，.求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）已知的三个顶点为，，，求的外接圆方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据线段中点公式、结合直线斜率公式、直线点斜式方程、直线一般式方程进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可. 【详解】（1）因线段的中点， 则边上的中线的斜率， 则所在直线方程为，即， 即边上的中线的一般式方程为. （2）设的外接圆的方程为 由题意得：，解得， 则的外接圆方程为. 15. 在中，角所对的边分别为，已知向量满足，，且． （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由得，再利用正弦定理得，进而得，即可求解； （2）利用正弦定理得，利用三角恒等变换得，又由锐角三角形得，进而求解. 【小问1详解】 ∵，∴， 即，由正弦定理得， ∴，∴，∵，∴或； 【小问2详解】 ∵a＝3，且三角形为锐角三角形，∴， ∴由正弦定理得：， ∴， ∴ ， 又∵为锐角三角形，∴，∴， 得，∴， ∴，∴的取值范围为：. 16. 如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为母线的中点，已知为一条母线，且. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 因为是圆柱底面的直径，所以， 且，平面， 则，，，， 有，所以， 又为的中点，所以，，， 则有，所以， ，平面，所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证，由线线垂直得线面垂直，根据线面垂直的性质可得面面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，平面，，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，，， 则，，， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由，即， 则，解得，所以直线过定点. 【小问2详解】 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 18. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合．记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 【答案】（1） （2） （3）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的一个法向量和平面的一个方向向量的坐标，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的余弦值； （2）求出平面内的一点的坐标以及平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内的图象，得到其二面角为钝角. 【小问1详解】 由题意可知，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以. 因此，直线与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 因为平面的点法式方程可表示为，在平面内取一点， 平面的一个法向量为，且， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 （i）建立空间直角坐标系，先分别画平面， 然后得到几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体， 故几何体的体积为. （ii）的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，，，得， 画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角， 计算平面，得二面角， 所以两个平面的法向量分别为，， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届宜春中学高二上学期第二次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为5 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 2. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数的值为（ ）. A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 已知点为直线上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 直线关于直线对称的直线为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段无交点，则直线的斜率的取值范围是 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 若直线与平行，则与的距离为_____. 12. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为___________. 13. 已知扇形半径为1，，弧上的动点满足，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. （1）已知的三个顶点分别为，，.求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）已知的三个顶点为，，，求的外接圆方程. 15. 在中，角所对的边分别为，已知向量满足，，且． （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围． 16. 如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为母线的中点，已知为一条母线，且. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合．记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $