精品解析：辽宁鞍山市部分普通高中2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

高三10月联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数为，结合复数模的求解方法可得答案. 【详解】由题意，， ，． 则． 故选：C 2. 已知集合，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，根据指数函数的性质求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由不等式，可化为，解得或， 即集合或，所以， 又，所以. 故选：D 3. 已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是（  ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量数量积的坐标运算及求参数范围，注意排除同向共线的情况即可. 【详解】由题意， 若，此时同向共线，非锐角， 所以且. 故选：B 4. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据双勾函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由双勾函数的性质可得在上递减，在上递增， 则当或时，， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 若α为锐角，且，则cos2α＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据α为锐角和的值，得到的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出的值，然后根据二倍角的正弦公式求出的值，再根据诱导公式及正弦函数为奇函数，即可得到cos2α的值． 【详解】∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， 则． 故选：A． 6. 已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的对称轴方程，由条件分析出整数的取值，再列出关于的不等式，求解即可. 【详解】因为正弦函数的对称轴方程为， 所以令，可解得的对称轴方程为. 因为，即，可解得. 要使在区间上有且仅有2条对称轴，则符合条件的整数只能为， 因此需满足，解得， 故的取值范围是. 7. 已知函数，若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性和单调性性质，再利用性质求解不等式.将化为，由奇偶性把化为，再根据单调性得，解此不等式取交集得范围. 【详解】显然的定义域为， 因为，所以为偶函数． 又， 令，令，，则，且在上单调递增， 当时，，又在单调递增，所以在单调递增； 当时，，又在单调递减，所以在上单调递减， （也可利用定义求证单调性） 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，为偶函数， 所以等价于， 所以，故，则，即或， 得或. 综上，m的取值范围为. 故选：C． 8. 已知函数，，若成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，得到的式子，进而利用导数研究单调性即可得出结果. 【详解】解：令， 则，，解得，， 于是， 令，则， 其中和在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 即的最小值是. 故选：C. 【点睛】本题考查导数求单调性，最值问题，考查转化思想，属于难题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 是的一条对称轴 D. 向右平移个单位得到的函数是奇函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据图象可得函数的最大值最小值，结合解析式可求，由此判断A；观察图象可得函数的周期，由此判断B；根据最小正周期求出，将点代入函数解析式可求，根据正弦函数性质求函数的对称轴判断C；求出平移之后的函数解析式，结合函数奇偶性的定义判断D. 【详解】观察图象可得函数的最小值为，最大值为，所以，故选项A正确； 观察图象可得函数的最小正周期，故选项B正确； 由，得，又，所以， 将点代入中，得， 所以，，又，所以， 故函数， 令，，可得，， 所以不是函数的一条对称轴，故选项C错误； 函数的图象向右平移个单位， 所得函数解析式为， 由函数定义域为，定义域关于原点对称，又 所以函数不是奇函数，故选项D错误. 故选：AB. 10. 已知数列是首项为的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，O为平面内任意一点，且，则（ ） A. B. 数列的前6项和为 C. 数列是递减的等差数列 D. 若，则数列的前n项和的最大值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件，由可得，再利用等比数列的通项公式求出公比，进而即可判断选项AB，再由对数的相关运算和数列中的裂项相消法，即可判断选项CD. 【详解】由题知，，，，三点共线， 则，设公比为，， 由是正项等比数列，解得， ，. 所以，故A错误； 所以，故B正确； 因为， 且， 所以数列是为首项，为公差的递减的等差数列， 故C正确； 又， 所以数列的前n项和为 ，所以越大，数列的前n项和也就越大， 但不可能为，只是无限接近于，故D错误. 故选：BC 11. 设函数，，下列命题，正确的是（ ） A. 函数在上单调递增，在单调递减 B. 不等关系成立 C. 若时，总有恒成立，则 D. 若函数有两个极值点，则实数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，则. 由，可得，由，可得. 所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确； 对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且， 所以，，即，又， 所以，，整理可得，B选项错误； 对于C选项，若时，总有恒成立， 可得，构造函数， 则，即函数为上的减函数， 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，其中，. 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减. 所以，，，C选项正确； 对于D选项，，则， 由于函数有两个极值点，令，可得， 则函数与函数在区间上的图象有两个交点， 当时，，如下图所示： 当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点. 所以，实数的取值范围是，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知是以为首项，公差为1的等差数列，即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式可知； 可得为定值，所以即为等差数列，又， 即是以为首项，公差为1的等差数列， 所以，从而． 故答案为： 13. 中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据求解即可得答案. 【详解】因为这个三角形有两解，故满足， 即，解得. 故答案为： 14. 已知在中，，若的最小值是，则对于内的任意一点，的最小值是___________． 【答案】. 【解析】 【分析】先将整理成，得到的最小值为，取的中点，连接，求出.根据平面向量加法的平行四边形法则得到，从而得到，取中点，利用平面向量的三角形法则得到，，从而得到 ，从而求出的最小值. 【详解】， ，的最小值为， 的最小值为到的距离，到的距离为， 取的中点，连接， ，，， ，，， 取中点，则，，，， ， 是内的任意一点，，，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公差不为0的等差数列，成等比数列．为公比为2的等比数列 （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，若，记数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项的性质求出，再由，即可求出，进而求出数列的通项公式； （2）先求出，再由分组求和法求解即可. 【小问1详解】 数列是等差数列，设首项为公差为 因为，所以① 因为成等比数列，所以 因为，所以② 由①②得， 所以. 【小问2详解】 因为数列为公比为2的等比数列， 由得，所以，则， 所以 所以 . 16. 在中，，，分别是内角，，所对的边，且满足， （1）求角的值： （2）若，边上的中线，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理边角转化结合两角和正弦公式计算求解； （2）方法一：应用角的关系结合余弦定理及面积公式计算求解；方法二：应用向量关系平方得出边长关系结合向量的数量积公式计算求解得，最后应用面积公式求解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 则， 即，故， 因为，所以，即， 因为，所以，故， 又因为，所以． 【小问2详解】 （方法一） 延长到，使得，又，故四边形为平行四边形， 所以，， 又由得， 所以在中，由余弦定理得， 即， 整理得，即，解得， 所以． （方法二） 因为是边上的中线，所以． 两边同时平方得：． 已知，，即，， 且． 代入可得． 整理得，即，解得， 所以． 17. 已知函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）已知，求证：存在实数使得在处取得最大值，且 （3）求证：有唯一零点 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数可求得函数在某一点处的切线； （2）整理函数解析式，求导，构造函数，利用其单调性以及零点存在性定理，可得导数的性质，结合导数求得最值，可得答案； （3）函数求导，明确其单调性，结合零点存在性定理，可得答案. 【小问1详解】 由，则，将代入，可得，切线斜率， 则，整理可得. 【小问2详解】 由，，， 设，，在递增， ，，知有， 且在小于0，在大于0，在递增，在递减， 在处取最大值，. 【小问3详解】 ，，在上单调递减， ，又，所以，， ，故，且唯一， 故函数有唯一零点. 【点睛】解决函数存在唯一零点，利用函数的导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得零点的唯一性，推广也可求得函数的零点的个数；当函数的导数时分式函数时，往往利用其分子构造成新函数，通过研究新函数的单调性和最值，可得导数与零的大小关系，可得原函数的单调性. 18. 已知函数， （1）若，，求函数的解析式及对称轴； （2）若，，，且，求的值； （3）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值． 【答案】（1） ①当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为 ②当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据函数周期性可得，分类讨论，结合正弦函数性质利用整体法求解即可； （2）利用已知可求得，结合同角三角函数的平方关系可求得，进而利用可求值； （3）根据图象变换可得，再根据函数零点可得，进而结合正弦函数的图像与性质分析运算. 【小问1详解】 函数，． 则的最小正周期， 因为，，所以函数的最小正周期， 所以，解得 ①当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为 ②当时，，令，解得， 所以函数的图象的对称轴为； 【小问2详解】 当， 由，则， 由，则，可得， 所以 . 【小问3详解】 由题意可知， 因为是的一个零点，即，所以， 所以或， 故或，又，（舍）， 故，则， 当时，，设，则，则原式可化为， 即的图象在区间内与水平直线的图象有3个不同的交点， 作出在上的图象如下图所示， 所以当时，即，与恰有3个不同的交点，故实数a的取值范围为， 设与的3个不同的交点分别为、、，则、， ∴，即，整理得． 19. 已知. （1）时，求的极值; （2）当时，讨论的单调性; （3）证明：（，，其中无理数） 【答案】 (1)极大值，极小值． （2）当时，上单调递减，单调递增，单调递减 当时，单调递减 当时，上单调递减，单调递增，单调递减 （3）由（1）当时，在上单调递减． 当时 ∴，即 ∴ ∴. 【解析】 【详解】 （1）令， 知在区间上单调递增，上单调递减，在单调递增. 故有极大值，极小值． （2）当时，上单调递减，单调递增，单调递减，当时，单调递减 当时，上单调递减，单调递增，单调递减 7分 （3）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是（  ） A. B. 且 C. D. 4. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若α为锐角，且，则cos2α＝（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 是的一条对称轴 D. 向右平移个单位得到的函数是奇函数 10. 已知数列是首项为的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，O为平面内任意一点，且，则（ ） A. B. 数列的前6项和为 C. 数列是递减的等差数列 D. 若，则数列的前n项和的最大值为1 11. 设函数，，下列命题，正确的是（ ） A. 函数在上单调递增，在单调递减 B. 不等关系成立 C. 若时，总有恒成立，则 D. 若函数有两个极值点，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则______． 13. 中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________ 14. 已知在中，，若的最小值是，则对于内的任意一点，的最小值是___________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公差不为0的等差数列，成等比数列．为公比为2的等比数列 （1）求数列的通项公式； （2）数列的前项和为，若，记数列满足，求数列的前项和． 16. 在中，，，分别是内角，，所对的边，且满足， （1）求角的值： （2）若，边上的中线，求的面积． 17. 已知函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）已知，求证：存在实数使得在处取得最大值，且 （3）求证：有唯一零点 18. 已知函数， （1）若，，求函数的解析式及对称轴； （2）若，，，且，求的值； （3）已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数a的取值范围以及的值． 19. 已知. （1）时，求的极值; （2）当时，讨论的单调性; （3）证明：（，，其中无理数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $