精品解析：山西省太原市小店区山西大学附属中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试题

山大附中 2025~2026 学年第一学期初三 10 月巩固数学试题 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为（a，b，c为常数且）．方程移项把右边化为0，左边按照x的降幂排列即可． 【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式得：． 故选：D． 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 3. 下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：B． 4. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 5. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正方形的性质得到，，，利用角平分线的定义求得，再证得，利用全等三角形的性质求得，最后利用即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 6. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的一半，或底乘以高可求出高． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ ∴在中， ∵或 ∴，即 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 7. 如图，在矩形中，，，点是线段上一个动点，连接并延长，交 延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，当点为的中点时，的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由直角三角形的性质可求，再由作图得，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ∴， 在中，，，， ∴， 故选：B． 8. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ） A. 过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B. 过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定．根据题意画出图形，根据平行四边形、菱形及矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．如图，过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D， ， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 故A选项说法正确，不合题意； B．如图，过点O作的垂线交纸条两边于点C，D， 同理可证四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B选项说法正确，不合题意； C．如图，分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D， ，，， ， 四边形是矩形， 故C选项说法正确，不合题意； D．如图，在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得， 根据，，不能判定四边形是平行四边形， 故D选项说法错误，符合题意， 故选D． 9. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设的长为，则，根据长方体盒子的表面积为，可知阴影部分面积为，而阴影部分可以拼接成一个边长为的正方形，据此建立方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 由题意得， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知， 由矩形的性质知，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，即的长为． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 12. 如图所示的木制活动衣帽架，由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节B，O间的距离．菱形边长，若B，O间的距离调节到，则______°． 【答案】60 【解析】 【分析】连接，证明是等边三角形，解答即可． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接，根据题意，得， 故， 由菱形边长， 故， 故， 故是等边三角形， 故， 故答案为：60． 13. 新定义运算：，例如，则方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据新定义运算列方程并解方程是解题的关键． 由新定义得，解方程即可． 【详解】解：由新定义得：， 解得：． 故答案为： ． 14. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，若正方形的边长为 2，则重叠部分四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 过点作，交点分别为，根据正方形的性质证明，得出四边形的面积等于正方形的面积，证明，根据相似比求出，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点作，交点分别为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于正方形的面积， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 15. 如图1．中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意， ，，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即，根据勾股定理，故，过点D作于点Q，根据题意，得，设，则，，故，解答即可． 【详解】解：根据题意， ，，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即， 根据勾股定理，得， 故， 解得（舍去）， 故， 过点D作于点Q， 根据题意，得， 设， 则，， 故， 解得， 故（舍去）， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 三、解答题（本题共 7 小题，共 55 分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解答关键是根据方程特点选择合适的方法来求解． （1）配方法将方程转化为完全平方式； （2）因式分解法，通过变形、移项后因式分解为两个一次因式的乘积． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 或 17. 如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图所示，直线即为所求． （2）四边形是菱形．理由如下： 由（1）可知点为中点， ∵， ∴， 在中，，为边上中线， ∴， ∵， ∴， ∵，， 四边形是平行四边形， 又∵， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据直角三角形的性质得，则，进而可证四边形是平行四边形，再由，可得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广． 如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． 求这个茶园的长和宽． 【答案】这个茶园的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等式是解决本题的关键． 设这个茶园的宽为，则可表示这个茶园的长，再根据面积为建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个茶园的宽为，则长为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 由题意知：， 解得：， ， 此时，， 答：这个茶园的长为，宽为． 19. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：如图，作与H点，     ∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】作与H点，首先根据三个角是直角的四边形是矩形证明出四边形是矩形，然后根据角平分线的性质得到，进而证明出四边形是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 20. （10 分）2025 年 9 月 21 日早晨 7∶30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人． （1）求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； （2）某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 【答案】（1）全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为 （2）每套降价56元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据每日最多可打包 70 套，列出一元一次不等式，得a的取值范围，根据平均每日收到货款为 10920 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（舍去）， 答：全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，， 由题意知：， 解得：， 所以取7， 此时，， 答：每套降价56元． 21. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 【答案】（1）② （2）， 首先构造了如图2所示的图形（图形画法不唯一）， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为8， ， 解得：， 方程的正数解是； （3），， 【解析】 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据4个矩形的总面积为20，得，即可求出，根据中间围成的正方形边长为，即可求出，再根据，即可求得． 【小问1详解】 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为7， ， ， 解法正确的构图是②； 故答案为：②． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图：， ， 个矩形的总面积为20， ， ， 解得：， 中间围成的正方形边长为， ， ，表示边长， ， 解得：， ，，． 22. 综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则________． 【深入分析】 （2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）解：四边形是矩形． 理由∶由旋转可得，，， 在菱形中，，，， ，， 为等边三角形， ，， 点是中点， ， 又，，， ， ， ， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形为矩形． （3）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定以及旋转的性质等，解题的关键是根据图形的旋转性质和菱形的特点，结合三角形的相关定理进行分析与推理． （1）利用线段中垂线性质、旋转性质和菱形等边三角形特征，推导的度数； （2）通过旋转与菱形性质，先证平行四边形，再结合垂直条件证矩形； （3）分和两种情况，用中位线定理、等边三角形性质及方程思想求． 【详解】解∶（1）在菱形中，，且， 是等边三角形 ， 已知点在线段的中垂线上， ， ， 由旋转的性质可知：， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）的长为或． 理由：①当时，如图， ， ， 点为的中点， 为的中位线， 点为中点， ， ， ， ∴． ①当时，如图， 取中点为，连接， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，，， ∵为中点， ∴ 即， 解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中 2025~2026 学年第一学期初三 10 月巩固数学试题 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 5. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. D. 7. 如图，在矩形中，，，点是线段上一个动点，连接并延长，交 延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，当点为的中点时，的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ） A. 过点O作任意直线（除直线）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形 B. 过点O作的垂线交纸条两边于点C，D，得到菱形 C. 分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形 D. 在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得，得到平行四边形 9. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（ ） A. B. 8 C. D. 7 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 12. 如图所示的木制活动衣帽架，由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节B，O间的距离．菱形边长，若B，O间的距离调节到，则______°． 13. 新定义运算：，例如，则方程的解为______． 14. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，若正方形的边长为 2，则重叠部分四边形的面积为______． 15. 如图1．中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 三、解答题（本题共 7 小题，共 55 分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 17. 如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知． （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由． 18. 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广． 如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． 求这个茶园的长和宽． 19. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 20. （10 分）2025 年 9 月 21 日早晨 7∶30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人． （1）求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； （2）某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 21. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是_____（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用）： （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为，求，，的值． 22. 综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则________． 【深入分析】 （2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $