广东省东莞市东华高级中学2025-2026学年高二上学期学习效率检测（一）数学试题

东华高级中学 2025-2026学年第一学期学习效率检测（一） 高二数学 命题人：贾浩 审题人：黎发兵 本试卷共19题，满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设、、、，则复数为实数的充要条件是（   ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．曲线所表达的图形是（   ） A．以为圆心为半径的圆 B．以为圆心为半径的圆面 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的圆和以为圆心3为半径的圆构成的同心圆 7．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 8．在正中，M为BC中点，P为平面内一动点，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值可以为（   ） A． B． C．14 D． 10．已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 11．下列说法正确的是（   ） A．已知事件，若，，且，则 B．已知事件，若，，且与相互独立，则 C．已知事件，若，，且，则与相互独立 D．某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本的方差为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 ． 13．已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ． 14．已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交边于点，交边于点，设，，，，则 ；的最小值为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为，两截距之差为，求直线的方程． 16．（15分） 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点. （1）求直线与直线的所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 17．（15分） 设的内角所对的边分别是，且向量与共线， （1）求； （2）若，，求边上的高. 18．（17分） 如图，在直三棱柱中，，， M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在， 求出的长；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 东华高级中学2025-2026学年第一学期学习效率检测（一） 高二数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B B D C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 AC ABD ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12. ； 13. ； 14. ， . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）两点，点，则直线的斜率分别为： ，，且的斜率存在，如图， 观察图形知，当且仅当或时，直线l与线段AB有公共点， 所以直线l的斜率k的取值范围是. （斜率一个2分，取值范围2分）6分 （2）由题意可设直线方程为：， 若，则，解得：（舍）或，， 直线，即； 9分 若，则，解得：（舍）或，， 直线，即； 12分 综上所述：直线方程为或. （直线一个3分，结论1分）13分 16．（1）建立如图所示空间直角坐标系，， （点2分，向量2分）4分 白色白 设直线与直线的所成角为，所以. 7分 （2）， ， 10分 设平面的法向量为，，故可设. 13分 设到平面的距离为，则. 15分 17．（1）因为向量与共线，所以， 边化角可得，， 3分 因为，所以，所以，即， 5分 因为，所以. 7分 （2）由余弦定理，可得， 整理得，解得或（舍）， 10分 所以， 即，解得. 15分 18．（1）在直三棱柱中，因为，以点A为坐标原点，AB、CA、方向分别为、、轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．因为， 所以，，， （建系、写点一样一分）2分 所以，， , 所以． 4分 白色 （另外解法）：连结，在直三棱柱中，有平面, 因为平面，所以，中，，即，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在四边形中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为，平面, 所以平面，因为平面，所以． （2）因为M，所以． 设是平面的法向量，则， 即，所以， 取，则，，所以取是平面的一个法向量． 7分 又因为P点坐标为，所以． 设与平面所成的角为θ，则． 即与平面所成的角正弦值为. 10分 （3）解法一：存在线段上靠近N的三等分点Q，满足平面． 11分 因为N为的中点，所以 设，所以所以 13分 由（2）得平面的一个法向量为． 若平面，则，所以， 即，解得， 15分 所以存在线段上靠近N的三等分点Q，使得平面， ∴，即的长为 17分 19．（1）当，，，时， 圆，直线，由解得或，故，； 直线，由解得或，故，． 2分 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 4分 所以． 5分 （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得，同理可得， 所以. 10分 ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以，同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 17分 试卷第1页，共3页 高二数学试卷 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $