精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

初三年级数学学科综合练习 时长：110分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面的调查中，不适合抽样调查的是（　　） A. 中央电视台《感动中国》的收视率 B. 选出某校短跑最快的学生 C. 一批炮弹的杀伤力情况 D. 了解一批灯泡的使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A．中央电视台《感动中国》的收视率，适合抽样调查，不符合题意； B．选出某校短跑最快的学生适合普查，符合题意； C．一批炮弹的杀伤力情况，适合抽样调查，不符合题意； D．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全面调查与抽样调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 2. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，一一判断即可． 【详解】解：A．本选项是关于的三次函数，故本选项不符合题意； B．本选项是关于的反比例函数，故本选项不符合题意； C．当时，本选项是关于的二次函数，故本选项不符合题意； D．本选项是关于的二次函数，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 在今年的“十一”假期中，多个景区客流“爆棚”，客流量与文旅消费均呈现上升趋势．小明为了解本年级学生的假期出游情况，从年级1200名学生记录的假期出游时间（单位：小时）中随机抽取了200名学生的假期出游时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（ ） A. 1200名学生是总体 B. 样本容量是1200 C. 200名学生的假期出游时间是样本 D. 此调查为全面调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查总体、样本、样本容量及调查方式的概念，总体指研究对象的全部数据，样本是从总体中抽取的部分数据，样本容量是样本中的个体数量，抽样调查是抽取部分进行调查，全面调查则是调查所有对象，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据总体、样本、样本容量及调查方式的知识，进行作答，即可求解． 【详解】A. 总体是本年级1200名学生的假期出游时间，而非学生本身，故A选项说法错误，不符合题意； B. 样本容量是抽取的200名学生的个体数，所以样本容量是200，故B选项说法错误，不符合题意； C. 样本是抽取的200名学生的假期出游时间，故C选项说法正确，符合题意； D. 此调查仅抽取部分学生，属于抽样调查，故D选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 4. 黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 5. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限可得，进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 6. 已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将点代入据此及可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的函数表达式为； 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 故选：D 7. 设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：∵拋物线解析式为， ∴对称轴为轴， ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又 ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵，点是抛物线上的三点， ∴， 故选：A． 8. 已知抛物线，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的旋转，熟练掌握抛物线的旋转是解题的关键．根据抛物线解析式求出点坐标．在由题意得到旋转后顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， 将此抛物线绕点顺时针旋转， 新的顶点坐标为， 故新的抛物线的解析式为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若函数是二次函数且图象开口向上，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的定义：解析式形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，然后解方程，再根据抛物线开口向上得到进行舍解． 【详解】解：由题意得，， 解得或（舍）， ∴， 故答案为：． 10. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】令抛物线中， 即， 解得， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值． 11. 二次函数的图象关于直线对称，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，熟练掌握对称轴是解题的关键． 根据对称轴为直线，解方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意可知二次函数的对称轴为直线， ， 即， 解得． 故答案为：2． 12. 将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解决此题的关键．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，得； 再向上平移5个单位长度，得， 故答案为：． 13. 如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，正方形的性质，求一次函数的函数值，先求出点A的坐标，进而根据正方形的性质可得点B的横坐标，可证明点B与点C关于y轴对称，则可求出点C的坐标，进而可求出对应的函数解析式． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴点B的横坐标为， ∵在轴上， ∴轴， ∵点B和点C在二次函数图象上，且二次函数的对称轴为y轴， ∴点B和点C关于y轴对称， ∴点C的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 设二次函数解析式为，则， ∴， ∴二次函数解析式为， 故答案为：． 14. 二次函数（为常数，且）中和满足下表： ①；②；③若点在此抛物线上，则的值为：④点、为该函数图象上的两点，则当时，⑤若当，函数有最小值12，则或8．其中正确的是___________． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，求自变量的值，根据表格分析函数值先减小再增大，则抛物线开口向上，即可判断①，根据表格数据即可判断②，根据，在抛物线上，则或，即可判断③，待定系数法求得解析式，进而判断④，根据，函数有最小值12，分两种情况，即可求解． 【详解】解：根据表格可得当或时， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 由表格可得，函数值先减小再增大，则抛物线开口向上， ∴，故①错误， ∴当时，,故②，正确， ∵点在此抛物线上，在此抛物线上，对称轴为直线 ∴或 ∴或，故③错误， ∵顶点坐标为， 设抛物线解析式为，代入得 解得： ∴抛物线解析式为 点、为该函数图象上的两点， ∴ ∵ ∴ 解得：， ∴则当时，故④正确 当时， 解得： ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当，函数有最小值12， ∴或， 当时，则，解得： 当时，则，故⑤正确 综上所述，②④⑤正确， 故答案为：②④⑤． 三、解答题 15. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式和待定系数法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标为，可设二次函数的顶点式为，再用待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为， 设二次函数的顶点式为， 把代入上式得，，解得， 该抛物线的函数解析式为． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围为 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数图像和性质， （1）将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可得出答案； （2）先求出抛物线的对称轴，再结合自变量的取值范围求出函数值，进而得出答案． 【小问1详解】 ∵抛物线的图像经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； 【小问2详解】 ∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 即最大值为， 当时，离对称轴越远函数值越小， 所以当时， ∴当时，的取值范围为． 故答案为：． 17. 已知抛物线的表达式为． （1）用配方法求该抛物线顶点的坐标； （2）点是抛物线上一点，且当时，随的增大而减小，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用配方法的步骤进行配方得出顶点式，即可写出顶点坐标； （2）先将点代入抛物线表达式求出，然后求出对称轴，再结合二次函数的性质即可求解的取值范围，即可进行舍去不合适的值即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵点是抛物线上一点， ∴， 解得或 ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∴． 18. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 b 九年级 8 a 9 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）， （2）八 （3）我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间的方差小于八年级每周锻炼时间的方差， 所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把九年级10名学生的测试成绩排好顺序为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为； 八年级10名学生每周锻炼8小时的最多有3人，所以众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，而八年级学生的平均每周锻炼时长的中位数是8，由此可判断他是八年级的学生； 故答案为：八； 【小问3详解】 略 19. 下图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）． （1）图①中，画出的中线； （2）图②中，在的边上找一点，使得； （3）图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为1． 【答案】（1） 如图所示， （2） 如图所示，作， （3） 如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查网格作图，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线平分面积的方法是解题的关键． （1）根据矩形的性质，对角线相互平分的性质即可求解； （2）根据全等三角形的性质作图即可求解； （3）根据中位线的判定和性质，中线平分面积的方法作图即可求解； 【小问1详解】 解：根据格点的特点，四边形是矩形，是对角线，且交于点， ∴即为所求的中线； 【小问2详解】 解：根据格点特点可得是平行四边形，于交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求点的位置， 【小问3详解】 解：根据图示，点分别是中点，且交于点，连接并延长交于点，过点作，交于点， ∴，， ∴， 设点到的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∴即为所求位置． 20. 为了解社区居民使用共享单车时间情况，调查组连续两年开展调查． （1）调查组2024年随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行了调研，获得了他们每周使用共享单车时间（单位：分钟）的数据，并将收集到的数据进行整理和描述，结果如图： 组别 使用时间（分钟） 频数（人数） 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 ①本次调研，随机抽取 名社区居民进行调查； ②请补全频数分布直方图； ③若该社区共有1400位居民选择使用共享单车出行，请你估计每周使用共享单车的时间不小于1小时的居民有多少人； （2）调查组2025年对坚持选择共享单车出行的20名社区居民进行了跟踪调查，绘制了统计图（如图）． ①薛阿姨2025年每周使用共享单车时间比2024年的使用时间 （填“多”或“少”）； ②将这20名居民中2025年每周使用共享单车时间超过2024年使用时间的人数记为，其余人数记为，则 （填“>”、“”、”）． 【答案】（1）①； ②补全频数分布直方图如下： ③ （2）①少；② 【解析】 【分析】本题考查频数发布直方图、扇形统计图、样本估计总体的思想等知识，解题的关键是掌握基本概念，结合图象求解． （1）①用第组的频数除以计算即可； ②用总人数分别减去其它组人数即可得出的值，补全统计图即可； ③用样本估计总体的思想即解决问题； （2）①结合图象直接得出薛阿姨2025年每周使用共享单车时间为80分钟，2024年的使用时间为100分钟，即可求解；②根据图象位于上半部分的即为2025年每周使用共享单车时间超过2024年使用时间的人数，即可求解 【小问1详解】 解：①， 故答案为：； ②由图得第2组的人数为：， ③若该社区共有1400位居民选择使用共享单车出行，请你估计每周使用共享单车的时间不小于1小时的居民有人 【小问2详解】 ①由统计图得：横轴表示2024年的使用时间，纵轴表示2025年的使用时间， 薛阿姨2025年每周使用共享单车时间为80分钟，2024年的使用时间为100分钟， ∴薛阿姨2025年每周使用共享单车时间比2024年的使用时间少； ②由统计图得：2025年每周使用共享单车时间超过2024年使用时间的人数为5，即，其余人数为15，即， ∴， 故答案为：①少；② 21. 如图，某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃，已知墙． （1）如图1，若矩形花圃使用的篱笆总长为，花圃两边靠墙，其余两边用篱笆围成，围成的花圃面积为，求这个花圃较短边的长度； （2）如图2，若矩形花圃使用的篱笆总长为，花圃的一边由墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆构成，其余两边由剩下的篱笆围成．设篱笆的长为米，围成的花圃面积为平方米．求当为多少米时，围成的花圃面积最大，最大面积为多少平方米？ 【答案】（1） （2）当时，围成的花圃面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意，建立一元二次方程求解是解题的关键． （1）设这个花圃较短边的长度为，则较长边的长度为，根据围成的花圃面积为，列一元二次方程，解方程即可； （2）设篱笆的长为，用含x的式子表示出和，进而得到花圃面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可求出最值，即可求解此时的值． 【小问1详解】 解：设这个花圃较短边的长度为， 由题意得，， 整理，得， 解得，， 当时，较长的边为，符合题意； 当时，不合题意； 故这个花圃较短边的长度为； 【小问2详解】 解：由题意知，矩形花圃的周长为：， ， 设篱笆的长为，则， 花圃面积， 当时，S取最大值，最大值为169， ∴此时 即当时，围成的花圃面积最大，最大面积为． 22. 函数， （1）在平面直角坐标系中画出函数图象； （2）当时，求的值； （3）当随的增大而增大时，的取值范围为 ； （4）若在函数图象上有点（与不重合）．的横坐标为的横坐标为．小亮对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，的取值范围为 ． 【答案】（1） 在平面直角坐标系中画出函数图象，如下： （2）或1 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，列表，描点，然后连线，即可解答； （2）分两种情况：若，若，，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解； （4）根据题意可得点P，Q关于直线对称，当时，函数取得最小值，为， 当时，函数取得最大值，为，再结合当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，然后分两种情况，画出函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 2 3 6 【小问2详解】 解：若，此时， 解得：； 若，此时， 解得：； 综上所述，当时，的值为或1； 【小问3详解】 解：观察图象得：当随的增大而增大时，的取值范围为或； 故答案为：或 【小问4详解】 解：∵的横坐标为的横坐标为， ∴，即点P，Q关于直线对称， 当时，函数取得最小值，为， 当时，函数取得最大值，为， ∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，且时，，时，， 当时，画出函数图象，如下： 由题意得：， ∴； 当时，画出函数图象，如下： 由题意得：， 解得：； 综上所述，m的取值范围为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键． 23. 如图，在中，，，的面积为3，点在边上，连结，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1） ，的长为 ； （2）当时，求正方形的面积； （3）当点落在内部时，求的长的范围； （4）当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，由先求出的长度，然后由题意得是等腰直角三角形，即可求出的长度，从而求出的值； （2）由可求出的长度，再由点是的中点，即可求出正方形的边长，从而求出正方形的面积； （3）分情况讨论：①当时，点在上，此时取最小值；②当点落在边上时，如图所示，此时取最大值；再分别把的值求出来，即可求出的长的范围； （4）根据题意，分两种情况：①当点在边同侧；②当点在边异侧；在每种情况下，作出相应图形，数形结合求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， ， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， 在中， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）得且， 当时， ， ， ． 点是的中点， ． 四边形为正方形， 正方形的面积为：； 【小问3详解】 ①当时，点在上，此时取最小值． 由（1）知， 在中， ． 由（2）得， 在中， ， ； ②当点落在边上时，如图所示，此时取最大值． 点是的中点， ． 四边形为正方形， ， ． 在和中， ， ， . ， ， 即， ． 过点作，垂足为点， ， ， ． 设，则， ， ， ． 在中， ， ． 点是的中点且， ． ， ， ． 在中， ， ． ， 即， ， 解得， ． 在中， ， ． ， ． 综上所述，点落在内部时，的长的范围是； 【小问4详解】 解：由题意，分两种情况： ①当点在边同侧，过点分别作边的垂线，连接，如图所示： ， ． 点到直线的距离与点到直线的距离相等， ， ， 即点在边上． 点是的中点， ． 四边形为正方形， ， ． ， 在中，， ， ． ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， 点在边上． 如图所示， 在中， ， 是等腰直角三角形． ， ， ， 解得， ， ， ； ②当点在边异侧，过点分别作边的垂线，垂足分别为，过点作，过点作，过点作，过点作，如图所示： 在正方形中， ， ， ， ． 点到直线的距离与点到直线的距离相等， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 点是的中点， ， ， ，即． 设，则， 正方形的边长为． ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 点是的中点． 点是的中点， 是的中位线， ． 在等腰直角三角形中， ， ， 即，解得， ， ． 在等腰直角三角形中，． 设， 则， ， ． ， ，解得， ． 综上所述，点到直线的距离与点到直线的距离相等，的长为或． 【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、中位线的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，读懂题意，根据所求问题，准确作出图形，构造辅助线，数形结合求解是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科综合练习 时长：110分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面的调查中，不适合抽样调查的是（　　） A. 中央电视台《感动中国》的收视率 B. 选出某校短跑最快的学生 C. 一批炮弹的杀伤力情况 D. 了解一批灯泡的使用寿命 2. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在今年的“十一”假期中，多个景区客流“爆棚”，客流量与文旅消费均呈现上升趋势．小明为了解本年级学生的假期出游情况，从年级1200名学生记录的假期出游时间（单位：小时）中随机抽取了200名学生的假期出游时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（ ） A. 1200名学生是总体 B. 样本容量是1200 C. 200名学生的假期出游时间是样本 D. 此调查为全面调查 4. 黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若函数是二次函数且图象开口向上，则___________． 10. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 11. 二次函数的图象关于直线对称，则___________． 12. 将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为___________． 13. 如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为___________． 14. 二次函数（为常数，且）中和满足下表： ①；②；③若点在此抛物线上，则的值为：④点、为该函数图象上的两点，则当时，⑤若当，函数有最小值12，则或8．其中正确的是___________． 三、解答题 15. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求该抛物线的函数解析式． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围为 ． 17. 已知抛物线的表达式为． （1）用配方法求该抛物线顶点的坐标； （2）点是抛物线上一点，且当时，随的增大而减小，求的值． 18. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 b 九年级 8 a 9 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 19. 下图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）． （1）图①中，画出的中线； （2）图②中，在的边上找一点，使得； （3）图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为1． 20. 为了解社区居民使用共享单车时间情况，调查组连续两年开展调查． （1）调查组2024年随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行了调研，获得了他们每周使用共享单车时间（单位：分钟）的数据，并将收集到的数据进行整理和描述，结果如图： 组别 使用时间（分钟） 频数（人数） 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 ①本次调研，随机抽取 名社区居民进行调查； ②请补全频数分布直方图； ③若该社区共有1400位居民选择使用共享单车出行，请你估计每周使用共享单车的时间不小于1小时的居民有多少人； （2）调查组2025年对坚持选择共享单车出行的20名社区居民进行了跟踪调查，绘制了统计图（如图）． ①薛阿姨2025年每周使用共享单车时间比2024年的使用时间 （填“多”或“少”）； ②将这20名居民中2025年每周使用共享单车时间超过2024年使用时间的人数记为，其余人数记为，则 （填“>”、“”、”）． 21. 如图，某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃，已知墙． （1）如图1，若矩形花圃使用的篱笆总长为，花圃两边靠墙，其余两边用篱笆围成，围成的花圃面积为，求这个花圃较短边的长度； （2）如图2，若矩形花圃使用的篱笆总长为，花圃的一边由墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆构成，其余两边由剩下的篱笆围成．设篱笆的长为米，围成的花圃面积为平方米．求当为多少米时，围成的花圃面积最大，最大面积为多少平方米？ 22. 函数， （1）在平面直角坐标系中画出函数图象； （2）当时，求的值； （3）当随的增大而增大时，的取值范围为 ； （4）若在函数图象上有点（与不重合）．的横坐标为的横坐标为．小亮对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，的取值范围为 ． 23. 如图，在中，，，的面积为3，点在边上，连结，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1） ，的长为 ； （2）当时，求正方形的面积； （3）当点落在内部时，求的长的范围； （4）当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $