专题3.3 双曲线的几何性质重难点题型讲义（1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版选择性必修第一册）

专题3.3 双曲线的几何性质重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型二 已知方程求双曲线的渐近线 题型三 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型四 求共渐近线的双曲线的标准方程 题型五 根据ab,c齐次式关系求渐近线方程 题型六 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型七 根据离心率求双曲线的标准方程 拓展训练一 渐近线方程相关求解 拓展训练二 双曲线离心率的求值及应用 知识点一：双曲线的简单性质 1、对称性 (1)在双曲线的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以双曲线关于x轴(轴)对称,即坐标轴是双曲线的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则双曲线关于原点对称,这个对称中心称为双曲线的中心. 2、范围 由方程得，所以双曲线上的任意一点都满足即因此，双曲线在不等式与所表示的区域内，即位于两条直线和外侧的区域．如图所示.： 3、顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点. 如图,双曲线的两个顶点的坐标分别为．显然顶点是双曲线两支之间距离最近的点．两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的实半轴长．为轴上的两个点，线段叫作双曲线的虚轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的虚半轴长． 4、离心率 (1)我们规定,双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,即. (2)因为c>a>0,所以e>1. (3)因为,所以. 【知识剖析】 细解双曲线的范围和顶点 1.从双曲线的方程或图形中可以直接看出它的范围. 2.双曲线有两个顶点、两个焦点，共四个特殊点，研究双曲线时一定要注意这四个特殊点的位置. 3.已知双曲线的两个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以原点为圆心，以c为半径作弧交实轴于两点，这两点就是该双曲线的焦点. 5、渐近线 一般地，直线 和称为双曲线的渐近线． 【知识剖析】 对双曲线渐近线的四点说明 1.随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点． 2.由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常把双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解． 4.与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a>0，b>0)． 【即时训练】 1．（2023·江西南昌·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 【经典例题一 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，，点P双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．有最大值无最小值 B．无最大值有最小值 C．既有最大值也有最小值 D．既无最大值也无最小值 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的上焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值． 1．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（多选题）（2023·江苏南京·二模）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知双曲线的一个焦点为．若已知点，点是双曲线上的任意一点，则的最小值是 ． 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）如图，的顶点在射线上，两点关于轴对称，为坐标原点，且线段上有一点满足，当点在上移动时，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为轴正半轴上一点，求的最小值. 【经典例题二 已知方程求双曲线的渐近线】 【例1】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）双曲线的渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D．2 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·江西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，A，B是E上两点，其中B在E的右支上，l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知，则（   ） A．若A在E的左支上，则A为E的左顶点 B．若，则 C．若轴，则 D．若点A在E的右支上，则 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 4．（24-25高二上·山西太原·期末）已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程，并说明曲线C的形状； (2)若双曲线E的右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程. 【经典例题三 根据双曲线的渐近线求标准方程】 【例1】（24-25高三上·北京房山·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，则实数（   ） A． B．3 C．6 D．9 【例2】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）（1）椭圆经过两点坐标分别是和，求椭圆标准方程. （2）双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，若直线与在第一象限的交点为，且轴，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求该圆的方程． 【经典例题四 求共渐近线的双曲线的标准方程】 【例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·山西大同·期中）（1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 1．（24-25高二上·北京·期末）如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京西城·期中）双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为 ． 4．（23-24高二上·云南曲靖·期中）（1）求满足下列条件的双曲线的标准方程： ①双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为4； ②双曲线与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，． 【经典例题五 根据ab,c齐次式关系求渐近线方程】 【例1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知是双曲线的左、右焦点，在双曲线上存在点满足，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文．在这篇文章中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样．事实上，有极小部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径．    (1)结合图象，求出该双曲线的渐近线方程． (2)如果粒子路径的顶点距双曲线的中心10cm，试求出该粒子路径的模型． 1．（24-25高三上·云南·阶段练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 4．（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线C的渐近线方程 (2)如果双曲线C的焦点和椭圆的焦点相同，求双曲线C的方程． 【经典例题六 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 【例1】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则的离心率为（    ） A． B．4 C． D．2 【例2】（24-25高二·全国·课堂例题）已知双曲线C的顶点为，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求双曲线C的离心率． 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线．如图所示，，是双曲线的实轴的顶点，，是虚轴的顶点，，是左、右焦点，在双曲线上且直线过右焦点，并且轴．以下几个选项中说法正确的是（   ）    A．双曲线是黄金双曲线 B．若，则该双曲线是黄金双曲线 C．若，则该双曲线是黄金双曲线 D．若，则该双曲线是黄金双曲线 3．（24-25高三上·江西南昌·阶段测试）如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．    4．（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为为双曲线左支上一点，到左准线的距离为.已知，求双曲线离心率的取值范围. 【经典例题七 根据离心率求双曲线的标准方程】 【例1】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．求的方程． 1．（24-25高三上·安徽合肥·开学考试）若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程是 . 4．（2024·黑龙江吉林·二模）如图，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，，分别是其渐近线，上的两个点，的面积为9，P是双曲线C上的一点，且.    (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)求双曲线C的标准方程. 【拓展训练一 渐近线方程相关求解】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是的公共点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）探究是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由． （1）渐近线方程为； （2）点到双曲线上的动点的距离的最小值为． 1．（2025·湖北·模拟预测）已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线C的渐近线方程为，焦距为，则满足条件的双曲线C可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知双曲线的左、右两个焦点分别为是上任意一点且满足点到的距离与点到直线的距离之比为，则双曲线的渐近线方程为 . 4．（23-24高二上·江苏南通·期中）（1）求焦点在轴上，离心率为，半短轴长为的椭圆的标准方程； （2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程. 【拓展训练二 双曲线离心率的求值及应用】 【例1】（24-25高三上·安徽浙江·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 1．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知一关于坐标轴对称的双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则该双曲线的离心率的取值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·全国·对口高考）离心率为且过点的双曲线方程为 . 4．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ (1)求E的离心率； (2)M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 1．（2024·全国·一模）已知双曲线的渐近线上有一点，是双曲线的两个焦点，且点在以为直径的圆内，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·开学考试）若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏·阶段练习）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设双曲线C：的左､右焦点分别为，离心率为2.是上一点，且.若的面积为9，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（多选题）（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知双曲线，点，，，均在上，则四边形可能为（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 8．（多选题）（23-24高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知，分别为双曲线的实轴端点，，是双曲线上关于原点对称的两点（异于实轴端点），且，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线的离心率不确定 B．双曲线的离心率为 C．的值不受点，位置的影响 D．双曲线的渐近线方程为 10．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则实数的值可能是（    ） A． B． C．6 D． 11．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则 12．（23-24高二上·天津滨海新·期中）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则渐近线方程为 ，双曲线的标准方程为 . 13．（2025高三·全国·专题练习）双曲线左右焦点为，在双曲线上存在一点，使且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 14．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为 ． 15．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则 . 16．（24-25高一上·上海·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为. (1)若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； (2)已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 17．（24-25高二上·河南开封·期中）根据所给条件求曲线的标准方程： (1)已知椭圆的右焦点为，且过点； (2)已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点. 18．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点在双曲线的图像上． (1)若点为双曲线上一动点，点为直角坐标系内一定点，求中点的轨迹方程； (2)是否存在这样的双曲线，它与双曲线有相同的渐近线，且点到上的动点的最小值为？若存在，请求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由． 19．（2025高二·全国·专题练习）已知为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，，若，求双曲线的离心率的取值范围． 20．（上海市宝山区2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是其左顶点，点是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 双曲线的几何性质重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型二 已知方程求双曲线的渐近线 题型三 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型四 求共渐近线的双曲线的标准方程 题型五 根据ab,c齐次式关系求渐近线方程 题型六 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型七 根据离心率求双曲线的标准方程 拓展训练一 渐近线方程相关求解 拓展训练二 双曲线离心率的求值及应用 知识点一：双曲线的简单性质 1、对称性 (1)在双曲线的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以双曲线关于x轴(轴)对称,即坐标轴是双曲线的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则双曲线关于原点对称,这个对称中心称为双曲线的中心. 2、范围 由方程得，所以双曲线上的任意一点都满足即因此，双曲线在不等式与所表示的区域内，即位于两条直线和外侧的区域．如图所示.： 3、顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点. 如图,双曲线的两个顶点的坐标分别为．显然顶点是双曲线两支之间距离最近的点．两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的实半轴长．为轴上的两个点，线段叫作双曲线的虚轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的虚半轴长． 4、离心率 (1)我们规定,双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,即. (2)因为c>a>0,所以e>1. (3)因为,所以. 【知识剖析】 细解双曲线的范围和顶点 1.从双曲线的方程或图形中可以直接看出它的范围. 2.双曲线有两个顶点、两个焦点，共四个特殊点，研究双曲线时一定要注意这四个特殊点的位置. 3.已知双曲线的两个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以原点为圆心，以c为半径作弧交实轴于两点，这两点就是该双曲线的焦点. 5、渐近线 一般地，直线 和称为双曲线的渐近线． 【知识剖析】 对双曲线渐近线的四点说明 1.随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点． 2.由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常把双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解． 4.与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a>0，b>0)． 【即时训练】 1．（2023·江西南昌·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简可得该方程表示双曲线的右支，再结合双曲线的性质判断. 【详解】由，左右两边同时平方得， 即， 该方程可表示双曲线的右支，如图所示，    故的最小值为， 故选：A. 2．（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合双曲线渐近线方程求出即可. 【详解】由双曲线C：的实轴长为4，得， 双曲线C：的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线方程为， 则，解得，所以C的方程为. 故答案为： 【经典例题一 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，，点P双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．有最大值无最小值 B．无最大值有最小值 C．既有最大值也有最小值 D．既无最大值也无最小值 【答案】B 【分析】设出点的坐标，结合双曲线的范围，利用向量的坐标运算，求解即可. 【详解】根据题意，的坐标为，设点的坐标为，则， 故， 又，故， 对，当时，取得最小值，且其没有最大值； 故无最大值有最小值. 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的上焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值． 【答案】c-a 【分析】根据两点间距离公式，结合双曲线的范围、配方法进行求解即可. 【详解】设，则有，， ， 当P在双曲线上支时，因为，所以， 所以的最小值为； 当P在双曲线下支时，因为，所以， 因此，的最小值为， 综上所述：的最小值为； 1．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想，将等式两边平方后可看作曲线的方程，最后将看作是曲线上的点到原点距离的平方，结合图形求其最小值. 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. 2．（多选题）（2023·江苏南京·二模）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式性质得到AB正确，取特殊值排除CD，得到答案. 【详解】对选项A：，故，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：取，满足，此时不成立，错误； 对选项D：取，满足，此时，错误. 故选：AB 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知双曲线的一个焦点为．若已知点，点是双曲线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】根据焦点求得双曲线方程，得，再由点点距表示距离即可得最值. 【详解】由题意，可知，∴，∴双曲线的方程为． 由，得， ∴． 又或， ∴当时，取得最小值，为3． 故答案为：3. 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）如图，的顶点在射线上，两点关于轴对称，为坐标原点，且线段上有一点满足，当点在上移动时，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为轴正半轴上一点，求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)设，由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得，即点的轨迹的方程. (2)由题意设，计算可得，分类讨论和两种情况，结合二次函数的性质有的解析式即可. 【详解】（1）因为两点关于轴对称，所以边所在直线与轴平行， 设，由题意，得，， 所以，， 因为， 所以，即， 所以点的轨迹的方程为 （2）设，则， 因为点在 ，所以， 所以 若，即，则当时，； 若，即，则当时， 所以，的最小值. 【经典例题二 已知方程求双曲线的渐近线】 【例1】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）双曲线的渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】双曲线的渐近线方程为，进而求的值，并可得结果. 【详解】在双曲线中，得， 则渐近线方程为，所以. 于是. 故选：D 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程. 【答案】， 【分析】通过双曲线的标准方程，求解，，即可得到所求的结果． 【详解】双曲线方程化为标准方程形式， ，且焦点在轴上， ， 焦点坐标为，渐近线方程为.    1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线的方程和得P点坐标，再由P点在C上求出即可由渐近线的定义得解. 【详解】设，因为，，所以直线的方程为， 又，所以，得， 又点P在直线上，所以，则，所以, 所以，解得，故所求渐近线斜率为.    故选：C 2．（多选题）（2025·江西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，A，B是E上两点，其中B在E的右支上，l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知，则（   ） A．若A在E的左支上，则A为E的左顶点 B．若，则 C．若轴，则 D．若点A在E的右支上，则 【答案】ACD 【分析】根据，可得A，B均为E的顶点可判断A；根据三点共线，得从左到右三点顺序分别为A，B，有可判断B；当三点共线时恰为2，不妨设，取B关于l的对称点，当三点共线时最小可判断C；利用双曲线定义得可判断D． 【详解】对于A，因为，E的左、右两支的顶点距离也为2，故若A在E的左支上， 则A，B均为E的顶点，故A正确； 对于B，若，则三点共线，考虑A中的情况依然符合题意， 此时从左到右三点顺序分别为A，B，，有，故B错误； 对于C，P是l上一点，若轴，注意到当三点共线时恰为2， 不妨设A在第一象限，则， 取B关于l的对称点，， 则当三点共线时最小， 即，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 3．（2025·江西新余·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 ；若点满足，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 2 【分析】由双曲线的定义可结合第一空，由条件确定为的内心，再结合得到，进而可求解. 【详解】依题意，，，则；则； 先证在中，若，则为的内心． 由， 可得：， 整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 所以由条件可知：点为的内心，设的内切圆半径为， 则，故，故， 而， 故，故，则，， 故所求渐近线方程为. 故答案为：2； 4．（24-25高二上·山西太原·期末）已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程，并说明曲线C的形状； (2)若双曲线E的右焦点是曲线C的对称中心，其渐近线是曲线C的切线，求双曲线E的标准方程. 【答案】(1)，曲线C是以为圆心，为半径的圆 (2) 【分析】（1）设，根据两点间距离公式得到方程，化简即可求解. （2）由（1）可设双曲线E的方程为（，），且，结合点到直线的距离公式与双曲线渐近线方程，即可求解. 【详解】（1）设，由题意得， 化简并整理可得曲线C的方程， ∴曲线C是以为圆心，为半径的圆. （2）由（1）可设双曲线E的方程为（，），， 圆心到双曲线E的渐近线的距离， ∴，，∴双曲线E的标准方程为. 【经典例题三 根据双曲线的渐近线求标准方程】 【例1】（24-25高三上·北京房山·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，则实数（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】求出渐近线方程为，从而得到答案. 【详解】的渐近线方程为， 又渐近线方程为，故. 故选：B 【例2】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）（1）椭圆经过两点坐标分别是和，求椭圆标准方程. （2）双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设椭圆方程为，将点的坐标代入求解即可； （2）由条件列出方程组求出，即可得出双曲线方程． 【详解】（1）设椭圆方程为， ∵椭圆经过和两点， ∴，解得， ∴椭圆的标准方程为 （2）∵双曲线的右焦点为， 双曲线的一条渐近线方程为且， ∴且，而，∴， ∴所求双曲线方程为． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，若直线与在第一象限的交点为，且轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的性质得，从而得到，，结合条件，直接求出，即可求解. 【详解】因为的渐近线方程为，所以，即，故， 又，且轴，在中，令，得， 因为点在第一象限，故，所以， 故选：A. 2．（多选题）（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由相同渐近线的双曲线的特征即可得解. 【详解】由题可设双曲线的方程为，当时，对应的方程为， 而BD中的方程均不能化成“”这样的形式. 故选：AC. 3．（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 【答案】3 【分析】由题意可得出渐近线的斜率，据此列方程求解即可. 【详解】若双曲线的一条渐近线与直线平行， 故，解得：. 故答案为：3. 4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求该圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得出，再将点代入方程即可得到结果. （2）由轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求出B点坐标，即可求出半径进而得到圆的方程. 【详解】（1）由点在双曲线上，得① 由渐近线方程，得②， 解①②得，所以双曲线的标准方程为 （2）设的中点为，过作轴，垂足为． 依题意得，即，因为，所以， 所以（为点的横坐标），得， 代入双曲线的方程，得，所以，所以． 所以以为直径的圆的圆心为， 半径， 故所求圆的方程为． 【经典例题四 求共渐近线的双曲线的标准方程】 【例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 【例2】（24-25高二上·山西大同·期中）（1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设椭圆方程为，依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设双曲线方程为，将点的坐标代入方程求出即可. 【详解】（1）设椭圆方程为， 依题意，解得，所以椭圆方程为； （2）依题意设双曲线方程为，则，解得， 所以双曲线方程为. 1．（24-25高二上·北京·期末）如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过斜杆与圆盘所成角以及斜杆与特定边的距离，求出渐近线与某一坐标轴的夹角，从而得到渐近线斜率，再根据双曲线标准方程中渐近线斜率与参数的关系，确定合适的双曲线方程. 【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为. 则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率， 双曲线的标准方程为：，可知，所以. 所以双曲线的方程为， 观察选项，只有满足. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线方程为，将代入，求出，可求双曲线的标准方程． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为， 将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 故选：D． 3．（24-25高三上·北京西城·期中）双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，则设双曲线C的方程为，把点代入，解得λ，即可得出答案． 【详解】因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线C的方程为， 又因为双曲线C过点，所以，解得， 所以，所以双曲线C的方程为． 故答案为：． 4．（23-24高二上·云南曲靖·期中）（1）求满足下列条件的双曲线的标准方程： ①双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为4； ②双曲线与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据渐近线得到，根据距离得到，进而得到答案．②设双曲线方程为，，代入点坐标，计算得到答案； （2）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程． 【详解】（1）①已知双曲线的焦点在轴上， 所以可设的标准方程为， 又的渐近线方程为，所以，即， 由的两顶点之间的距离为4，得，所以，． 故双曲线的标准方程为； ②因为与双曲线 有共同的渐近线， 所以可设为：，， 因为过点，则，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设椭圆方程为，则 经过两点，， ，，， 椭圆方程为． 【经典例题五 根据ab,c齐次式关系求渐近线方程】 【例1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知是双曲线的左、右焦点，在双曲线上存在点满足，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合双曲线的定义可得，可求得，结合勾股定理可得，求解即可. 【详解】设，又，所以， 又在双曲线上的一点，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文．在这篇文章中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样．事实上，有极小部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径．    (1)结合图象，求出该双曲线的渐近线方程． (2)如果粒子路径的顶点距双曲线的中心10cm，试求出该粒子路径的模型． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角求解； （2）根据（1）及定点到中心距离为求解. 【详解】（1）由图可知一条渐近线的倾斜角为，故一条渐近线斜率， 由渐进线的对称性知，双曲线的两条渐近线方程为. （2）由图知，双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线的顶点到中心的距离为10cm，所以， 又由(1)知，，所以， 所以该粒子路径模型为.      1．（24-25高三上·云南·阶段练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线方程求出的坐标，由列方程找出的关系，即可得渐近线方程. 【详解】由题知，， 又，则的横坐标为， 根据对称性不妨设在轴上方， 由，解得，则， 于是，故， 即，，化简可得， 于是，即， 故渐近线方程为：. 故选：B 2．（24-25高二上·广东广州·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理和性质，结合双曲线和渐近线的对称性、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】由对称性，不妨设，另一个焦点为，连接， 也不妨设l与渐近线垂直，垂足为点A，与交于点B， 因为A是线段FB的中点，且l与垂直， 所以，因此三角形是等腰三角形，因此， 则由对称性可知，，又， 所以有， 因此由对称性可知渐近线的斜率， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解即可. 【详解】作出示意图如图所示： 根据双曲线的定义得， 在三角形中，由余弦定理可得， 又直线与圆相切，所以， 所以，解得， 所以，解得或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知双曲线的离心率为2． (1)求双曲线C的渐近线方程 (2)如果双曲线C的焦点和椭圆的焦点相同，求双曲线C的方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用离心率可得到，再通过渐近线方程即可得到答案； （2）通过椭圆的方程可得到公共焦点，然后通过题意可列出关于的方程组，即可得到答案 【详解】（1）由双曲线的离心率为2， 所以，则即，∴即， ∴双曲线C的渐近线为； （2）因为椭圆的焦点在x轴，且焦点坐标为， 所以，由解得， 所以双曲线的方程为 【经典例题六 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 【例1】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则的离心率为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，，于是，则， 即. 故选：C 【例2】（24-25高二·全国·课堂例题）已知双曲线C的顶点为，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求双曲线C的离心率． 【答案】2 【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】， 由是等边三角形可知，因此， 又因为， 所以，从而． 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】因为的渐近线上一点满足，且，    所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：B 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线．如图所示，，是双曲线的实轴的顶点，，是虚轴的顶点，，是左、右焦点，在双曲线上且直线过右焦点，并且轴．以下几个选项中说法正确的是（   ）    A．双曲线是黄金双曲线 B．若，则该双曲线是黄金双曲线 C．若，则该双曲线是黄金双曲线 D．若，则该双曲线是黄金双曲线 【答案】ABCD 【分析】对于A:利用离心率公式求出离心率即可判断；对于B: 将整理为，求出离心率即可判断；对于C：由，借助勾股定理化简计算即可；对于D：由易得是等腰直角三角形，同时得到，整理化简即可. 【详解】选项A：由，可知：， 所以， 所以该双曲线是黄金双曲线，故A正确． 选项B：由，可得，两边同除以， 得，从而，该双曲线是黄金双曲线，故B正确． 选项C：，，， 因为，所以， 即，由B正确可知该双曲线为黄金双曲线，故C正确． 选项D： 因为直线过右焦点，并且轴， 所以则， 由易得是等腰直角三角形， 所以，即， 从而，由B正确可知该双曲线为黄金双曲线，故D正确． 故选：ABCD. 3．（24-25高三上·江西南昌·阶段测试）如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．    【答案】/ 【分析】求出过右焦点垂直于渐近线的直线方程为，与垂直的渐近线联立得到点的坐标，再根据得到点的坐标，利用点在另一条渐近线上得到，进而求出离心率. 【详解】已知直线，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 又直线过点，可得直线的方程为， 联立直线与直线的方程， 解得，则，所以点的坐标为. 在直线的方程中，令，可得， 所以点的坐标为. 因为，所以为的中点， 设点的坐标为， 可得，解得. 因为点在另一条渐近线上， 所以将代入可得：. 化简可得，即， 又因为，所以，则. 所以. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为为双曲线左支上一点，到左准线的距离为.已知，求双曲线离心率的取值范围. 【答案】 【分析】解法一、由焦半径公式，代入计算可得，再根据即可求解；解法二、根据双曲线第二定义，又可解，再利用即可求解. 【详解】解法一：设，则，. . ，. . . ， . 解法二：由已知及双曲线第二定义，有， .① 又据双曲线第一定义知.② 联立①②得，. 由平面几何知识可知， ，即. ， . 【经典例题七 根据离心率求双曲线的标准方程】 【例1】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出，根据关系求出后即可得解. 【详解】椭圆的焦点为， 所以双曲线的焦点为且焦点在轴上，即， 因为的离心率是2，所以，即， 所以，故双曲线的标准方程为. 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．求的方程． 【答案】 【分析】根据离心率的概念，将点代入双曲线方程，建立方程组，解之即可求解． 【详解】如下图： 由已知可得，所以， 又因为，得①，则，即， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②得，所以， 所以双曲线方程为：． 1．（24-25高三上·安徽合肥·开学考试）若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的离心率求出，进而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 因为，所以. 而双曲线的渐近线方程为，所以的渐近线方程为，即. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由离心率得，从而得，然后分类讨论设出双曲线方程代入已知点坐标求得值后可得． 【详解】，，于是， 若双曲线方程为，则，，双曲线方程为， 若双曲线方程为，则，双曲线方程为， 故选：AC 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程是 . 【答案】 【分析】由题意可得出，求出的值即可求出其渐近线方程. 【详解】由可得：且， 所以， 所以，解得：， 所以双曲线，则其渐近线方程为：. 故答案为：. 4．（2024·黑龙江吉林·二模）如图，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，，分别是其渐近线，上的两个点，的面积为9，P是双曲线C上的一点，且.    (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)求双曲线C的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线的方程为，根据双曲线的离心率求出，即可求得双曲线的渐近线方程； （2）设，根据，求出，再根据求出点的坐标，再代入双曲线方程求得，即可得解. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为， 所以，解得，所以， 所以双曲线C的渐近线方程为； （2）设， 则， 所以， 设，则， 因为， 所以，所以， 所以， 由（1）得，则双曲线的方程为， 再将点代入得， 化简得，即， 所以双曲线的标准方程为. 【拓展训练一 渐近线方程相关求解】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是的公共点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由的方程，确定的坐标，设，根据题意，得到，求出点坐标，代入双曲线方程，再由，即可求出结果. 【详解】因为，是椭圆：与双曲线的公共焦点，所以，设点， 由，不妨取正即， 代入双曲线方程得：，又，即，即的渐近线方程为. 故选：C． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）探究是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由． （1）渐近线方程为； （2）点到双曲线上的动点的距离的最小值为． 【答案】存在，或 【分析】利用已知条件分别设双曲线焦点在轴和轴的标准方程即可. 【详解】假设存在同时满足给定的两个条件的双曲线，设． ①若双曲线的焦点在轴上， 由双曲线渐近线方程为，设其标准方程为． 则． 若，即，则当时，取得最小值为，此方程无解； 若，即，则当时，取得最小值为， 解得（，舍去）， 此时存在双曲线，其方程为． ②若双曲线的焦点在轴上，则可设其方程为， 于是， ∵，∴当时，取得最小值，为， ∴，双曲线的标准方程为． 综合①②知，存在双曲线，其方程为 或． 1．（2025·湖北·模拟预测）已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用相似三角形建立关系求得，进而得到，得解. 【详解】如图，设，由，得， 由，可得，即，则， 又，得，即， ，即，解得， ，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线C的渐近线方程为，焦距为，则满足条件的双曲线C可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据双曲线焦点的位置讨论，结合条件即得. 【详解】若双曲线C的焦点在轴上，可设方程为， 则，解得，双曲线C方程为； 若双曲线C的焦点在轴上，可设方程为， 则，解得，双曲线C方程为. 故选：AD. 3．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知双曲线的左、右两个焦点分别为是上任意一点且满足点到的距离与点到直线的距离之比为，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设，结合点到的距离与点到直线的距离计算即可得、间关系，即可得解. 【详解】设，则有，即， 则 ， 则由可得， 即， 故，即有，即可得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏南通·期中）（1）求焦点在轴上，离心率为，半短轴长为的椭圆的标准方程； （2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）确定，根据离心率解得，得到椭圆方程. （2）法1：考虑双曲线焦点在轴和轴两种情况，计算得到方程；法2：设双曲线方程为，代入点坐标计算即可. 【详解】（1）由题设所求椭圆标准方程为，由题， 又，，解得， 所求椭圆的标准方程为. （2）法1：当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为， 由双曲线经过点得① 由双曲线的渐近线方程为得② 由①②解得，，， 此时，所求双曲线方程为. 当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为， 由双曲线经过点得① 由双曲线的渐近线方程为得② 不存在同时满足①②的，. 综上所述，所求双曲线的标准方程为. 法2：由渐近线方程为可设所求双曲线的方程为， 又双曲线经过点，则有， 所求双曲线的标准方程为. 【拓展训练二 双曲线离心率的求值及应用】 【例1】（24-25高三上·安徽浙江·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的简单性质的应用和离心率的求法即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，即，离心率， 故选：C. 【例2】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 1．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围. 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则， 于是，解得，即，则的离心率， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 2．（多选题）（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知一关于坐标轴对称的双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则该双曲线的离心率的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先对双曲线焦点位置分类讨论，利用渐近线斜率的性质求出的范围，进而得到离心率的范围，再逐步检验各个选项是否符合即可. 【详解】因为该双曲线关于坐标轴对称，所以我们对其焦点位置进行讨论， 当焦点在轴上时，渐近线的斜率的绝对值为， 因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以， 且，故解得，则， 得到，解得， 当焦点在轴上时，渐近线的斜率的绝对值为， 因为渐近线的斜率的绝对值小于，所以， 且，解得，则， 得到，解得， 综上可得，下面我们开始检验选项， 对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D正确. 故选：BCD 3．（23-24高三·全国·对口高考）离心率为且过点的双曲线方程为 . 【答案】或 【分析】考虑双曲线焦点在轴和在轴上两种情况，根据离心率得到，再将点的坐标代入方程得到答案. 【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为. 则，所以，所以，即， 将代入得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 当双曲线焦点在y轴上时，设方程为. 则，所以，所以，即， 将代入得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为即. 综上，所求双曲线方程为或. 故答案为：或. 4．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ (1)求E的离心率； (2)M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可； （2）结合图形特征，再应用面积公式计算. 【详解】（1）由题意得，直线与双曲线两交点A，B关于原点对称， 不妨设点A在第一象限，由，得， 设，则， 所以，则， 将其代入双曲线方程，得，即， 化简得，即， 因为，所以，则，即双曲线E的离心率为． （2）因为点关于的平分线MN的对称点G在或的延长线上， 所以， 又ON是的中位线，所以， 因为，所以， 因为，所以双曲线E的方程为， 所以，则． 又，所以． 1．（2024·全国·一模）已知双曲线的渐近线上有一点，是双曲线的两个焦点，且点在以为直径的圆内，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出渐方程，则由点是渐近线上一点，，由点在以为直径的圆内，得，化简可求得结果. 【详解】由题可知：，渐近线为， 因为点是渐近线上一点， 所以， 因为点在以为直径的圆内， 所以，即， 所以，得， 解得， 即的取值范围为， 故选：A 2．（24-25高三上·北京·开学考试）若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线离心率公式可得，结合双曲线渐近线方程求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，解得：， 所以双曲线的渐近线方程为； 故选：C 3．（23-24高二上·江苏·阶段练习）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出双曲线的渐近线方程 ，从而得，由求得，从而求解. 【详解】由题意设双曲线方程为，因为的渐近线方程为， 所以得，又因为的焦点为，所以. 由，所以可得：，，故双曲线的方程为，故B项正确. 故选：B. 4．（23-24高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据图形，取左焦点，证明为平行四边形，推得，由相似比，结合题设条件得到，即可求得离心率. 【详解】 如图，因直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，则点与点关于原点对称， 设点为双曲线的左焦点，连接，因，则四边形为平行四边形， 故，易得， 则，化简得，故. 故选：B. 5．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设双曲线C：的左､右焦点分别为，离心率为2.是上一点，且.若的面积为9，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由三角形的面积公式可得，再由勾股定理结合双曲线的定义代入计算，即可得到，然后由离心率公式代入计算，即可得到，从而得到结果. 【详解】因为且的面积为9，所以， 则，且， 由双曲线的定义可得，即， 所以， 即，所以 由离心率，解得， 所以双曲线标准方程为. 故选：C 6．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】设，根据点P在双曲线上且PA=2，则可求得的值，从而可求得的值，进而可求得PF的长度． 【详解】设，则，，， 则，得或， 当时，，此时， 当时，，此时． 故选：AB． 7．（多选题）（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知双曲线，点，，，均在上，则四边形可能为（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】AC 【分析】令，轴，或即可判断AC；根据等轴双曲线两条渐近线之间的夹角为即可判断BD. 【详解】不妨令，轴，， 则此时四边形为等腰梯形，故A正确； 因为为等轴双曲线，所以两条渐近线之间的夹角为， 故四边形的对角线必不可能相互垂直，故B，D错误； 令，，分别在不同象限内，轴，， 则四边形为矩形，故C正确． 故选：AC． 8．（多选题）（23-24高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别假设双曲线焦点在轴和轴时的方程，根据渐近线斜率可得关系，验证选项即可得到双曲线方程. 【详解】若双曲线焦点在轴上，可设为，则，， 则当时，，可知为满足题意的双曲线，A正确； 若双曲线焦点在轴上，可设为，则，， 则当时，，可知为满足题意的双曲线，C正确. 故选：AC. 9．（多选题）（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知，分别为双曲线的实轴端点，，是双曲线上关于原点对称的两点（异于实轴端点），且，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线的离心率不确定 B．双曲线的离心率为 C．的值不受点，位置的影响 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】BCD 【分析】设，由及双曲线的方程可得到关于的方程，进一步可判断选项. 【详解】设，则，设，， 得，则， 所以，故B正确，A不正确． 由于，是双曲线上关于原点对称的两点（异于实轴端点）， 因为四边形为平行四边形，所以，所以，故C正确． 由于，则渐近线方程为，故D正确． 故选：BCD． 10．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则实数的值可能是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】ABD 【分析】先解出方程的根得到离心率，然后分情况讨论是椭圆还是双曲线，根据公式即可求得结果. 【详解】对于方程，可求得根为， 当圆锥曲线为椭圆时，即且，离心率， 若，则， 此时离心率， 当时，，两边平方可得，解得； 若，则， 此时离心率， 当时，，两边平方可得，解得； 当圆锥曲线为双曲线时，即，离心率， 此时， 此时离心率， 当时，，两边平方可得，解得； 综上实数的值可能是或或， 故选：ABD. 11．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则 【答案】或 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件列方程求. 【详解】因为双曲线的方程为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的两条渐近线之间的夹角为， 所以的倾斜角为或 所以，或 所以，或 故答案为：或 12．（23-24高二上·天津滨海新·期中）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则渐近线方程为 ，双曲线的标准方程为 . 【答案】 ； . 【分析】由的解析式求出渐近线方程，接着分曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况设双曲线的标准方程，得到关于的方程组，求出即可得解. 【详解】由可知所求渐近线方程为， 当曲线的焦点在轴上时，设曲线的标准方程为， 则，解得，不符合舍去； 当曲线的焦点在轴上时，设双曲线的标准方程为， 则，解得，即双曲线的标准方程为. 故答案为：；. 13．（2025高三·全国·专题练习）双曲线左右焦点为，在双曲线上存在一点，使且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】延长交另一支于，分别在和中，利用余弦定理和双曲线定义联立求解可得，然后可得渐近线方程. 【详解】延长交另一支于，连接，由于双曲线关于原点成中心对称， 所以为平行四边形，所以，， 设，，在中，由余弦定理得①， 由双曲线定义可得，即②， 由①-②整理可得， 在中由余弦定理得③， 由③-②整理可得， 所以，即，所以渐近线方程为． 故答案为： 14．（24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为 ． 【答案】 【分析】作出图形，计算出的大小，可得出，利用余弦定理求出，然后利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可解得该双曲线离心率的值. 【详解】如下图所示： 设，由题意可得，， 则，且，所以，， 因为，则， 由余弦定理可得， 所以，，由双曲线的定义可得， 即，故该双曲线的离心率为. 故答案为： 15．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得，再利用双曲线定义及勾股定理求解即得. 【详解】令双曲线的半焦距为，由离心率为2，得， 取的中点，连接，由，得，则， 连接，由为的中点，得，，， 因此，即，整理得， 而，所以. 故答案为：    16．（24-25高一上·上海·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为. (1)若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； (2)已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长，和焦距求出渐近线. （2）利用双曲线定义，及两点之间线段最短，得到点在线段上，得到直线的方程，再代入得到面积. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，， 由，得，则，所以双曲线的渐近线方程为. （2）由双曲线的定义可得， 所以的周长为, 由于为定值，要使的周长最小，则应使最小为， 即点在线段上, ∵，所以直线的方程为：， 即，将其代入，解得或（舍去）， 因此点.所以 17．（24-25高二上·河南开封·期中）根据所给条件求曲线的标准方程： (1)已知椭圆的右焦点为，且过点； (2)已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据右焦点得到左焦点，也得到c，再根据定义求得a，再得到b，即可. （2）所求双曲线的方程为，代入定点可解. 【详解】（1）由题意知的右焦点为，则其左焦点为， 所以，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为， 又过点， 所以，解得， 所以所求双曲线的方程为，即标准方程为. 18．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点在双曲线的图像上． (1)若点为双曲线上一动点，点为直角坐标系内一定点，求中点的轨迹方程； (2)是否存在这样的双曲线，它与双曲线有相同的渐近线，且点到上的动点的最小值为？若存在，请求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)双曲线： 【分析】 （1）先根据点在双曲线上，求出双曲线方程；设点坐标为，根据为中点，可表示出，然后根据点在双曲线上，可得点的轨迹方程. （2）先根据有共同渐近线设双曲线的方程，再设以为圆心，为半径的圆，由双曲线与圆相切，可得双曲线的方程. 【详解】（1）∵在双曲线上，所以， 所以双曲线：. 设，∵为中点，所以点坐标为：， 又在双曲线上，所以，即为点轨迹方程. （2）假设所求双曲线存在， 因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，可设双曲线：. 以为圆心，为半径的圆为：， 联立方程组：，消去得： ，整理得：. 由得：. 所以，所求双曲线的方程为：即. 19．（2025高二·全国·专题练习）已知为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，，若，求双曲线的离心率的取值范围． 【答案】 【分析】思路一：设直线的倾斜角为，则，将离心率表示成的函数即可；思路二：设，根据条件求出，将离心率表示成的函数即可；思路三：由四边形为矩形，得出，设代入双曲线方程，结合离心率公式得出，再由得出该双曲线的离心率的取值范围. 【详解】解法1：如图，设直线的倾斜角为，则． 由，可得，结合余弦定理可得，， 利用双曲线的对称性以及双曲线的定义可知， ， 由于，所以． 解法2：设，由，得， 结合三角函数的定义可得，， 利用双曲线的对称性及双曲线的定义，可得， 则双曲线的离心率． 由于直线，，则，所以， 故． 解法三：设直线的倾斜角为，则，所以， 设双曲线的左焦点为，设点在第一象限内，连接， 由根据双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以，所以， 则，代入双曲线方程可得， 所以，所以， 解得，由 可得， 所以，所以，即. 20．（上海市宝山区2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是其左顶点，点是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，结合，求得，即可求得双曲线的方程； （2）设，由点为第一象限，其中，根据为等腰三角形，分或或，三种情况讨论，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】（1）解：设双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率， 可得，所以且， 又因为，即，解得， 所以双曲线的方程为. （2）解：由（1）知，双曲线的方程为，可得， 设，因为点为第一象限，其中， 又因为为等腰三角形，可得或或， 若，则在线段的中垂线上，则（舍去）； 若，则，所以， 联立方程组，其中，解得，所以点； 若，同理可得，其中， 解得，所以点， 综上可得，点或. 学科网（北京）股份有限公司 $